Séries numériques

Chapitre 2
Séries numériques
2.1
2.1.1
Définition et convergence de séries numériques
Définitions de base
Soit (an )n une suite de nombres réels ou complexes. Dans le premier chapitre nous nous sommes intéressés à
l’opération ‘prendre la limite’. Elle n’est pas toujours définie (pour les suites n’ayant pas de limite), mais faisais
intervenir l’ensemble de la suite. Dans ce chapitre nous nous intéressons à une autre opération très naturelle à tenter.
Additionner tous les éléments de la suite. C’est-à-dire, nous nous intéressons au sens à donner à la somme infinie
+∞
X
an .
n=n0
On découvre de suite que quelque soit sa définition, la valeur devra être très dépendante des quelques premiers termes,
car l’on devra respecter
n0 < n1 , =⇒ (an0 + an0 +1 + · · · + an1 −1 ) +
+∞
X
n=n1
an =
+∞
X
an .
n=n0
P
Définition 2.1.1 Soit (an )n une suite numérique (complexe). Alors la somme formelle n=n0 an est dite une série
numérique. La suite (an )n est la suite de ses termes. Ce n’est rien d’autre que la suite elleP
même, plus l’information
que l’on se propose d’étudier la somme, et ce à partir de son n0 -ième terme. L’on écrira
an succinctement, si ce
dernier point est remis à plus tard, et l’on considère des sommes à partir de n0 = 0.
On dira que la série est réelle, si ses termes sont des nombres réels.
P
Exemple
2.1.1
1 est une série,Pce sera une série divergente, la somme de tous ses termes ne peut être un nombre.
P 1 n
+∞
( 3 ) est une série, et l’on aura n=n0 ( 31 )n = 2×33 n0
P
Pn
Définition 2.1.2 Soit
an une série. Alors sa suite associée (An )n est définie
P par An = k=0 ak pour n > 0. On
l’appellera aussi sa suite des sommes partielles associée. Si l’on s’intéresse à n=n0 an ; alors sa suite des sommes
Pn
partielles à partir de n = n0 associée (A∗n )n=n0 est définie par A∗n = k=n0 ak pour n > n0 .
Le symbole A∗ est choisit pour attirer l’attention sur le fait que la suite de sommes partielles est calculée à partir d’un
indice autre que 0. Nous avons An = An0 −1 + A∗n , si n ≥ n0 .
La donnée de la suite associée détermine complètement la série, car an = An − An−1 .
P
P
Définition 2.1.3 Soient
an une série et (An )n sa suite des sommes partielles
associée. Alors on dit que
an
P
converge si (An )n converge, et dans ce cas on définit la somme de la série
an par
+∞
X
n=0
an = lim An .
n→+∞
Si la suite (An )P
n ne converge pas, on dira que la série diverge.
Si la série
an diverge, mais limP
n→+∞ An existe (et alors obligatoirement on a que c’est une série réelle et
+∞
limn→+∞ An ∈ {−∞, +∞}) on définit n=0 an = limn→+∞ An .
En effet, le seul cas où l’on a définit une limite pour une suite qui n’est pas convergente, est la cas réel, avec limite
infinie.
13
CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES
14
P
PN
Ainsi :
a est une suite avec une information. Pour chaque N, AN = n=0 an est un nombre. Et (lorsqu’il
P+∞ n
existe) n=0 an est aussi un nombre. On peut écrire,
+∞
X
an =
n=0
lim
N →+∞
N
X
an .
n=0
P
P
On dira que deux séries an et
bn sont de même nature si elles sont simultanément toutes deux convergentes,
ou toutes deux divergentes. Leurs nature est alors définie comme étant soit ‘convergentes’ soit ‘divergentes’. Lorsque
leur nature est divergente, mais leur somme est définie, c’est-à-dire ±∞, il est utile de préciser, le cas échéant : ‘les
séries sont de même nature, divergentes vers +∞ ’. Souvent, lorsqu’une série est divergente, mais on sait que sa suite
de sommes partielles associées a plusieurs valeurs d’adhérence, on dis que c’est une série oscillante. Ce sont des façons
de parler bien commodes.
P n
P∞
P∞
P∞ 1
r pour
Exemples 2.1.1
n=0 0 = 0,
n=0 1 = +∞,
n=0 2n = 2. La série la plus importante sera pour nous,
r ∈ K, dite série géométrique, une section ultérieure les décrit.
P
P
Lemme 2.1.1 Quelque soit la façon de définir les premiers termes : a0 , a1 , . . . , an0 −1 , les séries
an et n=n0 an
sont de même nature. Et on a
+∞
+∞
X
X
an = An0 −1 +
an
n=n0
n=0
avec la convention ±∞ + α = ±∞, pour tout α ∈ R.
Ce qui est clair par la formule AN = An0 −1 + A∗N .
P
Remarque 2.1.1 De façon similaire, on peut définir des séries
fn , où les fn sont des éléments d’un espace vectoriel
muni d’une norme.
Lorsqu’il s’agit d’un espace vectoriel de dimension finie le traitement se fait ‘composante à composante’ et il ne
présentera pas de difficultés, une fois que l’on aura bien compris les relations entre les séries de nombres complexes,
et les séries des parties réelles et imaginaires associées.
Dans ce texte, on mentionnera à l’occasion des résultats non évidents sur les séries de matrices, si importantes dans
les applications et aux équations différentielles et à l’analyse numérique. Ce sont des affirmations ‘hors programme’.
Dans ce chapitre nous étudions les séries numériques. Plus tard nous regarderons des séries de fonctions, et ce sera
les seuls cas d’espaces de dimension infini que l’on abordera cette année.
P
P
P
Proposition 2.1.1 (Linéarité) Si séries
an et
bn convergent, alors pour tous λ, µ ∈ C la série (λan +µbn )
converge et (∀n0 )
∞
∞
∞
X
X
X
bn .
an + µ
(λan + µbn ) = λ
n=n0
n=n0
n=n0
∗
À nouveau, clair car la suite des sommes partielles associée à (λan + µbn ) n’est autre que (λA∗N + µBN
)N , et l’on
a la linéarité de la limite des suites.
