RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE
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Electronique B8 – Notes de cours leçon n° 13 1 Gérard Hincelin RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE....................................................................... 2 I. INTRODUCTION ..................................................................................................................... 2 II. DOUBLET ELECTROSTATIQUE ........................................................................................... 2 II.1 – Equation de Poisson............................................................................................................... 2 II.2 – Potentiel créé par une distribution de charges ....................................................................... 3 II.3 – Potentiel et champ du doublet électrostatique. ...................................................................... 3 III. CHAMP MAGNETIQUE CREE PAR UN COURANT ......................................................... 5 III.1 – Potentiel vecteur ................................................................................................................... 5 III.2 – Champ magnétique créé par un élément de courant (formule de BIOT et SAVART)......... 6 IV. POTENTIEL ET CHAMP DU DOUBLET DE HERTZ ........................................................ 8 IV.1 – Potentiel retardé.................................................................................................................... 8 IV.2 – Induction magnétique........................................................................................................... 9 IV.3 – Champ électrique.................................................................................................................. 9 V. RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE ..................................................................... 11 V.1 – Champ proche ou quasi-stationnaire ................................................................................... 11 V.2 – Champ lointain : l’onde TEM.............................................................................................. 11 V.3 – Puissance rayonnée.............................................................................................................. 12 VI. CARACTERISTIQUES DES ANTENNES............................................................................ 14 Electronique B8 – Notes de cours leçon n° 13 Gérard Hincelin 2 RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE I. INTRODUCTION L’antenne d’émission constitue l’interface entre l’onde guidée et l’onde qui se propage en espace libre. La puissance émise par le générateur est généralement transmise à l’antenne par une ligne de type coaxiale ou un guide d’ondes. Réciproquement, l’antenne de réception collecte l’énergie d’une onde se propageant dans l’espace. Le doublet de HERTZ est constituée d’un conducteur rectiligne parcouru par un courant alternatif de fréquence ν, dont la longueur L est très inférieure à la longueur d’onde dans le vide λ =c/ν. Cette antenne élémentaire, parfois prise comme source de référence, permet de calculer le champ rayonné par des antennes filaires (de longueur plus grandes) considérées comme une succession d’éléments dont chacun constitue un doublet. Le rayonnement d’un doublet (ou rayonnement dipolaire) joue