Chapitre 5: Equations de Maxwell - E

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CHAPITRE 7
ÉQUATIONS DE MAXWELL
7.1 Équations de MAXWELL dans le vide
7.1.1 Formes locales des équations de MAXWELL
Soit Dune distribution de charges caractérisée dans un référentiel galiléen Rpar
les densités :
◮de charges ρ(−→ r,t)avec −→ r=−−→ OM
◮de courant −→ j(−→ r,t)
On admet les quatres équations suivantes dites équations locales de MAXWELL dans le
vide.
−→
∇.−→ E=div −→ E=ρ
εoM.G : MAXWELL -GAUSS
−→
∇ ∧ −→ E=−−→ rot −→ E=−∂−→
B
∂tM.F : MAXWELL -Faraday
−→
∇.−→ B=div −→ B=0M.Φ:MAXWELL -Flux (ou Thomson)
−→
∇ ∧ −→ B=−−→ rot −→ B=µo(−→ j+εo∂−→
E
∂t)M.A : MAXWELL -AMPÈRE
εo∂−→
E
∂tà la dimension du densité d’un courant appelé vecteur densité de courant de dé-
placement noté −→ jD.
Remarque- 26 :
• Puisque les équations de MAXWELL sont linéaires, alors les champs électromagné-
tiques
−→
E et
−→
B vérifient le principe de superposition.
• On peut avoir un champ
−→
E à partir de la source ρ ou à partir d’un champ magné-
tique variable en fonction du temps. Ainsi la source d’un champs
−→
B à partir de la source
−→
j ou à partir d’un champ
−→
E variable en fonction du temps.
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2TSI/MP(Béni Mellal) 7.1. ÉQUATIONS DE MAXWELL DANS LE VIDE
• Dans un milieu linéaire homogène isotrope (L.H.I) les équations de MAXWELL restent
valable à condition de remplacer
εo ε=εoεret µo µ=µoµr
7.1.2 Contenu physique des équations de MAXWELL
7.1.2.1 Équation de MAXWELL -GAUSS
On a : div −→ E=ρ
εo
=⇒#Vdiv −→ E dτ=#V
ρ
εodτ
Sachant que #Vdiv −→ E dτ=Σ(V)−→ E.−→ dS ainsi #Vρdτ=Qint ce qui donne
div −→ E=ρ
εo(M.G)=⇒Σ(V)−→
E.−→ dS =Qint
εo(T.G)
Conclusion:
La forme intégrale de l’équation de MAXWELL -GAUSS ce n’est autre que le théorème
de GAUSS .
7.1.2.2 Équation de MAXWELL -FARADAY
On a :
M.F : −−→ rot −→ E=−∂−→
B
∂t=⇒!Σ−−→
rot −→ E.−→ dS =−!Σ
∂−→ B
∂t.−→
dS
Or : !Σ−−→ rot −→ E.−→ dS =RΓ−→ E.−→ dℓavec Σune surface qui
s’appuie sur le contour Γ
Ainsi :!Σ
∂−→ B
∂t.−→
dS =∂
∂t!Σ−→
B.−→ dS=dΦ
dt Contour (Γ)
Surface (Σ)
Ce qui donne :
−−→
rot −→ E=−∂−→
B
∂t(M−F)=⇒e=IΓ
−→
E.−→ dℓ=−dΦ
dt
c’est la loi de FARADAY .
Avec ela force électromotrice. (plus de détail voir chapitre induction)
Conclusion:
La forme intégrale de l’équation de MAXWELL -FARADAY est la loi de FARADAY .
7.1.2.3 Équation de MAXWELL -Flux
On a : div −→ B=0=⇒−→ B.−→ dS =0c’est à dire que −→ Best à flux conservatif ( aucune ligne
de champ ne diverge)
div −→ B=0(M−Φ)=⇒−→ B.−→ dS =0(conservation du flux)
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Conclusion:
la forme intégrale de l’équation de MAXWELL -Flux est la conservation du flux
du champ magnétique à travers une surface fermée
7.1.2.4 Équation de MAXWELL -AMPÈRE
On a : −−→ rot −→ B=µo(−→ j+−→ jD)=⇒!Σ−−→ rot −→ B.−→ dS =!Σ(−→ j+−→ jD).−→ dS Or
◮!Σ−−→ rot −→ B.−→ dS =RΓ−→ B.−→ dℓ.
◮!Σ−→ j.−→ dS =Ie.
