Exercices chapitre 21 Séries numériques
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PCSI 1, 2016/2017 Mathématiques Lycée Berthollet Exercices chapitre 21 Séries numériques Exercice 1. Un max et deux moyennes. P P Soient u n et vn deux séries à termes strictement positifs convergentes. Montrer que les suivantes sont aussi convergentes : 1. X max(u n , vn ), 2. Xp u n vn , 3. X u n vn . u n + vn Exercice 2. Presque u n . P Pp u n u n+1 est aussi converSoit u n une série à termes positifs convergente. Montrer que gente. Exercice 3. Un résultat intéressant de o. 1. Soit (u n ) une suite décroissante réelle. On suppose que la série n P (a) On pose S n = u k . Déterminer la limite de S 2n − S n . P u n converge. k=0 (b) En déduire 2nu 2n → 0. (c) Conclure que nu n → 0. 2. Généralisation : Soient (u n ) une suite décroissante de réels positifs et α un réel positif. On X α suppose la convergence de la série n un. α+1 Montrer que n un → 0 . Exercice 4. Télescopage. Montrer que les séries de termes généraux suivants convergent, et déterminer leur somme. µ ¶ (n + 1)2 . 1. u n = ln n(n + 2) µ ¶ (n + 1)(n + 2) 2. u n = ln . n(n + 3) 3n + 2 b c 3. u n = . On pourra écrire u n sous la forme na + n+ 1 + n−1 . n(n2 − 1) Exercice 5. Séries géométriques dérivées. 1. Soit x ∈]0, 1[. Montrer la convergence et calculer la limite des séries de termes généraux nx n−1 , n(n − 1)x n−2 , nx n et n2 x n . X n2 + 3n X 2. Application : Nature et limite éventuelle de et (n2 + n + 1)e−n . n 2 1 PCSI 1, 2016/2017 Mathématiques Lycée Berthollet Exercice 6. Autour de la série exponentielle. Montrer la convergence et calculer les limites associées. 1. X n+3 n! . 2. X n2 2 n n! . 3. X n2 + n − 1 n! . Exercice 7. Deux séries associées. un . Soient (u n ) une suite de réels positifs et vn = 1 + un P P Montrer que les séries u n et vn sont de même nature. Exercice 8. On ne veut que la nature, donc ? Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants : 1. u n = n n2 + 1 ; 3. u n = p 1 n2 − 1 −p 1 n2 + 1 ; µ ¶ 1 n 4. u n = e − 1 + . n ch(n) 2. u n = ; ch(2n) Exercice 9. Encore des comparaisons. Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants : 1. u n = ³ n ´ n2 ; n+1 2. u n = 1 ; n cos2 n Exercice 10. Deux fois la même chose. Déterminer la nature de la série de terme général ½ 1/n si n est un carré un = . 1/n2 sinon Exercice 11. La méthode ne change pas. Déterminer la nature de la série de terme général µ ¶1+ 1 n 1 un = . n Exercice 12. Critère de Cauchy. P Soit u n une série à termes positifs. On suppose que p n u n → ` ∈ R+ . 1. Montrer que si ` > 1 alors P u n est divergente. 2. Montrer que si ` < 1 alors P u n est convergente. 3. Observer que, lorsque ` = 1, on ne peut rien conclure. 2 3. u n = 1 (ln n)ln n . PCSI 1, 2016/2017 Mathématiques Lycée Berthollet Exercice 13. Séries de Bertrand. 1. À l’aide d’une comparaison série-intégrale, étudier la convergence de la série de terme 1 en fonction de β. général u n = n(ln n)β 2. Étudier en fonction de (α, β) la convergence des séries de Bertrand, de terme général u n = 1 . α n (ln n)β Exercice 14. Série harmonique alternée. Soit la suite u de terme général u n = (−1)n n . 1. Soit v la suite de terme général vn = u 2n + u 2n+1 . Montrer que la série P 2. En déduire que u n converge. P vn converge. Exercice 15. Si si, c’est la même chose. En s’inspirant de l’exercice 15, déterminer la nature de ³ X π´ sin nπ + . n nÊ1 Exercice 16. Une valse à trois temps. jn En s’inspirant de l’exercice 15, donner la nature de la série des p . n Exercice 17. Une utilisation du "conjugué". p ¢ ¡ On cherche la nature de la série de terme général u n = sin π(2 + 3)n . p p 1. Soit n ∈ N. Montrer que (2 + 3)n + (2 − 3)n est un entier (relatif) pair. P 2. En déduire que u n est convergente. Exercice 18. Le partage n’est pas équitable. Après en avoir justifié l’existence, calculer +∞ X 1 (2n + 1)2 n=0 sachant 1 π2 = . 2 6 n=1 n +∞ X Exercice 19. La question donne la méthode. Justifier l’existence, puis calculer : +∞ X µ ¶ 1 ln 1 − 2 . n n=2 Exercice 20. Une décomposition en éléments simples bien pratique. +∞ P 1 2 On donne = π6 . k2 k=1 1. Soit k ∈ N∗ . Déterminer a, b, c et d ∈ R tels que 3 1 k2 (k + 1)2 = a b c d + + + . 2 2 k k+1 k (k + 1) PCSI 1, 2016/2017 Mathématiques 2. Calculer +∞ X 1 k=1 k2 (k + 1)2 après en avoir justifier l’existence. Exercice 21. Deux contraintes et un calcul. Soient (a, b) ∈ R2 . Déterminer la nature, en fonction de a et b, de la série X ln n + a ln(n + 1) + b ln(n + 2) . nÊ1 Calculer la somme lorsqu’il y a convergence. 4 Lycée Berthollet