un rôle dans de nombreux phénomènes de la physique. II. DOUBLET ELECTROSTATIQUE II.1 – Equation de Poisson Les équations de base de l’électrostatique et de la magnétostatique se déduisent des équations de Maxwell, à condition d’annuler les ternes dépendant du temps. Nous avons montré qu’une charge électrique fixe Q suffit à créer un champ électrique et un potentiel V, qui se déduisent des équations de base : r r ρ ∇. E = ε0 (0.1) Le champ électrique dérive d’un potentiel : E = −∇V (0.2) Loi de Gauss : r r r r r r ρ . En notant ∇. ∇V = ∇ 2V (ou En combinant ces deux équations, il vient ∇. −∇V = ( laplacien), on obtient l’équation de Poisson : ∇ 2V = − ) ε0 ( ) ρ ε0 (0.3) ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V ρ + 2 + 2 =− qui s’écrit, par exemple, en coordonnées cartésiennes : 2 ε0 ∂x ∂y ∂z L’intégration de l’équation (0.3), extrêmement difficile dans le cas général, permet de calculer le potentiel électrostatique V(x,y,z) connaissant la distribution de charges ρ(x,y,z). Le champ électrique se déduit ensuite du potentiel en appliquant la relation (0.2) Electronique B8 – Notes de cours leçon n° 13 Gérard Hincelin 3 II.2 – Potentiel créé par une distribution de charges Cherchons une solution de l’équation (0.3) dans le cas particulier où la charge est localisée dans un volume fini v. Pour cela, considérons tout d’abord une charge ponctuelle Q, située à l’origine des coordonnées. On sait que le champ électrique ne possède en coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) qu’une composante radiale Er, qui vaut à la distance r de la charge (voir leçon 1) : Er = Q (0.4) 4πε 0 r 2 En supposant que le potentiel est nul à l’infini, on a montré que le potentiel V(r) au point r a pour valeur: r V (r ) = − ∫ Er dr = ∞ Q (0.5) 4πε 0 r Dans le cas d’une densité de charges statiques ρ(x,y,z), localisées dans un volume v (cas d’une charge non ponctuelle), on peut considérer que chaque élément de volume dv = dxdydz, contenant la charge élémentaire dQ = ρ(x,y,z) dv, (donc considérée comme ponctuelle) créé au point M de coordonnées (X, Y, Z) le potentiel élémentaire dV donné par : dV = ρ ( x, y, z ) dxdydz 1 4πε 0 (x − X ) + ( y −Y ) + (z − Z ) 2 2 (0.6) 2 Les équations étant linéaires, le potentiel total créé au point M est égal à la somme de toutes les contributions, soit : V= 1 4πε 0 ρ ( x, y, z ) dxdydz ∫ (x − X ) + ( y −Y ) + (z − Z ) 2 volume v 2 2 (0.7) C’est une solution particulière de l’équation de Poisson. II.3 – Potentiel et champ du doublet électrostatique. Le doublet électrostatique est constitué de deux charges ponctuelles au repos, de signes opposés +Q et – Q et distantes de a. En coordonnées sphériques (r, θ, ϕ), on obtient le schéma suivant. Les charges étant alignées le long de l’axe Oz, le problème est indépendant de l’angle ϕ (symétrie de révolution autour de l’axe Oz). z Er = − M 1 ∂V r ∂θ Eθ = − r2 θ +Q a -Q x r1 r a cos θ ϕ ∂V ∂r y Electronique B8 – Notes de cours leçon n° 13 Gérard Hincelin 4 r Le champ électrique résultant E au point M est la somme vectorielle des champs créés en r ce point par chacune des charges. Le calcul direct de E en chaque point de l’espace est donc difficile. Il est plus simple de calculer le potentiel, qui est un scalaire, puis d’en déduire r les composantes du champ E par dérivation. Calcul du potentiel : Il est égal à la somme algébrique des potentiels créés par chacune des deux