P
P
P
Corollaire 2.1.1 Si
an converge mais
bn diverge, alors (an + bn ) diverge.
P
P
P
P n
Attention. La série
(an + bn ) peut être convergente, même si
an et
bn divergent. Par exemple,
2 et
P
1
n
( 2n − 2 ) divergent, mais leur somme, converge, sa somme est 2.
P
P
Proposition 2.1.2 (Comparaison des sommes) Si deux séries réelles
an et
bn convergent, et si pour tout
n ≥ n0 , an ≤ bn , alors
∞
∞
X
X
bn .
an ≤
P
n=n0
n=n0
Proposition
d’une série complexe) Une série complexe
P 2.1.3 (Convergence
P
les séries
Re(an ) et
Im(an ) convergent toutes les deux, et dans ce cas
∞
X
n=n0
an =
∞
X
n=n0
Re(an ) + i
∞
X
P
an converge si et seulement si
Im(an ).
n=n0
PN
PN
PN
En effet, notons AN = n=0 an ; BN = n=0 Re(an ); CN = n=0 Im(an ). Nous avons BN = Re(An ) et CN =
Im(AN ). La proposition affirme donc que la suite (AN )N est convergente si et seulement si ses paries réelle et
imaginaires convergent, auquel cas la limite de (AN )N à pour partie réelle la limite de (BN )N et pour partie imaginaire
la limite de (CN )N . Mais cela est bien le cas pour toute suite de nombres complexes !
CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES
2.1.2
15
Les restes d’une série
P
Définition 2.1.4
Si
an est une série
convergente, alors son reste à l’indice n ≥ 0 est la somme de la série
P+∞
P+∞
(convergente) : k=n ak . Ainsi Rn = k=n akP
est pour chaque n un nombre (comme justifié dans la proposition qui
suit) et Rn )n est la suite des restes de la série
an .
Bien entendu, on ne peut définir la suite des restes d’une série divergente.
P
Proposition
an une série convergente et soit pour tout n ≥
P+∞2.1.4 (Les restes d’une série convergente) Soit
0, Rn = k=n ak . Alors Rn est bien défini, et
lim Rn = 0.
n→∞
Preuve. Soit A la somme de
(n)
P+∞
an et (AN )N la suite associée. Notons RM =
(n)
Pour N assez grand et n fixé, nous avons AN = An−1 + RN c’est-à-dire
n=0
N
X
ak =
k=0
n−1
X
ak +
N
X
PM
k=n
ak la suite associée à la série
P
k=n
ak .
ak .
k=n
k=0
Le terme An−1 ne dépend pas de N, on peut calculer la limite, lorsque N → +∞, et obtenir, que Rn est bien définit, puis
l’égalité numérique : A = An−1 + Rn , valable pour chaque n > 0. Puisque limn→+∞ An−1 = A, on a A = A + limn→+∞ Rn ,
ainsi limn→+∞ Rn existe et sa valeur est 0.
⋄
2.1.3
Critère de Cauchy
Définition 2.1.5 On dit que la série
P
an vérifie le critère de Cauchy si
q
X ∀ε > 0 ∃N ∈ N tel que ∀p ≥ N ∀q ≥ p on a an ≤ ε.
n=p
Pn
Autrement dit, la série an satisfait le critère de Cauchy si et seulement si la suite associée (An )n , An = k=0 ak ,
est une suite de Cauchy. Comme une suite numérique converge si et seulement si elle est de Cauchy, on en déduit la
preuve du théorème suivant.
P
Théorème 2.1.1 (Critère de Cauchy) Une série numérique
an est convergente si et seulement si elle vérifie le
critère de Cauchy.
P
Dans le cas de divergence, on ne peut avoir d’autres renseignements, divergence vers l’infini, ou oscillation. En
faisant p = q = n on a
P
Corollaire 2.1.2 Une condition nécessaire pour que la série
an converge est que limn→∞ an = 0.
P
Définition 2.1.6 Une série
an est dite grossièrement divergente si la condition limn→∞ an = 0 n’est pas satisfaite.
P2n
P1
1
1
Exemple 2.1.2 La série harmonique
k=n+1 k ≥ 2 .
n diverge car pour tout n ≥ 1,
2.1.4
Convergence absolue
Définition
2.1.7 Une série
P
|an | converge.
P
an (réelle ou complexe) est dite absolument convergente si et seulement si la série
Théorème 2.1.2 (Convergence absolue implique convergence) Si
et pour tout n0 ,
∞
∞
X
X
a
≤
|an | .
n
n=n
n=n
0
Preuve. L’inégalité triangulaire
P
an converge absolument, alors elle converge
0
q
q
X X
|an |
an ≤
n=p
n=p
P
P
permet de déduire que
an vérifie le critère de Cauchy dès que c’est le cas pour
|an |. Avec p = n0 et q = N, la continuité
du module (valeur absolue) permet, par un passage à la limite, N → +∞, d’obtenir l’importante majoration de l’énoncé.
⋄
Ceci peut fonctionner comme un critère de convergence, et justifie pleinement l’attention que l’on portera aux
P (−1)nn
séries à termes positifs. Par exemple
converge, car elle converge absolument. Sa somme, à partir de 1, est
2n
inférieure ou égal à 1. Quelle est sa valeur ?
CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES
2.1.5
16
Séries à termes positifs
Une série numérique est dite à termes positifs, si ses termes sont tous des nombres réels positifs ou nuls.
Théorème 2.1.3 (Convergence de séries positives) Une série à termes réels positifs converge si et seulement si
la suite associée est majorée, et dans ce cas la somme de la série est la borne supérieure de la suite associée.
La série est divergente si et seulement si AN → +∞. La divergence d’une série à termes positifs est toujours vers
+∞.
P
P
P
Corollaire 2.1.3 Soient
an etP bn deux
(an + bn ) converge si
P séries à termes positifs. Alors la série somme
et seulement si les deux séries
an et
bn convergent.
2.2
2.2.1
Étude de la convergence absolue
Comparaison de deux séries
P
P
P
Théorème 2.2.1 (Comparaison par majoration) Soient
an etP bn deux séries à termes réels. Si
bn
converge et s’il existe n0 tel que pour tout n ≥ n0 , 0 ≤ an ≤ bn , alors
an converge.
