cours - RP 2016-2017

PSI-Pasteur 2016-2017 Rappels et compléments sur les séries
Définition 1 Soit (un)n∈Nune suite de nombres complexes. On dit que la série de terme général
unconverge lorsque la suite des sommes partielles (Sn=Pn
k=0 uk)converge. La limite de cette
suite est alors appelée somme de la série, et notée P+∞
n=0 un.
Remarque 1 Une suite (un)converge si et seulement si la série P(un+1 −un)converge.
Proposition 1 Le terme général d’une série convergente tend nécessairement vers zéro.
Exemple 1 La série géométrique de raison zconverge si, et seulement si, |z|<1.
La somme vaut alors : +∞
P
n=0
zn=1
1−z.
Proposition 2 Une série à termes positifs converge si, et seulement si, l’ensemble de ses sommes
partielles est majoré. D’où le principe de comparaison des séries à termes positifs.
Corollaire 1 Soit (un)une suite à termes strictement positifs.
Si un+1
un
>1à partir d’un certain rang alors Pundiverge grossièrement.
Mais s’il existe α∈]0,1[ tel qu’à partir d’un certain rang un+1
un
6αalors Punest convergente.
Corollaire 2 Si fest une fonction continue par morceaux sur [0,+∞[, positive et décroissante,
alors Pn>1f(n)converge si, et seulement si, fest intégrable sur [0,+∞[.
Exemple 2 Séries de Riemann.
Définition 2 On dit que Punest absolument convergente lorsque P|un|est convergente.
Proposition 3 Toute série absolument convergente converge, et vérifie : |P+∞
n=0 un|6P+∞ n=0 |un|.
Remarque 2 (Règle de d’Alembert) On considère une série à termes complexes non nuls. . .
Si |un+1
un|tend vers une limite ` < 1, la série converge absolument.
Si |un+1
un|tend vers une limite ` > 1, la série diverge grossièrement.
Exemple 3 Pour tout z∈C,Pzn
n!converge absolument, et P+∞
n=0
zn
n!= exp(z).
Remarque 3 Si (vn)est une suite à termes positifs et (un)une suite à termes complexes
telle que un∈O(vn)alors la convergence de Pvnimplique la convergence absolue de Pun.
Proposition 4 (critère spécial des séries alternées)
Pour qu’une série à termes réels alternativement positifs et négatifs converge,
il suffit que son terme général tende vers zéro en décroissant en valeur absolue.
Le reste est alors du signe de son premier terme, et majoré en valeur absolue par celui-ci.
Remarque 4 Deux séries à termes positifs équivalents sont de même nature. . .
Mais la série de terme général (−1)n
√n+1
nest divergente !