◮!Σ−→ jD.−→ dS =IDcourant de déplacement
ce qui donne
−−→
rot −→ B=µo(−→ j+−→ jD)(M−A)=⇒I−→ B.−→ dℓ=µo(Ie+ID)(théorème d’AMPÈRE généralisé)
Conclusion:
La forme intégrale de l’équation de MAXWELL -AMPÈRE est le théorème d’AMPÈRE généralisée
Remarque- 27 :
Les quatres équations de
MAXWELL plus la force de LORENTZ constituent les postulats
de l’électromagnétisme.
7.1.3 Équations de MAXWELL et la conservation de la charge
Calculons div (M.A):
div −−→ rot −→ A=µo(div −→ j+εo∂div −→
E
∂t)
Or D’après M.G : εodiv −→ E=ρ
ainsi : div −−→ rot −→ B=−→ ∇.(−→ ∇ ∧ −→ B)=0
ce qui donne :
div −→ j+∂ρ
∂t=0
C’est l’équation locale de conservation de charge
7.1.4 Équations de MAXWELL et relations de passages
Soit la distribution suivante à l’échelle microscopique ( ˚ A) :
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z(˚ A)
ρ, j
az(mm)
ρ, j
a
◮Pour la densité volumique de charge on a :
d3q=ρdτ=⇒d3q=ρdxdydz
Intégrons cette expression par rapport à la variable z:
d2q=(Za
0ρdz)
| {z }
σ
dxdy=σdxdy
C’est à dire que à l’échelle macroscopique on peut modéliser la distribution volumique à
l’échelle microscopique par une distribution surfacique telle que
σ=Za
0ρdz
◮de même pour le vecteur densité de courant, on obtient
−→
js=Za
0−→
jdz
Soit Sune surface quelconque et O un point quelconque de Squ’on choisit comme
origine d’un repère R(Oxyz)tel que Oz la verticale et Oxy le plan tangent à Sau point O.
Cette surface Sdélimite deux milieux M1et M2tel que −→ ez=−→ n1→2
O
z
y
x
−→
ez=−→ n1→2
Milieu M1
Milieu M2
S
Plan tangent à Sau point O
Intéressons nous à la continuité des champs électromagnétiques à la traversée de la
surface au point O.
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7.1.4.1 Équation de MAXWELL -GAUSS
On a : div −→ E=ρ
εo
=⇒∂Ex
∂x+∂Ey ∂y +∂Ez ∂z=ρ εo
Intégrons cette équation par rapport à z entre 0 et a(→0) :
Ra
0(∂Ex
∂x+∂Ey ∂y )dz +Ra
0
∂Ez
∂zdz =1 εoRa
0ρdz
Or :
◮lim
a→0Ra
0(∂Ex
∂x+∂Ey ∂y )dz =0quantité bornée.
◮lim
a→0Ra
0
∂Ez
∂zdz =Ez(O+)−Ez(O−)
◮lim
a→0Ra
0ρdz =σdensité surfacique de charge.
Il en résulte que :
Ez(O+)−Ez(O−)=σ
εo
=⇒E2n−E1n=σ
εo
La composante normale du champ −→ Eest discontinue en présence d’une densité
surfacique de charge
7.1.4.2 Équation de MAXWELL -Flux
On a :
div −→ B=0=⇒∂Bx
∂x+∂By ∂y +∂Bz ∂z=0
Intégrons cette équation par rapport à z entre 0 et a(→0) :
Ra
0(∂Bx
∂x+∂By ∂y )dz +Ra
0
∂Bz
∂zdz =0
Or :
◮lim
a→0Ra
0(∂Bx
∂x+∂By ∂y )dz =0quantité bornée.
◮lim
a→0Ra
0
∂Bz
∂zdz =Bz(O+)−Bz(O−)
Il en résulte que :
Bz(O+)−Bz(O−)=0=⇒B2n=B1n
La composante normale du champ −→ Best toujours continue
7.1.4.3 Équation de MAXWELL -AMPÈRE
On a :
−−→
rot −→ B=µo(−→ j+εo∂−→
E
∂t)
avec : −→ j=−→ j(x, y, z,t)et −→ js=lim
a→0Ra
0−→
j(x, y, z,t)dz
Projetons l’équation de M.A sur l’axe Ox on obtient :
∂Bz
∂y −∂By ∂z=µojx+µoεo∂Ex ∂t
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