∞
Preuve. Soient (An )∞
n=n0 et (Bn )n=n0 le suites associées à partir de n = n0 de
P
an et
l’on somme des termes positifs, ce sont des suites croissantes et ∀n ≥ n0 , An ≤ Bn .
P
bn respectivement. Alors, puisque
⋄
P
P
P
Corollaire 2.2.1 (Comparaison
par O) Soient
an et
bn deux séries. Si
bn converge absolument et si
P
an = O(bn ), n → ∞, alors
an converge absolument.
Preuve. Soient M et N tels que ∀n ≥ N , |an | ≤ M |bn |. Comme
théorème précédent,
P
|an | converge.
Corollaire 2.2.2 P
(Comparaison
par équivalence) Soient
P
bn , n → ∞, alors
an et
bn sont de même nature.
P
|bn | converge,
P
an et
P
P
M |bn | converge aussi, et donc, par le
⋄
bn deux séries à termes positifs. Si an ∼
Preuve. De l’équivalence asymptotique nous déduisons an = O(bn ) et bn = O(an ), n → ∞. Puisque la convergence absolue
pour des suites à termes positifs coïncide avec la convergence, c’est bien un corollaire immédiat.
⋄
Proposition 2.2.1 (Convergence absolue d’une série complexe) Une série complexe converge absolument si
et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire toutes les deux convergent absolument.
Preuve. Si z ∈ C, alors
max |Re z| , |Im z| ≤ |z| ≤ |Re z| + |Im z| .
2.2.2
⋄
Séries géométriques
Définition 2.2.1 Toute série complexe de la forme
géométrique.
P
q n , q ∈ C, (en utilisant ici la convention 00 = 1), est dite série
Proposition 2.2.2 (Somme d’une série géométrique) Si |q| ≥ 1, alors la série
ment). Si |q| < 1, alors la série converge et
∞
X
1
.
qn =
1
−
q
n=0
P∞
n=0
q n diverge (grossière-
Preuve. Dans le cas |q n | ≥ 1 le terme général ne converge pas vers 0, la divergence est grossière. Pour q 6= 1 et pour tout N ≥ 1,
N
−1
X
n=0
qn =
1 − qN
.
1−q
Ceci permet, par passage à la limite, de prouver la convergence dans le cas |q| < 1, et de calculer la somme à partir de 0.
⋄
CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES
Remarque 2.2.1 Puisque
17
PN
n
n0
n=n0 q = q
PN −n0
n=0
q n , on en déduit, pour |q| < 1,
+∞
X
n=n0
q n = q n0
+∞
X
qn .
n=0
Dans les deux sections suivantes on énonce deux critères de convergence, obtenus par la comparaison à une série
géométrique. Leur usage constant leur donne le nom de ”règles”.
2.2.3
Règle de Cauchy
Rappel :
lim inf an = lim inf ak = sup inf ak ,
n→∞
n→∞ k≥n
n k≥n
lim sup an = lim sup ak = inf sup ak .
n→∞ k≥n
n→∞
n k≥n
Pour toute suite (an ), lim inf n→∞ an et lim supn→∞ an existent comme éléments de [−∞, ∞], et lim inf n→∞ an ≤
lim supn→∞ an . Enfin, si limn→∞ an existe, alors lim inf n→∞ an = lim supn→∞ an = limn→∞ an .
P
Théorème 2.2.2 (Règle de Cauchy) Soit
an une série numérique. On pose
λ = lim sup |an |
1/n
.
n→∞
Alors
P
1. si λ < 1, la série
an converge absolument,
P
2. si λ > 1, la série
an diverge grossièrement.
Preuve. (1) Supposons λ < 1. Soit µ < 1 tel que λµ < 1. Soit N tel que ∀n ≥ N |an |1/n ≤ µ. Alors ∀n ≥ N |an | ≤ µn et l’on
peut majorer la série qui nous intéresse par une série géométrique convergente.
(2) Supposons λ > 1. Il existe une suite extraite (donnée par k 7→ nk ) de (|an |1/n )n dont la limite est λ. Soit K tel que
∀k ≥ K |ank |1/nk ≥ 1. Alors ∀k ≥ K |ank | ≥ 1, la suite (|an |)n ne peut converger vers 0.
⋄
2.2.4
Règle de d’Alembert
Théorème 2.2.3 (Règle de d’Alembert) Soit
Posons
L = lim sup
n→∞
P
an une série numérique vérifiant an 6= 0 pour tout n ≥ n0 .
|an+1 |
,
|an |
l = lim inf
n→∞
Alors
P
1. si L < 1, la série
an converge absolument,
P
2. si l > 1, la série
an diverge grossièrement.
|an+1 |
.
|an |
Preuve. (1) Supposons L < 1. Soit µ tel que L < µ < 1. Soit N tel que ∀n ≥ N
|an+1 |
|an |
≤ µ. Alors en multipliant ces inégalités,
| n
on démontre par récurrence sur n, ∀n ≥ N |an | ≤ |aN | µn−N = |aµN
N µ . On peut majorer la série qui nous intéresse par une
série géométrique convergente.
|an+1 |
(2) Supposons λ > 1. Soit N ≥ n0 tel que ∀n ≥ N |an | > 1. Alors par récurrence sur n, ∀n ≥ N |an | ≥ |aN | > 0.
⋄
2.2.5
Comparaison d’une série et d’une intégrale
Pour ce paragraphe, il faudra se rapporter à l’appendice.
1– Pour un rappel de la définition de l’intégrale de Riemann et de ces propriétés.
2– La définition de la convergence de l’intégrale impropre, ou généralisée :
Z X
Z +∞
f (t)dt.
f (x)dx = lim
X→+∞
a
a
L’avantage des intégrales, par rapport aux séries, est que lorsque l’on peut calculer explicitement une primitive,
l’on aura
Z +∞
f (x)dx = lim F (X) − F (a),
F ′ = f =⇒
a
X→+∞
chose qu’il serait difficile à mettre en oeuvre pour le calcul des sommes des séries.
CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES
18
Théorème 2.2.4 (Comparaison avec une intégrale) Soit f : [n0 , ∞[→ R monotone.
