Université de Rennes 1- Licence MIEE Module AN2 Année 2010-2011 Feuille d’exercices 6 Exercice 1. Soit u une suite réelle. On définit une nouvelle suite v par ( 0 si n est impair n ∈ N 7−→ vn = un/2 si n est pair. Montrer que les séries ∑n un et ∑n vn sont de même nature et ont, le cas échéant, la même somme. √ Exercice 2. 1. Montrer que si x et y sont deux nombres réels positifs, alors xy ≤ x+y 2 . 2. En déduire que si ∑n un et ∑n vn sont deux séries convergentes à termes positifs, alors la √ série ∑n un vn est convergente. 3. Soit ∑n un une série convergente à termes positifs. Montrer que la série ∑n≥1 convergente. √ un n est Exercice 3. 1. Soient ∑n un et ∑n vn deux séries à termes positifs. Montrer que la série ∑n max(un , vn ) converge si et seulement si les deux séries ∑n un et ∑n vn sont convergentes. 2. Trouver deux séries divergentes ∑n un et ∑n vn , à termes positifs, telles que min(un , vn ) = 0 pour tout n. Exercice 4. Dans chacun des cas suivants, montrer que la série de terme général (un )n∈N converge et calculer sa somme : 1 1 1 1 (a) un = ln 1 − n2 , n ≥ 2 (b) un = n(n+1)(n+2) , n ≥ 1 (c) un = (n + 1) n+1 − n n , n ≥ 1 (d) un = ln n2 +2n+1 , n2 +2n n≥1 (e) un = √1 n 1 − √n+1 , n ≥ 1 (f) un = 1 , n2 −1 n ≥ 2. Exercice 5. Dans les deux cas suivants, montrer que la série de terme général (un )n∈N diverge : √ √ n n (a) un = (−1) , n ≥ 0 (b) un = n ln √ , n ≥ 2. n+1 Exercice 6. Pour quelles valeurs du nombre réel a la série de terme général (ena )n∈N est-elle convergente ? Peut-on alors calculer sa somme ? Exercice 7. Soit a un nombre réel non nul. On définit une suite u par : un = ch(n) an pour tout 1 x −x n ∈ N. (La fonction cosinus hyperbolique ch est définie par ch(x) = 2 (e + e )). 1. Montrer que si |a| > e, la série de terme général un est absolument convergente. 2. Montrer que si |a| ≤ e, la série de terme général un est divergente 1 Exercice 8. Soit a un réel strictement positif. Étudier la nature des séries dont le terme général est : √ (a) n! an (b) n(n + 1) an (c) an ln(n) 2n + 1 nn a n2 nln(n) (d) n (e) 1 + (f) 4 n! n (ln(n))n Exercice 9. Étudier la nature des séries dont le terme général est : r n + cos n 1 ln(n) (a) 3 (b) ln 1 + 2 (c) n +1 n n nn (sin(n))2 1 (f) (d) (e) 1 n2 (n + 1)(n + 2) . . . (n + n) n√× n n 2n Z 1 n n ln(n) dt n−1 (i) (g) (h) 2 n n+1 n +1 0 1+t Exercice 10. Soit a un réel strictement positif. On définit une suite u par : u0 = a, un+1 = un un − 1+u pour tout n ∈ N. n 1. Montrer que la suite u est bien définie, strictement positive et strictement décroissante. 2. Montrer que la suite u est convergente et déterminer sa limite. 3. Montrer que pour tout n ∈ N on a un est convergente. un 1+u0 ≤ un 1+un . Exercice 11. Soit u une suite à termes positifs. Montrer que les séries de termes généraux un et vn = En déduire que la série de terme général un sont de même nature. 1 + un Exercice 12. Soit u une suite réelle. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses ? Justifier les réponses (démonstration des affirmations vraies et contreexemples pour les affirmations fausses) un+1 1. Si un > 0 pour tout n et si la série ∑ un converge, alors la suite a une limite un strictement plus petite que 1. 2. Si un > 0 pour tout n et si la série ∑ un converge, alors la série de terme général un 2 converge. 3. Si lim ((−1)n n un ) = 1, alors la série ∑ un converge. n→∞ 4. Si lim ((−1)n n2 un ) = 1, alors la série ∑ un converge. n→∞ Exercice 13. Soient a et b des nombres réels strictement positifs. On pose u1 = b, u2 = ab et plus généralement u2n = an bn et u2n+1 = an bn+1 . 1. À quelle condition la suite un+1 un a-t-elle une limite ? 1 2. Calculer la limite de (un ) n . Montrer que si ab 6= 1 la règle de Cauchy permet d’étudier la série de terme général un . Pour quelles valeurs de a et b la règle de d’Alembert permet-elle d’étudier cette série ? 3. On suppose ab = 1. La série de terme général un est-elle convergente ? 2 Exercice 14. Soit f : [1, +∞[→ R une fonction décroissante et positive. Pour tout entier n ≥ 1 on pose un = f (n) − Z n+1 f (t)dt. n 1. Montrer que l’on a 0 ≤ un ≤ f (n) − f (n + 1) pour tout entier n ≥ 1. En déduire que la série de terme général un est convergente. 2. Montrer que la suite de terme général (∑ni=1 1i ) − ln(n) est convergente. ∑n 1 En déduire que l’on a lim i=1 i = 1. n→∞ ln(n) Exercice 15. Déterminer la nature de la série dont le terme général est (−1)n n ∑ni=1 1i . Exercice 16. Étudier la convergence et la convergence absolue des séries dont le terme général est : √ (−1)n (−1)n n + 1 (−1)n ln(n) (c) (a) 2 (b) n + sin(n2 ) n√ n (−1)n cos( n) √ (d) (e) th n n n (La fonction tangente hyperbolique th est définie par th x = ex −e−x ex +e−x ). " # (−1)n+1 n (−1)i+1 . Exercice 17. Déterminer la nature de la série dont le terme général est ∑ i n i=1 (Le crochet s’écrit S−Rn où S est la somme est Rn est le reste d’ordre n d’une série convergente). ∞ Exercice 18. Démontrer que ∑ i=2 (−1)i 1 = . i2 − 1 4 3