1 EXERCICES: surface d'un triangle de côté a et de hauteur h (faire un dessin du triangle) surface & volume d'une sphère de rayon R I MATHEMATIQUES A) GENERALITES a/b - c/d = (a/b) (c/d) = B) SERIES: 1+x+x2/2! + ...+ xn/n! + ...= 1-x+x2 + ...+ (-1)nxn + ...= x+x2/2 + ....+ xn/n +.... = 2h 33mn 12s - 1h 54mn 48s = 1h 28mn 30s - 45mn 28s = 5° 34' 12" - 7° 28' 40" = 45° 22' 16" - 8° 11' 10" = 1 radians = degrés = grades (a+b)2 = (a-b)2 = a2 - b2 = an - bn = (a+b)n = an ap = (ap )q = (ex )( ey) = (ex )y = ln(x * y) = ln(x/y) = cos(a+b) = tg(a+b) = sin(a+b) = cosp + cosq = écriture en nombre complexe de: cos(x) = sin(x) = tg(x) = chx = th(x) = définition de ln(x) : définition d'une fonction continue: définition d'une fonction dérivable: signification physique de la dérivée: signification physique de l'intégrale: C) DERIVEES: d/dx(xn) = d/dx(axn) = d/dx{eax} = d/dx{abx} = d/dx(xbx) = d/dx{f(g[x])} = d/dx{f(x) g(x)} = d/dx{f(x) / g(x)} = d/dx[cos(x)] = d/dx[sin(ax)] = d/dx[tg(bx+ß)] = d/dx[lnc(bx+d)] = D) INTEGRATION: définition du signe dx dx = f'(x) dx = (Axn +B) dx = (Aeax ) dx = cos(ax) dx = 2 u' v dx = masses et ressorts couplés: g'(x) f[g(x)] dx = Forces capillaires: quelle est la surpression dans une bulle de rayon r Qu'est-ce qu'une onde longitudinale, une onde transverse? Exemples (1/x) dx = (1/x)n dx = tg(x) dx = Qu'est-ce que le tenseur des contraintes? Qu'est-ce que le tenseur des déformations? th(x) dx = 1/ (1-x2) dx = E) EQUATIONS DIFFERENTIELLES solution de: y" - ay' + by = 0 de y' = - ay de D 2y/ x2= - y/ t de c2 ²E/ x2 - 2E/ t2 =0 de =2 2E/ x2 + 2E/ t2 =0 F) ESPACES VECTORIELS Qu'est-ce qu'un tenseur, une matrice produit de deux matrices Qu'est-ce que le déterminant, la trace d'une matrice? diagonalisation changement de coordonnées Ecrire la rotation du vecteur V à l'aide d'une matrice II PROBLEMES DE PHYSIQUE: A) MECANIQUE: Le pendule pesant: période des petites oscillations T= Equation d'un pendule à couple de torsion: B) MECANIQUE DES FLUIDES Qu'est-ce qu'un fluide Newtonien? A quoi est du la viscosité? C) ELECTRICITE GENERALE quelle est le champ électrique créée par une charge q à une distance r? relation entre tension électrique et intensité dans une résistance (dans un conducteur) qu'est-ce qu'un dipôle, un quadripôle,... Champ magnétique provoqué par un courant: circuit résistance (R) capacité (C): ligne à retard: D) ELECTROMAGNETISME Comment se propage une onde électromagnétique, à quelle vitesse; quelle est la direction du champ électrique, du champ magnétique, de la vitesse? Equation de propagation du champ électrique Qu'est-ce qu'une onde polarisée linéairement, circulairement Qu'est-ce qu'un photon? Qu'appelle-t-on biréfringeance? 3 Analogie avec le Généraliser ? E) MARCHE ALEATOIRE & PROPAGATION D'ONDE Développement du binôme (x+y)n A quoi peut-il servir dans ce problème? Montrer que l'équation différentielle d'une marche aléatoire est équivalente à celle d'une équation de diffusion. La reytrouver par un Développement Limité au 2ème ordre. Exemples de problèmes physiques régis par une équation de diffusion Comparer cette équation à celle de la propagation du champ électrique. Ressemblances, différences III PROBLEMES DE CHIMIE: A) Equilibre ACIDE-BASE Qu'est-ce que le pH Equilibre ionique de l'eau pH d'un acide fort à une concentration c en solution dans l'eau pure pH d'un acide faible de constante Ka à une concentration c en solution dans l'eau pure pH d'une base faible de constante Kb à une concentration c en solution dans l'eau pure B) REACTION CHIMIQUE à l'EQUILIBRE Que faut-il écrire pour déterminer l'équilibre d'une réaction du type xA+yB <--> AxBy problème acide-base. C) CINETIQUE CHIMIQUE Que faut-il écrire pour déterminer la cinétique d'une réaction chimique xA+yB <--> AxBy Quelle est la probabilité pour qu'il y ait une collision à trois corps (2A+B ou A+B+C) comparer à celle de la rencontre de deux corps. Réaction de polymérisation: