RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE

Electronique B8 – Notes de cours Gérard Hincelin
leçon n° 13 1
RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE.......................................................................2
I. INTRODUCTION..................................................................................................................... 2
II. DOUBLET ELECTROSTATIQUE........................................................................................... 2
II.1 – Equation de Poisson............................................................................................................... 2
II.2 – Potentiel créé par une distribution de charges....................................................................... 3
II.3 – Potentiel et champ du doublet électrostatique. ...................................................................... 3
III. CHAMP MAGNETIQUE CREE PAR UN COURANT......................................................... 5
III.1 – Potentiel vecteur................................................................................................................... 5
III.2 – Champ magnétique créé par un élément de courant (formule de BIOT et SAVART)......... 6
IV. POTENTIEL ET CHAMP DU DOUBLET DE HERTZ........................................................ 8
IV.1 – Potentiel retardé.................................................................................................................... 8
IV.2 – Induction magnétique........................................................................................................... 9
IV.3 – Champ électrique.................................................................................................................. 9
V. RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE..................................................................... 11
V.1 – Champ proche ou quasi-stationnaire ................................................................................... 11
V.2 – Champ lointain : l’onde TEM.............................................................................................. 11
V.3 – Puissance rayonnée.............................................................................................................. 12
VI. CARACTERISTIQUES DES ANTENNES............................................................................ 14

Electronique B8 – Notes de cours Gérard Hincelin
leçon n° 13 2
RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE
I. INTRODUCTION
L’antenne d’émission constitue l’interface entre l’onde guidée et l’onde qui se propage en
espace libre. La puissance émise par le générateur est généralement transmise à l’antenne
par une ligne de type coaxiale ou un guide d’ondes. Réciproquement, l’antenne de réception
collecte l’énergie d’une onde se propageant dans l’espace.
Le doublet de HERTZ est constituée d’un conducteur rectiligne parcouru par un courant
alternatif de fréquence ν, dont la longueur L est très inférieure à la longueur d’onde dans le
vide λ =c/ν. Cette antenne élémentaire, parfois prise comme source de référence, permet de
calculer le champ rayonné par des antennes filaires (de longueur plus grandes)
considérées comme une succession d’éléments dont chacun constitue un doublet.
Le rayonnement d’un doublet (ou rayonnement dipolaire) joue un rôle dans de nombreux
phénomènes de la physique.
II. DOUBLET ELECTROSTATIQUE
II.1 – Equation de Poisson
Les équations de base de l’électrostatique et de la magnétostatique se déduisent des
équations de Maxwell, à condition d’annuler les ternes dépendant du temps. Nous avons
montré qu’une charge électrique fixe Q suffit à créer un champ électrique et un potentiel V,
qui se déduisent des équations de base :
Loi de Gauss : 0
.E
ρ
ε
∇=
r
r (0.1)
Le champ électrique dérive d’un potentiel :
E
V=−∇
r
r (0.2)
En combinant ces deux équations, il vient
()
0
.V
ρ
ε
∇−∇ =
r
r. En notant
()
2
.VV∇∇ =∇
rr (ou
laplacien), on obtient l’équation de Poisson :
2
0
V
ρ
ε
∇=− (0.3)
qui s’écrit, par exemple, en coordonnées cartésiennes : 222
222 0
VVV
xyz
ρ
ε
∂∂∂
++=−
∂∂∂
L’intégration de l’équation (0.3), extrêmement difficile dans le cas général, permet de calculer
le potentiel électrostatique V(x,y,z) connaissant la distribution de charges ρ(x,y,z).
Le champ électrique se déduit ensuite du potentiel en appliquant la relation (0.2)

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leçon n° 13 3
II.2 – Potentiel créé par une distribution de charges
Cherchons une solution de l’équation (0.3) dans le cas particulier où la charge est localisée
dans un volume fini v. Pour cela, considérons tout d’abord une charge ponctuelle Q, située à
l’origine des coordonnées. On sait que le champ électrique ne possède en coordonnées
sphériques (r, θ, ϕ) qu’une composante radiale Er, qui vaut à la distance r de la charge (voir
leçon 1) :
2
0
4
rQ
Er
πε
= (0.4)
En supposant que le potentiel est nul à l’infini, on a montré que le potentiel V(r) au point r a
pour valeur:
0
() 4
r
rQ
Vr Edr r
πε
∞
=− =
∫ (0.5)
Dans le cas d’une densité de charges statiques ρ(x,y,z), localisées dans un volume v (cas
d’une charge non ponctuelle), on peut considérer que chaque élément de volume dv =
dxdydz, contenant la charge élémentaire dQ = ρ(x,y,z) dv, (donc considérée comme
ponctuelle) créé au point M de coordonnées (X, Y, Z) le potentiel élémentaire dV donné par :
()
()()()
222
0
,,
1
4
x y z dxdydz
dV
x
XyYzZ
ρ
πε
=−+−+− (0.6)
Les équations étant linéaires, le potentiel total créé au point M est égal à la somme de toutes
les contributions, soit :
()
()()()
222
0
,,
1
4volume v
x y z dxdydz
V
x
XyYzZ
ρ
πε
=−+−+−
∫ (0.7)
C’est une solution particulière de l’équation de Poisson.
II.3 – Potentiel et champ du doublet électrostatique.
Le doublet électrostatique est constitué de deux charges ponctuelles au repos, de signes
opposés +Q et – Q et distantes de a. En coordonnées sphériques (r, θ, ϕ), on obtient le
schéma suivant. Les charges étant alignées le long de l’axe Oz, le problème est
indépendant de l’angle ϕ (symétrie de révolution autour de l’axe Oz).
+ Q
- Q
θ
acosa
θ
r1
r2
M
r
y
z
x
ϕ
rV
Er
∂
=−∂
1V
Er
θθ
∂
=− ∂