R +∞
P
Alors la série
f (n) et l’intégrale n0 f (t) dt sont de même nature.
R +∞
Si f est positive et que l’intégrale n0 f (t) dt converge, alors pour tout n > n0 ,
Z
+∞
f (t) dt ≤
n
+∞
X
f (k) ≤
k=n
Z
+∞
f (t) dt.
n−1
Preuve. Il suffit d’étudier le cas où limx→∞ f (x) = 0. Quitte à multiplier par −1, sans perte de généralité, supposons que f est
décroissante. Si en un point elle est strictement négative, puisqu’elle décroit, son intégrale diverge. Et comme ses valeurs aux
points entiers qui suivent sont séparés de zéro, la série diverge grossièrement. Considérons le cas f positive.
Pour x ∈ [n, n + 1], n ≥ n0 , on a f (n + 1) ≤ f (x) ≤ f (n). Donc pour tous p ≥ n0 et q ≥ p tel que p, q ∈ Z, on a (par
comparaison des aires entre les fonctions en escalier, ce qui se vois dans une représentation graphique)
q+1
X
0≤
f (n) ≤
n=p+1
Z
q+1
f (t) dt ≤
p
q
X
f (n).
n=p
Ceci permet de relier le critère de Cauchy pour les intégrales (des fonction décroissantes positives) avec le critère de Cauchy
pour les séries.
R +∞
La deuxième affirmation s’en déduit car une fonction monotone positive dont l’intégrale n0 f (t)dt converge est obligatoirement décroissante et l’on peut passer aux limites dans l’inégalité ci-dessus.
⋄
2.2.6
Séries de Riemann
P∞
1
n=1 nα ,
où α ∈ R, est dite série de Riemann.
P∞
Proposition 2.2.3 (Convergence d’une série de Riemann) La série de Riemann n=1
ment si α > 1.
Définition 2.2.2 Toute série de la forme
Preuve. Comparaison avec l’intégrale
l’aide d’une primitive.
2.2.7
R∞
1
dt
.
tα
1
nα
converge si et seule-
La convergence ou divergence de cette intégrale est aisée, puisqu’on la calcule à
⋄
Convergence commutative d’une série
Rappel : une permutation d’un ensemble X est une bijection de X sur lui-même.
P+∞
Définition 2.2.3 Soit n=0 an une série numérique (ou plus généralement une série à termes dans un espace vectoriel
P+∞
normé). On dit que n=0 an est commutativement convergente si et seulement si pour toute permutation σ de N, la
P+∞
série n=0 aσ(n) converge.
Ici ce n’est pas seulement le premier terme que l’on somme mais c’est aussi l’ordre de sommation qui est mis en
valeur. Dès le début du chapitre l’ordre de sommation a été maintenu fixe, sans le mentionner.
P+∞
Théorème 2.2.5 (Convergence commutative de séries absolument convergentes) Une série numérique n=0 an
est commutativement convergente si et seulement si elle est absolument convergente, et dans ce cas
+∞
X
n=0
aσ(n) =
+∞
X
n=0
an
pour toute permutation σ : N → N.
Ce théorème sera admis.
P Détaillons la plus utile des implications, pour les étudiants les plus motivés.
Supposons que
an soit absolument convergente. Montrons que l’on peut sommer ses termes dans un ordre
indifférent et
toujours
obtenir la même somme. Pour cela fixons un nouvel ordre de sommation : σ : N → N bijective.
P+∞
Notons n=0 |an | = M ∈ R pour l’ordre initial et posons Nσ (n) = maxk≤n σ(k).
Par simple dénombrement, on constate que Nσ est croissante et vérifie ∀n, n ≤ Nσ (n). Comme
n
X
k=0
Donc la série
P+∞
k=0
Nσ (n)
|aσ(k) | ≤
X
l=0
|al | ≤ M,
∀n.
aσ(k) est absolument convergente. Pour sa convergence il faut calculer.
CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES
19
Si pour k ≥ 0, l’on a σ(k) > Nσ (n), l’indice σ(k) ne figure pas parmi les Nσ (n) premiers nombres naturels. Ainsi, il
est clair que Nσ (n) < I = {l ∈ N / ∃k ≥ 0, l = σ(k); σ(k) > Nσ (n)} = {l ∈ N / ∃k ≥ 0, l = σ(k)} \ {l ∈ N / l >
Nσ (n)}, d’où, pour tout N > Nσ(n) ,
N
N
Nσ (n) N
N
X
X X
X
X
≤
=
a
a
|aσ(k) |,
|a
|
≤
a
−
s
l
s
σ(k)
s∈I,s=0 s∈I,s=0
k=0
l=0
k=n
or cette dernière est majorée par
≤
+∞
X
k=n
|aσ(k) | → 0,
n → +∞
car c’est le reste d’une série absolument convergente.
PNσ (n)
P
Mais limn→+∞ l=0
al existe, car
a est convergente, et cette limite est la somme ℓ de notre série, ainsi pour
Pn+∞
ǫ > 0 donné, N assez grand pour que 0 ≤ k=n |aσ(k) | < ǫ/2, pour chaque N > Nσ (n), on a
N
N
Nσ (n) σ (n)
X
X
X NX
al + aσ(k) −
al − ℓ ,
aσ(k) − ℓ ≤ l=0
l=0
k=0
k=0
qui est plus petit que ǫ, dès que Nσ (n) est assez grand.
La convergence de la série permutée est démontrée.
La réciproque est plus difficile, construire une permutation de N est toujours difficile. Mais l’idée est simple ; pour
une réduction à l’absurde nous supposons que l’on a une série commutativement convergente qui ne soit pas absolument
convergente. Notant ℓ sa somme, nous construisons une permutation de N telle que la somme permutée n’est pas ℓ.
Pour la construction de la permutation, il est plus aisé de poursuivre un but, ainsi l’on démontre un joli résultat
qui est un peu plus fort :
“Si une série réelle P
convergente n’est pas absolument convergente, pour chaque nombre réel λ il existe une permu+∞
tation σ de sorte que k=0 aσ(k) = λ.”
Le procédé est le suivant, on additionne des termes positifs jusqu’à dépasser λ, ensuite on enchaine en sommant
des termes négatifs, jusqu’à passer en dessous de λ, et l’on recommence avec des termes positifs pour passer au dessus
de λ, et ainsi de suite.
