Exercices chapitre 21 Séries numériques

PCSI 1, 2016/2017 Mathématiques Lycée Berthollet
Exercices chapitre 21
Séries numériques
Exercice 1. Un max et deux moyennes.
Soient Punet Pvndeux séries à termes strictement positifs convergentes. Montrer que les
suivantes sont aussi convergentes :
1. Xmax(un,vn), 2. Xpunvn,3. Xunvn
un+vn
.
Exercice 2. Presque un.
Soit Punune série à termes positifs convergente. Montrer que Ppunun+1est aussi conver-
gente.
Exercice 3. Un résultat intéressant de o.
1. Soit (un) une suite décroissante réelle. On suppose que la série Punconverge.
(a) On pose Sn=
n
P
k=0uk. Déterminer la limite de S2n−Sn.
(b) En déduire 2nu2n→0.
(c) Conclure que nun→0.
2. Généralisation : Soient (un) une suite décroissante de réels positifs et αun réel positif. On
suppose la convergence de la série Xnαun.
Montrer que nα+1un→0.
Exercice 4. Télescopage.
Montrer que les séries de termes généraux suivants convergent, et déterminer leur somme.
1. un=lnµ(n+1)2
n(n+2)¶.
2. un=lnµ(n+1)(n+2)
n(n+3) ¶.
3. un=3n+2
n(n2−1).On pourra écrire unsous la forme a
n+b n+1+c n−1.
Exercice 5. Séries géométriques dérivées.
1. Soit x∈]0,1[. Montrer la convergence et calculer la limite des séries de termes généraux
nxn−1,n(n−1)xn−2,nxnet n2xn.
2. Application : Nature et limite éventuelle de Xn2+3n
2net X(n2+n+1)e−n.
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Exercice 6. Autour de la série exponentielle.
Montrer la convergence et calculer les limites associées.
1. Xn+3
n!.2. Xn22n
n!. 3. Xn2+n−1 n!.
Exercice 7. Deux séries associées.
Soient (un) une suite de réels positifs et vn=un
1+un
.
Montrer que les séries Punet Pvnsont de même nature.
Exercice 8. On ne veut que la nature, donc ?
Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :
1. un=n
n2+1;
2. un=ch(n)
ch(2n);
3. un=1
pn2−1−1 pn2+1;
4. un=e−µ1+1
n¶n
.
Exercice 9. Encore des comparaisons.
Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :
1. un=³n
n+1´n2
;2. un=1
ncos2n; 3. un=1
(lnn)lnn.
Exercice 10. Deux fois la même chose.
Déterminer la nature de la série de terme général
un=½1/nsi nest un carré
1/n2sinon .
Exercice 11. La méthode ne change pas.
Déterminer la nature de la série de terme général
un=µ1
n¶1+1
n.
Exercice 12. Critère de Cauchy.
Soit Punune série à termes positifs. On suppose que
n
pun→`∈R+.
1. Montrer que si `>1 alors Punest divergente.
2. Montrer que si `<1 alors Punest convergente.
3. Observer que, lorsque `=1, on ne peut rien conclure.
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Exercice 13. Séries de Bertrand.
1. À l’aide d’une comparaison série-intégrale, étudier la convergence de la série de terme
général un=1
n(lnn)βen fonction de β.
2. Étudier en fonction de (α,β) la convergence des séries de Bertrand, de terme général un=
1
nα(lnn)β.
Exercice 14. Série harmonique alternée.
Soit la suite ude terme général un=(−1)n
n.
1. Soit vla suite de terme général vn=u2n+u2n+1. Montrer que la série Pvnconverge.
2. En déduire que Punconverge.
Exercice 15. Si si, c’est la même chose.
En s’inspirant de l’exercice 15, déterminer la nature de
X
nÊ1
sin³nπ+π
n´.
Exercice 16. Une valse à trois temps.
En s’inspirant de l’exercice 15, donner la nature de la série des jn
pn.
Exercice 17. Une utilisation du "conjugué".
On cherche la nature de la série de terme général un=sin¡π(2+p3)n¢.
1. Soit n∈N. Montrer que (2+p3)n+(2 −p3)nest un entier (relatif) pair.
2. En déduire que Punest convergente.
Exercice 18. Le partage n’est pas équitable.
Après en avoir justifié l’existence, calculer
+∞
X
n=0
1
(2n+1)2sachant +∞
X
n=1
1
n2=π2
6.
Exercice 19. La question donne la méthode.
Justifier l’existence, puis calculer :
+∞
X
n=2
lnµ1−1
n2¶.
Exercice 20. Une décomposition en éléments simples bien pratique.
On donne +∞
P
k=1
1
k2=π2
6.
1. Soit k∈N∗. Déterminer a,b,cet d∈Rtels que 1
k2(k+1)2=a k2+b (k+1)2+c
k+d k+1.
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2. Calculer +∞
X
k=1
1
k2(k+1)2
après en avoir justifier l’existence.
Exercice 21. Deux contraintes et un calcul.
Soient (a,b)∈R2. Déterminer la nature, en fonction de aet b, de la série
X
nÊ1
lnn+aln(n+1)+bln(n+2).
Calculer la somme lorsqu’il y a convergence.
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