charges, ce qui s’écrit avec les notations de la figure : V= Q 1 1 Q r1 − r2 − = 4πε 0 r2 r1 4πε 0 r1r2 (0.8) Lorsque le point M est situé loin du doublet (r >> a), on peut faire les approximations suivantes : r1 − r2 " a cos θ et r1r2 " r 2 (0.9) d’où V" Qa cos θ 4πε 0 r 2 (0.10) Calcul du champ électrique : En coordonnées sphériques, les composantes du champ r r électrique ( E = −∇V ) s’écrivent : ∂V Qa cos θ = ∂r 2πε 0 r 3 1 ∂V Qa sin θ = Eθ = − 4πε 0 r 3 r ∂θ 1 ∂V Eϕ = − =0 r sin θ ∂ϕ Er = − (0.11) (0.12) (0.13) Les coordonnées étant celles de la figure 1, les courbes équipotentielles dans un plan contenant le dipôle sont représentées en pointillés (les surfaces sont obtenues par une rotation autour de l’axe vertical, ou axe du dipôle) : Le potentiel passe par un extremum dans l’axe du dipôle (positif vers la charge > 0, négatif vers la charge < 0). Les lignes de champ électrique sont en tout point perpendiculaires aux surfaces équipotentielles, le champ étant comme toujours orienté du potentiel le plus élevé vers le potentiel le plus faible. axe du dipôle équipotentielles lignes de champ électrique Electronique B8 – Notes de cours leçon n° 13 Gérard Hincelin 5 III. CHAMP MAGNETIQUE CREE PAR UN COURANT III.1 – Potentiel vecteur Les équations de la magnétostatique s’écrivent : r r ∇. B = O Loi de Gauss : (0.14) r r r ∇× H = J Loi d’Ampère : (0.15) r r r r La divergence de B étant nulle, on utilise l’identité vectorielle : ∇. ∇ × A = 0 (la divergence du r rotationnel est nulle), pour définir le potentiel vecteur A : r r r B = ∇× A (0.16) ( ) Transposons dans la seconde équation : r r r r ∇ ×∇ × A = µ0 J (0.17) r r r r r r r r r Développons le double produit vectoriel d’après la règle : A × B × C = A. C B − A. B C , ce qui donne : ( ) ( ) r r r r r r r r r r ∇ ×∇ × A = ∇. A ∇ − ∇ ×∇ A = µ0 J ( ) ( ) (0.18) Ce que l’on décompose en deux équations qui doivent être satisfaites simultanément : r r ∇ 2 A = − µ0 J r r ∇. A = 0 (0.19) (0.20) La première équation (0.19) a une forme identique à l’équation de Poisson, mais porte sur des vecteurs. Elle conduit en fait à écrire trois équations, une pour chaque composante : on écrira par exemple en coordonnées cartésiennes, pour la composante Jx du courant : ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax + 2 + 2 = − µ0 J x ∂x 2 ∂y ∂z (0.21) et deux équations pour les composantes Jy et Jz. La seconde équation (0.20) est une condition de Jauge qui s’écrit en coordonnées cartésiennes : ∂Ax ∂Ay ∂Az + + =0 ∂x ∂y ∂z (0.22) Cette condition permet de déterminer les valeurs des constantes d’intégration. r Etant donnée une distribution des lignes de courant, caractérisée par le vecteur J (de r composantes (Jx, Jy, Jz), le potentiel vecteur A en un point M de coordonnées (X, Y, Z) se calcule en intégrant l’équation (0.19). On remarque que cette relation est formellement identique à l’équation de Poisson de l’électrostatique, pour laquelle nous venons de donner une solution dans le cas où le second membre est une distribution de charges (ici de courant) r localisée dans l’espace : J remplaçant ρ et µ0 remplaçant 1 ε 0 , la composante Ax du potentiel vecteur s’écrit d’après l’équation (0.7) Ax = • • • µ0 4π ∫ volume v J x ( x, y, z ) dxdydz (x − X ) + ( y −Y ) + (z − Z ) 2 2 2 (0.23) La composante Ax ne dépend que de Jx. Les composantes Ay (qui ne dépend que de Jy) et Az (qui ne dépend que de Jz) sont données par deux