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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/19
CCP Maths 1 MP 2008 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur INRIA) ; il a été relu
par Hervé Diet (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).
Cette épreuve propose une étude croisée des fonctions zêta et zêta alternée de
Riemann, définies respectivement par
ζ(x) =
+∞
P
n=1
1
nxet F(x) =
+∞
P
n=1
(−1)n−1
nx
Elle se compose de quatre parties largement indépendantes.
•La première est consacrée à quelques généralités. On s’intéresse notamment à
la définition et à la régularité des fonctions Fet ζ, et on établit une relation
entre Fet ζsur ] 1 ; +∞[.
•La deuxième partie est consacrée à l’étude du produit de Cauchy de la série
définissant Fpar elle-même. On illustre ainsi le fait que le produit de Cauchy
de deux séries convergentes n’est pas en général convergent.
•La troisième partie propose le calcul de la somme de la série
+∞
P
n=1
(−1)n−1ln n
n
à l’aide d’une étude de la fonction ζau voisinage de 1.
•Enfin, la quatrième partie est consacrée au calcul des F(2k)pour k∈N∗.
Pour cela, on se ramène au calcul des (ζ(2k))k∈N∗, que l’on effectue à l’aide
des nombres de Bernoulli. Le problème se conclut par un algorithme effectif de
calcul des nombres de Bernoulli.
D’une longueur raisonnable pour une épreuve de quatre heures, ce problème d’ana-
lyse permet de tester ses connaissances sur les séries de fonctions, notamment les
différents types de convergence (simple, uniforme, normale), le théorème des séries
alternées, le théorème de convergence dominée et le théorème sur les limites d’une
série de fonctions. Ce sujet permet également de manipuler des fonctions périodiques,
des séries de Fourier et des polynômes.
Par ses objectifs raisonnables et la diversité des résultats et notions d’analyse
qu’elle utilise, cette épreuve constitue un excellent sujet d’entraînement aux concours.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/19
Indications
I. Généralités
1 Remarquer que pour tout x∈R, la série définissant F(x)est alternée.
2 On pourra prolonger les fonctions gnet gpar continuité en 1avant d’appliquer
le théorème de convergence dominée à ces prolongements.
3 Pour établir la convergence normale, calculer Sup
x>2
|1/nx|pour n∈N∗. Enfin,
observer que pour tout n>2,|1/nx| −−−−→
x→+∞0.
4.b Utiliser le théorème des séries alternées et la question précédente.
II. Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même
6.a Observer que, pour x > 1, la série P
n>2
cn(x)est le produit de Cauchy de deux
séries absolument convergentes.
7.b Déterminer, pour n>2, le signe de Hn
n+ 1 −Hn−1 n.
7.c Démontrer que Hnest négligeable devant n.
III. Calcul de la somme d’une série à l’aide d’une étude
de zeta au voisinage de 1
8.a Utiliser les résultats des questions 2 et 4.
8.b Utiliser également l’égalité démontrée à la question 5.
9.c Raisonner sur les sommes partielles de la série
+∞
P
n=1
vn(x).
9.d Montrer que le reste de la série converge uniformément vers 0sur [ 1 ; 2 ].
9.e Utiliser également l’égalité démontrée à la question 9.c.
10 Observer que la somme demandée est −F′(1).
IV. Calcul des F(2k)à l’aide des nombres de Bernoulli
12 Utiliser le fait que Bn(1) −Bn(0) = Z1
0
B′
n(t) dt.
13 Montrer que ((−1)nBn(1 −X))n∈Nest une suite de polynômes de Bernoulli.
14 Erreur d’énoncé : admettre l’unicité et montrer l’existence de la suite. Pour cela,
justifier que gkest 2π-périodique, paire, continue et de classe C1par morceaux
sur R.
15.a Effectuer des intégrations par parties sur l’écriture intégrale des coefficients
an(k)et utiliser une propriété des polynômes de Bernoulli.
15.c Raisonner par récurrence sur k∈N∗à l’aide de la relation démontrée en 15.a.
16 Exprimer gk(0) à l’aide du résultat de la question 14 et utiliser la question
précédente.
17.a On pourra montrer préalablement que pour tout k∈ {0,...,n}, on a
B(k)
n=n!