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leçon n° 13 4
Le champ électrique résultant
E
rau point M est la somme vectorielle des champs créés en
ce point par chacune des charges. Le calcul direct de
E
r
en chaque point de l’espace est
donc difficile. Il est plus simple de calculer le potentiel, qui est un scalaire, puis d’en déduire
les composantes du champ
E
r par dérivation.
Calcul du potentiel : Il est égal à la somme algébrique des potentiels créés par chacune
des deux charges, ce qui s’écrit avec les notations de la figure :
12
02 1 012
11
44
QQrr
Vrr rr
πε πε
 −
=−=
 (0.8)
Lorsque le point M est situé loin du doublet (r >> a), on peut faire les approximations
suivantes : 2
12 12
cosrr a etrr r θ −"" (0.9)
d’où
2
0
cos
4
Qa
Vr
θ
πε
" (0.10)
Calcul du champ électrique : En coordonnées sphériques, les composantes du champ
électrique (
E
V=−∇
rr
) s’écrivent :
3
0
cos
2
rVQa
Err
θ
πε
∂
=− =
∂ (0.11)
3
0
1sin
4
VQa
Err
θ
θ
θπε
∂
=− =
∂ (0.12)
10
sin V
Er
ϕ
θϕ
∂
=− =
∂ (0.13)
Les coordonnées étant celles de la figure 1, les courbes équipotentielles dans un plan
contenant le dipôle sont représentées en pointillés (les surfaces sont obtenues par une
rotation autour de l’axe vertical, ou axe du dipôle) :
Le potentiel passe par un extremum dans l’axe du dipôle (positif vers la charge > 0, négatif
vers la charge < 0).
Les lignes de champ électrique sont en tout point perpendiculaires aux surfaces
équipotentielles, le champ étant comme toujours orienté du potentiel le plus élevé vers le
potentiel le plus faible.
axe du
dipôle équipotentielles
lignes de champ
électrique

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leçon n° 13 5
III. CHAMP MAGNETIQUE CREE PAR UN COURANT
III.1 – Potentiel vecteur
Les équations de la magnétostatique s’écrivent :
Loi de Gauss : .
B
O∇=
r
r (0.14)
Loi d’Ampère :
H
J∇× =
r
rr
(0.15)
La divergence de
B
rétant nulle, on utilise l’identité vectorielle :
()
.0A∇∇× =
r
r
r (la divergence du
rotationnel est nulle), pour définir le potentiel vecteur A
r
:
B
A=∇×
r
r
r (0.16)
Transposons dans la seconde équation :
0
AJ
µ
∇×∇× =
r
r
rr
(0.17)
Développons le double produit vectoriel d’après la règle :
()()
..ABC ACB ABC××= −
r
rrr rr
r
rr
, ce
qui donne :
()
()
0
.AA AJ
µ
∇×∇× = ∇ ∇− ∇×∇ =
r
rr
rr r r rr r
(0.18)
Ce que l’on décompose en deux équations qui doivent être satisfaites simultanément :
20
AJ
µ
∇=−
r
r
(0.19)
.0A∇=
r
r
(0.20)
La première équation (0.19) a une forme identique à l’équation de Poisson, mais porte sur des
vecteurs. Elle conduit en fait à écrire trois équations, une pour chaque composante : on écrira
par exemple en coordonnées cartésiennes, pour la composante Jx du courant :
222
0
222
xxx x
AAA
J
xyz
µ
∂∂∂
++=−
∂∂∂ (0.21)
et deux équations pour les composantes Jy et Jz.
La seconde équation (0.20) est une condition de Jauge qui s’écrit en coordonnées
cartésiennes :
0
y
xz
A
AA
xyz
∂
∂∂
++=
∂∂∂ (0.22)
Cette condition permet de déterminer les valeurs des constantes d’intégration.
Etant donnée une distribution des lignes de courant, caractérisée par le vecteur
J
r
(de
composantes (Jx, Jy, Jz), le potentiel vecteur A
r
en un point M de coordonnées (X, Y, Z) se
calcule en intégrant l’équation (0.19). On remarque que cette relation est formellement
identique à l’équation de Poisson de l’électrostatique, pour laquelle nous venons de donner
une solution dans le cas où le second membre est une distribution de charges (ici de courant)
localisée dans l’espace :
J
r remplaçant ρ et 0
µ
remplaçant 0 1
ε
, la composante Ax du
potentiel vecteur s’écrit d’après l’équation (0.7)
()
()()()
0
222
,,
4x
xvolume v
J x y z dxdydz
A
x
XyYzZ
µπ
=−+−+−
∫ (0.23)
• La composante Ax ne dépend que de Jx.
• Les composantes Ay (qui ne dépend que de Jy) et Az (qui ne dépend que de Jz) sont
données par deux équations similaires.
• Le volume d’intégration v s’étend à toute la région traversée par le courant.