équations similaires. Le volume d’intégration v s’étend à toute la région traversée par le courant. Electronique B8 – Notes de cours leçon n° 13 Gérard Hincelin 6 III.2 – Champ magnétique créé par un élément de courant (formule de BIOT et SAVART) Considérons un fil conducteur rectiligne de longueur infinie, de section S, parcouru par un courant constant et uniforme de valeur I. Isolons un petit élément du conducteur de longueur finie ∆z centré sur l’origine des coordonnées, comme indiqué sur la figure suivante, et calculons le potentiel vecteur créé par le seul élément ∆z en un point M situé à l’extérieur du conducteur, ce qui revient à négliger pour le moment l’action du courant qui traverse le reste du conducteur. z S X M Y Z r r1 ∆z x x P y z y I • • r Le vecteur J a pour composantes Jx = Jy = 0 ; J z = I , Jz étant supposé constant en S tout point du conducteur. Le point M de coordonnées (X, Y, Z) est suffisamment loin du conducteur, pour que l’on puisse admettre pour tout point P (coordonnées x, y, z), du petit volume d’intégration l’approximation : X − x " X ; Y − y " Y; Z − z " Z L’équation (0.23) permet alors d’écrire pour l’unique composante Az : Az " µ0 I dxdydz µI = 0 ∫ 2 2 2 4π S v X + Y + Z 4π ∆z X +Y2 + Z2 2 (0.24) Ax = Ay = 0 car Jx = J y = 0 r r r Le champ magnétique donné par la relation (0.16) B = ∇ × A a pour composantes en et coordonnées cartésiennes : Bx = µ I ∆z ∂Az ∂Ay Y =− 0 − ∂Y ∂Z 4π ( X 2 + Y 2 + Z 2 )3 2 (0.25) By = ∂Ax ∂Az µ0 I ∆z X − = 2 ∂Z ∂X 4π ( X + Y 2 + Z 2 )3 2 (0.26) Bz = ∂Ay ∂X − ∂Ax =0 ∂Y (0.27) Electronique B8 – Notes de cours leçon n° 13 Gérard Hincelin 7 Les coordonnées sphériques ( r , θ , ϕ ) sont mieux adaptées au problème. Posons (voir la figure ci-dessous) : X = r sin θ cos ϕ et Y = r sin θ sin ϕ z Az Bϕ Sens de Bϕ donné par la règle du « tire-bouchon » M θ r ϕ x Bϕ Bx y By I On en déduit : Bx = − By = µ0 I ∆z sin θ sin ϕ = − Bϕ sin ϕ 4π r 2 µ0 I ∆z sin θ cos ϕ = Bϕ cos ϕ 4π r 2 Ce qui montre que le champ magnétique ne possède qu’une composante circulaire Bϕ (pas de composante radiale Br ), qui a pour expression : Bϕ = • µ0 I ∆z sin θ 4π r 2 (0.28) Le sens du champ magnétique est donné par la règle du tire-bouchon : ce dernier progresse dans le sens du courant en tournant dans le sens de l’induction (ou du champ) magnétique. r r r Le vecteur B est perpendiculaire au plan qui contient l’axe Oz et le vecteur r = OM , la relation (0.28) peut alors se mettre sous la forme vectorielle : r r µ r r B = 0 3 I ∆z × r 4π r (0.29) Le vecteur ∆z étant orienté dans le sens du courant. C’est la formule de BIOT et SAVART (première moitié du XIXé siècle). On peut l’écrire sous forme différentielle, pour ∆z → dz : r µ r r dB = 0 3 Idz × r 4π r Electronique B8 – Notes de cours leçon n° 13 Gérard Hincelin 8 IV. POTENTIEL ET CHAMP DU DOUBLET DE HERTZ IV.1 – Potentiel retardé Considérons maintenant le cas où l’élément conducteur ∆z = a, centré sur l’origine des coordonnées, est parcouru par un courant alternatif de pulsation ω de la forme : I = I 0 exp ( jωt ) (0.30) z dAz S X M Y Z r1 vitesse c a y x P y z x I = I 0 exp ( jωt ) Le vecteur densité de courant ne possède, comme précédemment, qu’une composante Iz = I0 exp ( jωt ) ( I x = I y = 0 ). L’élément de volume dv = dxdydz entourant le point P, crée S au point M un potentiel vecteur élémentaire dAz, mais du fait que le signal émis au point P se propage dans le vide à