Si l’on s’assure de toujours prendre les premiers indices qui n’ont pas été utilisés, on aura bien une permutation de
N. Évidemment il y a un secret de construction qui est de savoir que lorsque une série réelle est convergente mais non
pas absolument convergente, alors, le terme général va vers zéro, mais tant la somme de ses termes positifs comme
la somme de ses termes négatifs sont divergentes, non oscillantes. C’est un joli exercice, abstrait, que de mettre ces
arguments en forme.
2.3
2.3.1
Étude de la semi-convergence
Convergence simple par la règle d’Abel
Souvent on dira qu’une série est semi-convergente lorsqu’elle est convergente mais non absolument convergente.
On dira que l’on étudie la convergence simple, lorsque l’on étudie la convergence sans s’intéresser à la convergence
absolue. Ce n’est absolument pas une forme nouvelle de convergence. Pour les séries de fonctions on verra que ce mot :
‘simple’ est réservé à une définition particulière, qui n’a rien à avoir avec le sens que l’on donne ici.
Pn−1
∞
Lemme 2.3.1 (Transformation d’Abel) Soient (an )∞
n=n0 et (bn )n=n0 deux suites numériques. Posons Bn =
k=n0 bk
pour n > n0 et Bn0 = 0. Alors pour tous p ≥ n0 et q ≥ p, on a :
q
X
n=p
a n bn =
q
X
n=p
an (Bn+1 − Bn ) =
q
X
n=p
(an − an+1 )Bn+1 − ap Bp + aq+1 Bq+1 .
C’est un calcul immédiat, qu’il faut faire soi-même. Le lire ici, ne servirait à rien.
∞
Théorème 2.3.1 (Règle d’Abel) Soient (an )∞
n=n0 et (bn )n=n0 deux suites numériques qui vérifient les trois conditions suivantes :
Pn
1. la suite ( k=n0 bk )∞
n=n0 est bornée,
P+∞
2. la série n=n0 |an − an+1 | converge,
3. limn→∞ an = 0.
P+∞
Alors la série n=0 an bn converge.
CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES
20
Preuve. Utiliser lePcritère de Cauchy et la transformation d’Abel.
n−1
Posons Bn = k=n0 bk pour n > n0 et Bn0 = 0. Posons M = supn≥n0 |Bn |, Rn =
Alors, par la transformation d’Abel, pour tous p ≥ n0 et q ≥ p on a :
q
X
an bn =
n=p
q
X
q
X
P∞
k=n
|ak − ak+1 | pour tout n ≥ n0 .
(an − an+1 )Bn+1 − ap Bp + aq+1 Bq+1 ,
n=p
|an bn | ≤ Rp M + |ap | M + |aq+1 | M
n=p
−→
p→∞,q≥p
0.
⋄
P∞
Remarque 1 Clairement, la condition “ n=n0 |an − an+1 | converge” est entrainée par la condition “(an )∞
n=n0 est
monotone” (au vu de la troisième condition). Elle est souvent utilisée et bien plus facile à vérifier.
2.3.2
Séries alternées
Définition 2.3.1 On appelle série alternée toute série de la forme
avec an ≥ 0 pour tout n ≥ n0 .
P∞
n=n0 (−1)
n
an ou de la forme
P∞
n=n0 (−1)
n+1
an
Théorème 2.3.2 (Test de convergence pourP
les séries alternées) Soit (an )∞
n=n0 une suite réelle monotone
∞
telle que limn→∞ an = 0. Alors la série alternée n=n0 (−1)n an converge, et pour tout n ≥ n0 ,
∞
X
k
(−1) ak ≤ |an | .
k=n
Preuve. On va démontrer par le critère de Cauchy directement, sans utiliser la règle d’Abel.
Il suffit d’observer que pour tout p ≥ n0 et pour tout q ≥ p,
q
X
n
(−1) an ≤ |ap |
n=p
⋄
(cela se montre par récurrence sur q − p).
2.4
2.4.1
Produit de Cauchy de deux séries
Définition générale du produit de Cauchy
P∞
P∞
Définition 2.4.1 Soient n=0 an et n=0 bn P
deux séries numériques (complexes).
PnAlors le produit de Cauchy, ou
∞
la série produit, de ces deux séries est la série n=0 cn où pour tout n ≥ 0, cn = k=0 ak bn−k .
C’est sans doute un drôle de produit. Il n’est pas lié aux termes de la série qui figure dans le Lemme d’Abel (dit, lui,
produit de Hadamard).
On peut, pour ce produit, utiliser comme deuxième facteur, une série à valeurs, dans un espace vectoriel.
2.4.2
La somme du produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes
P∞
P∞
Lemme 2.4.1 (Produit de séries positives
n=0 an et
n=0 bn deux séries positives
P∞convergentes) Soient
c
converge
(absolument)
et
convergentes. Alors leur produit de Cauchy
n=0 n
! ∞ !
∞
∞
X
X
X
cn =
an
bn .
n=0
Preuve. Posons
n=0
n−1
X
ak ,
A=
∞
X
An =
Bn =
n=0
n−1
X
bk ,
Cn =
n=0
n=0
k=0
n−1
X
pour tout n ≥ 1. Posons aussi
B=
n=0
∞
X
n=0
an = lim An = sup An ,
n→∞
n∈N
bn = lim Bn = sup Bn .
n→∞
n∈N
ck
CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES
21
Alors pour tout n ≥ 1,
Cn ≤ An Bn ≤ C2n−1 .
Donc la suite croissante
(Cn )∞
n=0
est majorée par AB. Soit C = limn→∞ Cn . Alors C ≤ AB ≤ C. Donc C = AB.
⋄
P∞
P∞
Théorème 2.4.1 (Produit de séries absolument convergentes)
Soient n=0 an et n=0 bn deux séries absoP∞
lument convergentes. Alors leur produit de Cauchy
n=0 cn converge absolument et
! ∞ !
∞
∞
X
X
X
bn .
an
cn =
n=0
n=0
n=0
Pn
P∞
P
′
c′n le produit de Cauchy de ∞
k=0 |ak bn−k | pour tout n ≥ 0. Cette
n=0 |bn |, c’est-à-dire cn =
n=0 |an | et
série converge par le lemme précédent.