(n−k)!Bn−k
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/19
I. Généralités
1Pour tout x∈R, la série de terme général (−1)n−1
nxn∈N∗
qui définit F(x)
est alternée. Pour x60, son terme général ne tend pas vers 0, donc cette série ne
converge pas. Pour x > 0, le module de son terme général tend vers 0en décroissant,
donc elle converge par application du théorème des séries alternées. En résumé,
La fonction Fest définie sur R∗
+.
2Pour n∈N∗et t∈[ 0 ; 1 [, on a
gn(t) = 1−(−t)n+1
1 + t
On en déduit que la limite simple de (gn)n>1est la fonction gdéfinie sur [ 0 ; 1 [ par
g(t) = 1
1 + t
Avant d’appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions
(gn)n∈N∗, prolongeons par continuité les fonctions gnet gà l’intervalle [ 0 ; 1 ] tout
entier. La fonction gse prolonge en une fonction continue sur [ 0 ; 1 ] en posant
g(1) = 1/2, et pour tout n∈N∗la fonction gnest prolongeable par continuité
à[ 0 ; 1 ] en posant
gn(1) =
n
P
k=0
(−1)k
Ainsi, pour tout n∈N∗,gnest continue sur [ 0 ; 1 ] et il en est de même de la fonction
g. Enfin, pour n∈N∗et t∈[ 0 ; 1 ], on a
|gn(t)|=1−(−t)n+1
1 + t62 1 + t
Puisque la fonction t7→ 2/(1 + t)est intégrable sur [ 0 ; 1 ] et indépendante de n, le
théorème de convergence dominée assure que la suite de fonctions (Gn)n>0définie
sur [ 0 ; 1 ] par
Gn(t) = Zt
0
gn(u) du=
n
P
k=0
(−1)k
k+ 1 tk+1 =
n+1
P
k=1
(−1)k−1
ktk
converge sur [ 0 ; 1 ] et que sa limite Gvérifie
G(t) =
+∞
P
k=1
(−1)k−1
ktk=Zt
0
g(u) du= ln(1 + t)
En t= 1, ceci s’écrit F(1) = Z1
0
g(t) dt= ln(2)
3Constatons que, pour n∈N∗et x>2, on a
(−1)n−1
nx
=1
nx61 n2
La série de terme général 1
n2étant convergente et indépendante de x, il vient que
La série de fonctions P
n>1
(−1)n−1
nxconverge normalement sur [ 2 ; +∞[.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/19
Par conséquent, la série P
n>1
(−1)n−1
nxconverge uniformément vers Fsur [ 2 ; +∞[.
En outre, pour n>2,(−1)n−1
nx−−−−→
x→+∞0
De plus, le premier terme de la série de fonctions est constant, égal à 1. On en déduit
que la fonction Fadmet une limite en +∞et que
lim
x→+∞F(x) = 1
4.a Soit x > 0. Notons
ϕx:
] 0 ; +∞[−→ R
t7−→ ln(t)
tx
La fonction ϕxest de classe C∞sur R∗
+et l’on a pour tout t > 0,
ϕx′(t) = 1−xln t
tx+1
Ainsi, ϕx′(t)>0si et seulement si t6e1
x. On en déduit le tableau de variations
t0e1
x+∞
ϕx′+ 0 −
1
ex
ϕxր ց
−∞0
Pour x∈R, notons ⌊x⌋sa partie entière. Puisque pour tout n∈N∗,ϕx(n) = ln n
nx,
La suite ln n
nxn>1
est décroissante à partir du rang ⌊e1
x⌋+ 1.
Le rapport du jury incite les candidats à « ne pas oublier que le rang, ou
indice, d’une suite est un entier. » Ainsi, « on ne dit pas que la suite est
décroissante à partir du rang e1
x. En revanche, elle sera décroissante à partir
d’un entier supérieur, par exemple ⌊e1
x⌋+ 1 (le +1 a souvent été oublié). »
4.b Observons que pour tout n∈N∗, et tout x > 0,
fn(x) = (−1)n−1e−xln(n)
Par conséquent, la fonction fnest indéfiniment dérivable sur R∗
+et, pour x > 0, on a
f′
n(x) = −(−1)n−1ln(n)e−xln(n)= (−1)nln n
nx
Ainsi, |f′
n(x)|=ln n
nx
Soient a∈R∗
+et x∈[a;+∞[. La série de terme général f′ n(x)est alternée et, d’après
la question précédente, |f′
n(x)|tend vers 0en décroissant à partir d’un certain rang.
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