la célérité de la lumière c, la valeur du potentiel au temps t est donnée par la valeur du signal au temps t – r/c. Le potentiel retardé s’écrit donc : dAz (t ) = µ0 4π I z ( x, y, z, t − r c ) dxdydz (x − X ) + ( y −Y ) + (z − Z ) 2 2 2 (0.31) Dans le cas où la distance r est grande devant a et devant le diamètre du conducteur, il apparaît plusieurs simplifications : (x − X ) + ( y −Y ) + (z − Z ) • On peut poser r1 = • Le retard r/c peut être considéré comme constant (indépendant de la position du point P) 2 2 2 " X 2 +Y2 + Z2 = r Les équations étant linéaires, la potentiel Az est simplement la somme étendue à tout le volume v = aS de tous les effets élémentaires, ce que nous écrirons : Az (t ) = I 0 exp jω ( t − r c ) µ0 dxdydz ∫∫∫ r 4π S v (0.32) Le courant étant supposé uniforme (indépendant de x, y et z), le terme I0 sort de l’intégrale, qui ne porte plus que sur le volume ( dxdydz = aS ). ∫∫∫ v On obtient finalement : Az (t ) = µ0 I 0 a exp jω ( t − r c ) 4π r (0.33) Electronique B8 – Notes de cours leçon n° 13 Gérard Hincelin 9 IV.2 – Induction magnétique Le champ magnétique se déduit du potentiel vecteur, par application de la relation : r r r B = ∇× A Comme précédemment, ses composantes s’écrivent en coordonnées cartésiennes : ∂A ∂A ∂r ∂Az Bx = z = z = sin θ sin ϕ ∂Y ∂r ∂Y ∂r ∂A ∂A ∂r ∂A By = − z = − z = − z sin θ cos ϕ ∂X ∂r ∂X ∂r ∂Ay ∂Ax − =0 Bz = ∂X ∂Y Y (0.34) Bϕ Bx (0.35) ϕ (0.36) ϕ By X Ces équations montrent que l’induction magnétique possède uniquement une composante circulaire Bϕ qui s’écrit (voir la figure) : Bϕ = − ∂Az sin θ ∂r (0.37) Dérivons Az, relation (0.33), par rapport à r et reportons l’expression dans la relation (0.37) pour obtenir Bϕ : Bϕ = − ∂Az µ I a ωr r sin θ = 0 0 2 1 + j sin θ exp jω t − c ∂r 4π r c (0.38) IV.3 – Champ électrique Le courant qui circule dans le petit conducteur de longueur a doit nécessairement s’annuler en z = ± a (à l’extrémité du conducteur). L’équation de continuité électrique implique donc 2 qu’il y ait en ces deux points accumulation de charges de valeurs + Q et – Q. Par définition dQ = Idt , on en déduit : Q(t ) = ∫ Idt = I 0 ∫ exp( jωt ) = I0 exp( jωt ) jω (0.39) Ce qui montre que la charge qui oscille à la pulsation ω est déphasée de π/2 par rapport au courant : au cours de l’alternance positive du courant, il y a accumulation de charges positives à l’extrémité supérieure du conducteur. Lorsque la charge est maximum, le courant s’annule et change de sens pour transporter les charges positives vers l’autre extrémité. L’existence de charges aux extrémités du conducteur constitue un dipôle électrique qui crée un champ électrique. On peut dire également que le champ magnétique variable induit un champ électrique dans l’espace. Ces champs sont liés entre eux par l’équation de Faraday – Maxwell. En tenant compte du fait qu’il n’y a pas de courant de conduction dans le vide et en exprimant le courant de déplacement pour un champ harmonique, on peut écrire : soit : r r r ∂D r ∇ × H = Ic + = jωε 0 E ∂t r r r 1 E= ∇× H jωε 0 ( ) (0.40) (0.41) Electronique B8 – Notes de cours leçon n° 13 Gérard Hincelin 10 Du fait que les composantes Hr et Hθ sont nulles, il est tout indiqué d’utiliser les coordonnées r r r sphériques (r, θ, ϕ). On trouve dans les formulaires l’expression du rotationnel, ur , uθ , uϕ étant des vecteurs unitaires : r r ∇× H = 1 ∂ ( H ϕ sin θ ) ∂Hθ − r sin θ ∂θ ∂ϕ r 1 1 ∂H ∂ (rHϕ ) r 