P
Pour tout n ∈ N, |cn | ≤ c′n . En particulier, la série ∞
n=0 cn converge absolument.
Posons
Preuve. Soit
P∞
n=0
n−1
X
bk ,
|bk | ,
k=0
n−1
X
an = lim An ,
A′ =
An =
n−1
X
ak ,
Bn =
n−1
X
|ak | ,
Bn′ =
n−1
X
ck ,
n=0
n=0
k=0
A′n =
Cn =
Cn′ =
n−1
X
c′k
n=0
n=0
pour tout n ≥ 1. Posons aussi
A=
B=
∞
X
n=0
∞
X
n=0
n→∞
bn = lim Bn ,
n→∞
C′ =
n=0
∞
X
|an | = lim A′n ,
n→∞
|bn | = lim Bn′ ,
n=0
∞
X
n→∞
|An Bn − Cn | ≤ A′n Bn′ − Cn′ .
⋄
En passant à la limite n → ∞, on trouve que C = AB.
2.5
n→∞
c′n = lim Cn′ .
n=0
Alors, par le lemme, C ′ = A′ B ′ .
Pour tout n ≥ 1,
B′ =
∞
X
Séries doubles, produits infinis
Dans cette brève section, réservée aux étudiants les plus motivés, nous abordons deux sujets. D’abord
la somme des séries indexées avec deux entiers, et en général, indexées par autre chose que l’ensemble des entiers
naturels. Puis le sens qu’il faut donner à un produit infini de nombre complexes. Nous nous contenterons de décrire
les définitions et les toutes premières définitions,
et ce dans les cas absolument convergents.
P
Remarquons tout d’abord qu’une série
an est absolument convergente si et seulement si, il existe ℓ tel que pour
tout ǫ > 0, il existe un ensemble fini Iǫ ⊂ N, tel que pour tout ensemble fini J le contenant (Iǫ ⊂ J),
X
|an | − ℓ < ǫ.
n∈J
Nous observons que l’ordre de sommation ne joue aucun rôle. Il faut insister dans le rôle des ensembles finis, car
sur eux seulement on sait indexer des opérations algébriques.
Définition 2.5.1 Une suite numérique double (an,m )n , m est la donnée d’une application N × N → K. La série double
P
an,m est la donnée de la suite double des ses termes, avec l’objet d’étudier sa somme.
7→ j(k) telle que la série
P La série double est dite absolument convergente s’il existe une bijection N → N × N, kP
aj(k) est absolument convergente. La somme de la série double est la somme de la série
aj(k) :
+∞
X
n=0,m=0
an,m =
+∞
X
k=0
aj(k) .
CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES
22
Cette définition semble présenter une difficulté majeur tant les bijections de N sur N × N sont nombreuses et
difficiles à comprendre. Un premier lemme démontre que cette définition de convergence ne dépend pas du choix de
bijection et donne une caractérisation plus simple.
P
Lemme 2.5.1 La série numérique double
an,m est absolument convergente si et seulement si il existe K ∈ R,
M
N X
X
∀N, ∀M,
n=0 m=0
Quelque soit la bijection N → N × N, k 7→ T (k), la série
ne dépends pas du choix de la bijection.
P
|an,m | ≤ K.
aT (k) est absolument convergente. La somme
P+∞
k=0
aT (k)
P
Preuve. Supposons que an,m est absolument convergente
P
P et que, dans la définition, k 7→ j(k) est donnée telle que la série
aj(k) est absolument convergente. On peut prendre K = +∞
k=0 |aj(k) |. En effet, si N, M sont donnés, I = [0, N ]×[0, M ]∩N×N
étant fini, il existe L tel que I ⊂ j([0, L] ∩ N). Ainsi
N X
M
X
|an,m | ≤
n=0 m=0
L
X
|aj(k) | ≤ K.
k=0
La réciproque n’est pas plus difficile. Pour chaque L ∈ N, il existe N = M tel que tous les j(k) soient dans le carré
[0, N ] × [0, N ] pour k = 0, 1, . . . , L. Ainsi,
N X
L
N
X
X
|aj(k) | ≤
|an,m | ≤ K
n=0 m=0
k=0
pour le K donné en hypothèse.
La deuxième affirmation découle de la convergence commutative des séries absolument convergentes, Théorème 2.2.5. En
effet, se donner une bijection N → N × N, k 7→ T (k) consiste à modifier une bijection donnée : N → N × N, k 7→ j(k) à l’aide
P
d’une permutation σ de N. En effet σ = j −1 ◦ T, et T = j ◦ σ. De plus +∞
k=0 aT (k) apparait alors comme la sommation de la
P+∞
série k=0 aj(k) à l’aide de la permutation de N, σ. Ces diverses sommes d’une série absolument convergence donnent le même
résultat.
⋄
De manière similaire, on admettra que l’on peut montrer que les restes d’une série double absolument convergente
sont aussi petits que l’on veut, dans le sens précis suivant :
Pour chaque ǫ > 0 donné, il existe N ′ , M ′ tels que
M
N X
+∞
X
X
′
′
∀N ≥ N , ∀M ≥ M , an,m < ǫ.
an,m −
n=0 m=0
n=0,m=0
+∞
+∞
X
l
XX 1
1
=
.
Exemple 2.5.2 Nous avons
n
m
2 3
2l 3l−p
p=0
n=0,m=0
l=0
L’application (0, 0) 7→ 0, (0, 1) 7→ 1, (1, 0) 7→ 2, (0, 2) 7→ 3, (1, 1) 7→
0) 7→ 5, . . . en descendant les diagonales,
P 4, (2,
1
définit une bijection. L’inverse nous permet de sommer notre série
avec la formule du deuxième membre.
n
m
2 3
Il reste à justifier la convergence absolue, pour donner un sens aux nombres, le Lemme précédent démontrant
M +1
PM
PN PM
)
l’égalité. Or m=0 2n13m = 21n 3(1−(1/3)
≤ 21n 32 , ainsi n=0 m=0 2n13m ≤ 3.
