Colle 0 mathématiques

mp* 2016-2017 : programme 0
12 septembre 2016
I S1 : Suites et séries numériques
I.1 Préliminaires
Définition d’une relation d’ordre ; ordre partiel (ex : ⊂), ordre total (ex : ≤). Elément
maximal. Une partie non vide majorée de Radmet une borne supérieure.
I.2 Suites de nombres réels ou complexes
Ecriture d’une limite « avec les ».
Une suite monotone bornée de réels converge.
Théorème des suites adjacentes, théorème des segments emboîtés.
Principe d’étude d’une suite un+1 =f(un)avec f« simple ».
I.3 Séries de nombres réels ou complexes
Sommes partielles ; convergence, divergence. « Somme » d’une série convergente.
Condition nécessaire de convergence, divergence grossière.
Séries géométriques (convergence et somme)(*).
Restes d’une série convergente.
Théorème des séries alternées (ne pas oublier la majoration du reste. . .)(*).
Convergence absolue : elle implique la convergence.
I.4 Séries de réels positifs
Critère de convergence (la suite des sommes partielles est majorée).
Comparaison de sommes et d’intégrales. Il faut savoir encadrer une somme
q
X
p
f(k)
par deux intégrales Rflorsque fest monotone. Et savoir encadrer une intégrale Rq
pf
par deux sommes Pf(k)lorsque fest monotone.
Définition de l’intégrabilité sur [a, +∞[d’une fonction positive continue par morceaux
(à l’aide de Zx
a
f).
Rien d’autre que cette définition n’est exigible au sujet de l’intégration, pour l’instant.
Si fest positive décroissante C0par morceaux sur [a, +∞[,Pf(n)converge si et
seulement si fest intégrable(*).
Application au critère de convergence des séries de Riemann(*).
Approfondissement : si fest positive décroissante, Pwnconverge, avec
wn=Zn
n−1
f−f(n)(*).
Application au DA à deux termes de la somme partielle de la série harmonique,
constante d’Euler (exercice à savoir faire).
Détermination de la nature d’une série à termes réels positifs par comparaison (utili-
sation de o,O,∼).
Comparaison logarithmique, critère de d’Alembert.
I.5 Correspondance suites/séries
P(un+1 −un)a même nature que (un).
II Ag1 : Groupes, anneaux, corps
II.1 Groupes
Définition, groupe abélien. Sous-groupes, morphismes de groupes. Noyau, image, ca-
ractérisation de l’injectivité. Isomorphisme. Sous-groupe engendré par une partie. Puis-
sances d’un élément d’un groupe.
II.2 Anneaux, corps
Anneau (toujours commutatif). Groupe des éléments inversibles.
Corps.
Anneau intègre.
Sous-anneau.
Calcul dans un anneau : formule du binôme pour des éléments qui commutent, facto-
risation de an−bnsi aet bcommutent, cas particulier a= 1A.