1 ∂ ( rHθ ) ∂H r r r − − uθ + ur + uϕ r r r r ∂ ∂ ∂ ∂ θ ϕ θ sin D’où l’on tire les expressions des trois composantes du champ électrique : ∂ ( Hϕ sin θ ) ∂H 1 1 ∂ ( Hϕ sin θ ) − θ= ∂θ ∂ϕ jωε 0 r sin θ ∂θ 1 1 1 ∂H r ∂ (rH ϕ ) 1 ∂ ( rHϕ ) Eθ = − =− jωε 0 r sin θ ∂ϕ ∂r jωε 0 r ∂r 1 1 ∂ ( rHθ ) ∂H r − Eϕ = =0 ∂θ jωε 0 r ∂r Er = 1 1 jωε 0 r sin θ (0.42) (0.43) (0.44) Rappelons que les composantes de E et H sont les amplitudes complexes, indépendantes du temps. Nous écrirons donc le champ magnétique sous la forme : Hϕ = I 0a (1 + j β r ) sin θ exp ( − j β r ) 4π r 2 en posant comme d’habitude pour la constante de propagation : β = (0.45) ω c . On trouve après quelques calculs et en réintroduisant le temps dans les expressions des champs : I 0a (1 + j β r ) sin θ exp j (ωt − β r ) 4π r 2 ηI a 1 Er = 0 2 + 1 cos θ exp j (ωt − β r ) 2π r j β r Hϕ = Eθ = avec η = jηβ I 0 a 1 1 + 1 + sin θ exp j (ωt − β r ) j β r ( j β r ) 2 4π r µ0 (soit l’impédance du vide égale à 377 Ω). ε0 (0.46) (0.47) (0.48) Electronique B8 – Notes de cours leçon n° 13 11 Gérard Hincelin V. RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE Nous venons de montrer qu’un petit élément conducteur de longueur a, parcouru par un courant alternatif de pulsation ω, crée dans l’espace à la distance r de l’origine, un champ magnétique et un champ électrique, dont les composants sont données par les trois relations ci-dessus. Les termes qui contiennent la variable r indiquent le comportement des champs en fonction de la distance. V.1 – Champ proche ou quasi-stationnaire Envisageons le cas β r = 2π r λ " 1 , qui englobe de fait deux situations différentes : En « champ proche », on calcule le champ près de l’origine, à une distance r " λ Le cas quasi-stationnaire, s’applique à un courant de très basse fréquence (λ très grande). Dans les deux cas, l’approximation β r " 1 conduit après simplifications aux expressions suivantes, moyennant quelques transformations simples : • • I0a Ia sin θ exp ( jωt ) = sin θ 2 4π r 4π r 2 ηI a 1 Qa cos θ Er " 0 2 cos θ exp [ jωt ] = 2π r j β r 2πε 0 r 3 Hϕ " Eθ " jηβ I 0 a 1 Qa sin θ sin θ exp ( jωt ) = 2 4π r ( j β r ) 4πε 0 r 3 (0.49) (0.50) (0.51) Le courant I et la charge Q étant donnés respectivement par les relations (0.30) et (0.39), on retrouve formellement les expressions établies dans le cas statique : • Pour le champ magnétique créé par un élément de courant constant (avec ∆z = a). • Pour les deux composantes du champ électrique créé par un dipôle. La présence de ces champs entraîne l’existence de densités d’énergie magnétique et électrique, accumulées dans l’espace autour du conducteur et traduisent en terme d’éléments de circuits électriques l’existence d’effets inductifs et capacitifs. Exercices : 1. Montrer que la puissance rayonnée est nulle en champ proche (ou que la valeur moyenne du vecteur de Poynting est nulle). 2. Calculer l’énergie We et Wm accumulée dans une sphère de diamètre a/2. V.2 – Champ lointain : l’onde TEM En s’éloignant de la source, les termes en 1/r2 et 1/r3 peuvent être ignorés devant les termes en 1/r : c’est l’hypothèse du « champ lointain ». Dans cette région, les champs ont pour expressions approchées : jβ I0a sin θ exp j (ωt − β r ) 4π r ηI a Er " 0 2 cos θ exp j (ωt − β r ) 2π r jηβ I 0 a Eθ " sin θ exp j (ωt − β r ) 4π r Hϕ " (0.52) (0.53) (0.54) Electronique B8 – Notes de cours leçon n° 13 Gérard Hincelin 12 On observe