2
P
Théorème 2.5.3 (Fubini
an,m une série double absolument
convergente. Alors, pour
P des séries doubles) Soit
P
chaque n fixé la série
an,m est convergente. De même pour chaque m fixé, la série
an,m est convergente.
De plus on a
( +∞
) +∞ ( +∞
)
+∞
+∞
X
X
X
X X
an,m =
an,m =
an,m .
n=0,m=0
n=0
m=0
m=0
n=0
On peut le voir comme un Théorème d’intervertissement de limites,
lim
lim
N →+∞ M →+∞
N X
M
X
an,m =
n=0 m=0
lim
lim
M →+∞ N →+∞
et le jeu pour le prouver, est de passer par le concept de ‘limite double’.
N X
M
X
an,m .
n=0 m=0
Preuve. La majoration menée dans l’exemple nous inspire, soit donné K, comme dans le Lemme, majorant toute somme des
modules des termes pris dans un rectangle d’indices. Soit n fixé, indice d’une ligne (en pensant aux termes d’une série double
comme aux éléments d’une matrice doublement infinie) nous avons
∀N,
N
X
m=0
|an,m | ≤
M X
M
X
k=0 m=0
|ak,m | ≤ K, pour M = max(n, N ).
CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES
23
Ce qui prouve que les termes d’une même ligne, sont les termes d’une série absolument convergente. Un raisonnement similaire
montre qu’il en va de même pour les colonnes.
+∞
+∞
+∞
X
X
X
|an,m |,
an,m , les sommes dont nous venons de justifier l’existence, puis notons Ln =
an,m , cm =
Notons ln =
P+∞
m=0
n=0
m=0
|ln | ≤ Ln , |cm | ≤ Cm . Notons
premier membre de l’identité de Fubini à établir.
n=0 |an,m |, or
P
V la somme
totale,
PM
PN P M
PN PM
Dans la majoration N
a
≤
a
≤
m=0 n,m n=0
n=0 m=0 n,m m=0 |an,m | ≤ K nous pouvons passer à la limite
n=0
en M,
N
M
N N X
M
X
X
X
X
|ln | ≤ K,
an,m =
lim an,m ≤
lim
M →+∞ M →+∞
n=0
m=0
n=0
n=0 m=0
P
P
Ce qui prouve que
ln est absolument convergente. De manière similaire, l’on a que
cm est aussi absolument convergente.
Chacun des membres de l’identité de Fubini est ainsi bien défini.
PM
P
ǫ
Pour prouver les égalités à V , commençons pour prendre ǫ > 0, considérons N ′ , M ′ tels que |V − N
m=0 an,m | < 2 ,
n=0
dès que N, M dépassent N ′ , M ′ respectivement.
Prenons un N ≥ N ′ quelconque. Puisque, chacune des séries ln est absolument convergente, nous avons aussi des estimations
de restes, il existe pour chaque n = 0, 1, . . . , N un Mn tel que si S ≥ Mn ,
et Cm =
|ln −
S
X
an,m | <
m=0
ǫ
.
2N
∗
Ainsi, en considérant M = max{{Mn / n = 0, 1, . . . , N }, M ′ },
M
X
ǫ
an,m | <
,
∀M ≥ M , n = 0, 1, . . . , N =⇒ |ln −
2N
m=0
∗
M
N X
N
X
X
ǫ
an,m < ,
ln −
2
n=0 m=0
n=0
et
Ainsi, pour chaque ǫ > 0, il existe N ′ , M ∗ tels que ∀N ≥ N ′ , M ≥ M ∗ ,
N
N X
M
M
N X
N
X
X
X
X
ln −
an,m < ǫ.
an,m + ln ≤ V −
V −
n=0 m=0
n=0
n=0
n=0 m=0
Ceci prouve la première égalité de Fubini, la deuxième est similaire.
⋄
La théorie des séries doubles semi-convergentes est difficile, on n’en dira mot.
On mentionne la notion de convergence absolue pour les séries indicées sur Z, qui a son importance.
P
Définition 2.5.2 Une série numérique n∈Z an est la donnée d’une application Z → K : n → an dont on se propose
de considérer la somme.
P+∞
La série est dite avoir une somme principale, si la série numérique n=0 {a−n + an } est convergente auquel cas
sa somme est dite la valeur principale de la somme de la série indicée sur Z.
Une série numérique indicée sur Z est dite sommable s’il existe ℓ ∈ K, tel que pour chaque ǫ > 0 il existe une partie
finie Iǫ de Z, telle que
X
an − ℓ < ǫ.
n∈Iǫ
auquel cas le nombre ℓ est noté ℓ =
P+∞
n=−∞
an .
Le terme sommable correspond en général à de la convergence commutative. On signale en exercice, la proposition
Proposition 2.5.1 UneP
série numérique indicée par Z est absolument convergente si et seulement si, il existe K, tel
N
que Pour tout N ∈ N,
n=−N |an | ≤ K.
P
Dans ces cas, la série P
{a−n + an }P
est convergente et sa somme est la somme de la série indicée sur Z.
De plus les deux séries n≥0 an et n≥0 a−n sont absolument convergentes et
+∞
X
an =
n=−∞
+∞
X
n=0
an +
+∞
X
n=1
a−n .
Il faut prendre garde de ne pas compter deux fois, le terme a0 .
En guise de complément on peut mentionner que si l’on se donne une application Λ → K : λ 7→ aλ on peut la
penser comme une sorte de suite très très généralisée, et tenter de concevoir la somme de tous ses termes. On dira
d’une telle suite, que c’est une famille de nombres.
P
On est réduit à donner le définition suivante : La famille
aλ est sommable, s’il existe ℓ ∈ K tel que pour chaque
ǫ > 0 il existe un ensemble fini Iǫ ⊂ Λ tel que
X
aλ − ℓ < ǫ.
λ∈Iǫ
CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES
24
Bien évidement le nombre ℓ sera dit la somme de cette expression, et l’on posera
X
aλ = ℓ.
λ∈Λ
Un lemme simple nous renseigne beaucoup.
Lemme 2.5.4 Soit (aλ )λ∈Λ une famille de nombre réels positifs ou nuls. Si la famille est sommable, alors seulement
un nombre au plus infini dénombrable de ses membres est non nul.