à grande distance de la source un effet de propagation radiale (suivant la coordonnée r) que traduit la présence du terme exp j (ωt − β r ) . L’expression (0.53) montre que l’amplitude de la composante Er tend vers zéro beaucoup plus vite que les autres composantes du champ. Par conséquent le champ lointain possède essentiellement une composante électrique et une composante magnétique, toutes deux transverses à la direction de propagation : • Elles sont de plus orthogonales et se propagent en phase, • Le rapport de leurs amplitudes est constant et égal à η. z Sr Hϕ ler trièdre r r ( E, H , S ) est direct θ Eθ r O y ϕ x Composantes du champ de l’onde sphérique Ces équations décrivent une onde sphérique de type TEM, émise par une source quasi ponctuelle qui est en fait une antenne élémentaire. on peut poser : A sin θ exp j (ωt − β r ) r A H ϕ = sin θ exp j (ωt − β r ) ηr Eθ = Les amplitudes des champs étant proportionnelles à sinθ, le champ rayonné est maximum dans le plan équatorial (θ = π/2) et s’annule le long de l’axe du dipôle (θ = 0). Axe du dipôle Plan équatorial Représentation tri-dimensionnelle du champ Electronique B8 – Notes de cours leçon n° 13 Gérard Hincelin 13 V.3 – Puissance rayonnée La densité de puissance rayonnée est donnée par la valeur moyenne du vecteur de Poynting, soit pour une onde harmonique : r 1 r r S = Re E × H ∗ 2 (0.55) Ses trois composantes s’écrivent en coordonnées sphériques : 1 1 Re Eθ H ϕ* − Eϕ Hθ* = Re Eθ H ϕ* 2 2 1 Sθ = Re Eϕ H r* − Er H ϕ* = 0 2 1 Sϕ = Re Er Hθ* − Eθ H r* = 0 2 Sr = (0.56) (0.57) (0.58) Seule la composante Sr est présente : l’énergie s’écoule radialement à partir de l’antenne. On trouve d’après (0.56) : 1 Eθ Sr = 2 η 2 η βa 2 2 = I 0 sin θ 2 4π r 2 (0.59) Sr représente la puissance moyenne qui s’écoule à travers l’unité de surface perpendiculairement à la direction de propagation (unité W/m2). Calculons la puissance totale rayonnée à travers une surface fermée entourant l’antenne. Le milieu n’étant pas absorbant, la divergence du vecteur de Poynting est nulle et le flux est constant à travers toute surface fermée : par commodité, on prendra une sphère centrée sur l’origine. La puissance rayonnée est égale au flux z du vecteur de Poynting : r ur r r P=" ∫∫ S . ds ds = r 2 sin θ dθ dϕ s r r S = S r ur θ L’élément de surface en coordonnées Sphériques, représenté sur la figure cicontre a pour expression : r r r ds = r 2 sin θ dθ dϕ ur P= 2π π r r S (u . u ) r ∫ ∫ ϕ θ r r r 2 sin θ dθ dϕ O = 0 =0 π η βa 2 3 I 0 ( 2π ) ∫ sin θ dθ 2 4π θ =0 2 P= x sin ∫ θ =0 3 r sin θ r sin θ dϕ Elément de surface en coordonnées sphériques Sachant que : π ϕ y 1 3 2 3 π θ dθ = − cos θ sin 2 θ − cos θ = 0 4 3 Il vient finalement : η η ω 2a 2 2 2 2 P= I0 ( β a ) I0 = 12π 12π c 2 (0.60) La puissance rayonnée est proportionnelle au carré de la fréquence. Les liaisons électromagnétiques utilisent donc une porteuse haute fréquence, modulée par l’information de basse fréquence. Electronique B8 – Notes de cours leçon n° 13 Gérard Hincelin 14 V.4 – Résistance d’antenne En négligeant les pertes, la puissance électrique moyenne fournie à l’antenne doit égaler la puissance moyenne rayonnée. Définissons la résistance d’antenne R, qui représente la partie résistive de la charge placée en bout de ligne du guide d’onde qui alimente l’antenne. Nous écrirons : P= 1 2 η 2 RI 0 = ( β a ) I 02 2 12π soit : R= η 2 (β a) 6π (0.61) (0.62)