P
On est ramenés aux séries absolument convergentes ! Il est clair que 0 ≤ ℓ = sup{ λ∈A aλ / A est fini et A ⊂ Λ}.
Preuve. Supposons la famille sommable, et écrivons ℓ =
X
aλ pour sa somme. Notons pour ǫ > 0, Jǫ = {λ ∈ Λ / aλ > ǫ}, et
λ∈Λ
J = {λ ∈ Λ / aλ > 0}. Si I est un ensemble à n éléments contenu dans Jǫ , Puisque
X
aλ ≤ ℓ,
nǫ ≤
λ∈I
n ≤ ℓ/ǫ, et Jǫ ne peut avoir plus de ℓ/ǫ éléments, en particulier, c’est un ensemble fini. Or J =
+∞
[
m=1
de finis, il est dénombrable comme il fallait démontrer.
I 1 , est réunion dénombrable
m
⋄
Enfin, mentionnons la notion de produit infini. Car si bien, donnée une suite numérique, en faire la somme de tous
ses termes, est une opération naturelle. Cala nous a conduit à tout un chapitre de considérations. Faire le produit de
tous ses termes, est tout aussi naturel. Et tout un autre chapitre pourrait être écrit à ce sujet.
La définition suivante est naturelle.
Définition 2.5.3 Soit donnée une suite numérique (an )n , an ∈ K. On dira que le produit infini converge et que P ∈ K
est le produit infini de cette suite, si P 6= 0 et pour chaque ǫ > 0 donné, il existe N, tel que
N
Y
an − P < ǫ.
n=0
Dans le cas contraire, on dira que
le produit infini diverge.
Q+∞
En cas de convergence on pose n=0 an = P.
QN
La suite (PN )N , PN = n=0 an est dite suite associé des produits partiels.
Une condition nécessaire de convergence, facile est que an → 1.
Par exemple, certes trivial, la suite constante (an )n , an = q ∈ K nous donne la suite associé des produits partiels
est PN = q N , ainsi le produit infini vaut 0 il diverge toujours
sauf si q = 1.
√
Une première remarque est : en écrivant an = ρn eθn −1 , on constate
)
(N
N
Y
Y
PN
ρn · ei n=0 θn , N ≥ 0.
an =
n=0
n=0
Visiblement, la convergence (à congruence modulo 2π) de la série des arguments, relève de la théorie des séries.
Par contre, les modules nous redonnent un produit de facteurs positifs. Étudions les produits infinis des suites réelles
positives. Puisque dans ces produits, le moindre terme nul, annule tous les produits partiels ultérieurs, on ne regardera
que des suites réelles strictement positives.
Théorème 2.5.5 Soit (an )n une suite de nombres réels strictement positifs. Écrivons bn = log(an ) pour le logarithme
népérien.
P
Le produit infini est convergent si et seulement si la série
bn est convergente et
+∞
Y
an = e
P+∞
n=0
bn
n=0
Trivialité manifeste à partir de la continuité du logarithme, l’exponentielle et de
!
N
N
X
Y
log(an ).
an =
log
n=0
n=0
En fait, puisque log(1 + x) ∼ x, la condition {an − 1} convergente, est équivalente à la condition du théorème.
Avec une bonne définition du logarithme pour les nombres complexes, la même condition peut-être démontrée.
On n’en dira pas plus.
P
CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES
2.6
25
Exercices
P
P
Exercice 2.1 Soient
an et
bn deux séries à termes dans R∗+ vérifiant : ∃n0 ∈ N tel que pour tout n ≥ n0 on a
bn+1
an+1
. Montrer que :
an ≤
P bn
P
1.
bn converge =⇒
an converge.
P
P
2.
an diverge =⇒
bn diverge.
Exercice 2.2 Étudier la nature de la série de Riemann
∞
X
1
n=1
puis de la série de Bertrand
∞
X
n=2
nα
, α ∈ R,
1
nα (ln(n))β
Exercice 2.3 Calculer la somme des séries
∞
X
1
, q ∈ R∗+ ,
n
q
n=1
, α, β ∈ R.
∞
X
1
.
n(n
+ 1)
n=1
Exercice 2.4 Étudier la nature (type de convergence ou de divergence) des séries numériques suivantes
∞
X
an
,
nα
n=1
∞
X
1
,
n!
n=1
∞
X
an
,
n!
n=1
Exercice 2.5 Montrer que la série de terme général
∞
X
1
,
n
n
n=1
∞
X
n!
,
n
n
n=1
∞
X
nn
.
(2n)!
n=1
1
+ ln(n) − ln(n + 1)
n
converge. En déduire que la limite (appelée constante d’Euler)
un =
lim (1 +
n→∞
1
1
+ · · · + − ln(n))
2
n
existe.
Exercice 2.6 Étudier la nature des séries suivantes :
P∞
1.
[n ln (1 + 1/n) − 2n/(2n + 1)],
Pn=1
∞
1
2.
n=1 n(ln n!) (indication : montrer que ln n! ∼ n ln n),
P∞ n!c
3.
n=1 (2n)! , c > 0,
P∞
nα
4.
n=1 (n sin 1/n)
−1
2
(indication : utiliser le fait que lim (n sin 1/n)n = e 6 ).
n→∞
Exercice 2.7 Nature des séries de terme général un , n ≥ 1 :
√
1 + (−1)n n
(−1)n
,
u
=
,
un = 2
n
n + (−1)n
n
√
n+1
un = (−1)n n ln
.
n−1
Exercice 2.8 Nature des séries de terme général un , n ≥ 1 :
(−1)n
(−1)n
un = ln 1 +
, un = sin
.
n
n
Exercice 2.9 Montrer que les séries de termes généraux (équivalentes !)
(−1)n
un = √ ,
n
vn = √
(−1)n
,
n + (−1)n
n≥1
ne sont pas de même nature.
Exercice 2.10 Montrer que le produit infini
∞
Y
n=0
converge et calculer sa limite.
cos
x
2n
Exercice P
2.11 Soit (an )n∈N une suite dans R+ . Montrer que le produit infini
∞
si la série n=0 an converge.
Q∞
n=0 (1 + an )
converge si et seulement