Chapitre 5: Equations de Maxwell - E
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CHAPITRE 7 ÉQUATIONS DE MAXWELL 7.1 Équations de MAXWELL dans le vide 7.1.1 Formes locales des équations de MAXWELL Soit D une distribution de charges caractérisée dans un référentiel galiléen R par les densités : −→ −r , t) avec → −r = − ◮ de charges ρ(→ OM → − − ◮ de courant j (→ r , t) I SA ID On admet les quatres équations suivantes dites équations locales de MAXWELL dans le vide. → −→ ρ − → − ∇. E = div E = εo FIL AL M.G : MAXWELL -GAUSS M.F : MAXWELL -Faraday EL L AL -EL → − → − → ∂B − −−→ → − ∇ ∧ E = rot E = − ∂t → −→ − → − ∇. B = div B = 0 BE NI M M.Φ : MAXWELL -Flux (ou Thomson) → − → − → → − ∂E − −−→ → − ∇ ∧ B = rot B = µo ( j + εo ) ∂t ID- CP GE M.A : MAXWELL -AMPÈRE -E LF ILA LI SA → − ∂E εo à la dimension du densité d’un courant appelé vecteur densité de courant de dé∂t → − placement noté j D . → − ME → − LL AL Remarque- 26 : • Puisque les équations de MAXWELL sont linéaires, alors les champs électromagné- tiques E et B vérifient le principe de superposition. CP GE BE NI → − • On peut avoir un champ E à partir de la source ρ ou à partir d’un champ magné→ − tique variable en fonction du temps. Ainsi la source d’un champs B à partir de la source → − → − j ou à partir d’un champ E variable en fonction du temps. 97 2TSI/MP(Béni Mellal) 7.1. ÉQUATIONS DE MAXWELL DANS LE VIDE • Dans un milieu linéaire homogène isotrope (L.H.I) les équations de MAXWELL restent valable à condition de remplacer εo ε = εo εr µo et µ = µo µr 7.1.2 Contenu physique des équations de MAXWELL 7.1.2.1 Équation de MAXWELL -GAUSS # # ρ ρ → − =⇒ V div E dτ = V dτ ε ε o o # → # → − − −→ Sachant que div E dτ = E . dS ainsi ρ dτ = Qint ce qui donne V Σ(V) V → − On a : div E = ρ → − div E = (M.G) =⇒ εo → − −→ Qint E .dS = (T.G) εo Σ(V) Conclusion: La forme intégrale de l’équation de MAXWELL -GAUSS ce n’est autre que le théorème de GAUSS . 7.1.2.2 Équation de MAXWELL -FARADAY Surface (Σ) On a : AL I SA ID → − − ! −−→ → ! ∂→ ∂B B −→ − − −→ −−→ → M.F : rot E = − =⇒ Σ rot E .dS = − Σ .dS ∂t R ∂t ! −−→ → − − −→ → − → Or : Σ rot E .dS = Γ E .dℓ avec Σ une surface qui s’appuie sur le contour Γ − ! ∂→ B −→ ∂ ! → − −→ dΦ Ainsi : Σ .dS = B.dS = Σ ∂t ∂t dt AL -EL FIL Contour (Γ) EL L Ce qui donne : GE BE NI M I → − ∂B − dΦ − → − → −−→ → rot E = − (M − F) =⇒ e = E .dℓ = − ∂t dt Γ ID- CP c’est la loi de FARADAY . AL Équation de MAXWELL -Flux LL → − −→ → − B.dS = 0 c’est à dire que B est à flux conservatif ( aucune ligne ME → − BE On a : div B = 0 =⇒ de champ ne diverge) NI 7.1.2.3 -E LF ILA LI SA Avec e la force électromotrice. (plus de détail voir chapitre induction) Conclusion: La forme intégrale de l’équation de MAXWELL -FARADAY est la loi de FARADAY . CP GE → − div B = 0(M − Φ) =⇒ 29 novembre 2016 → − −→ B.dS = 0(conservation du flux) Page -98/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 7.1. ÉQUATIONS DE MAXWELL DANS LE VIDE Conclusion: la forme intégrale de l’équation de MAXWELL -Flux est la conservation du flux du champ magnétique à travers une surface fermée 7.1.2.4 Équation de MAXWELL -AMPÈRE − −−→ → → − → − On a : rot B = µo ( j + j D ) =⇒ ! −−→ → − → − −→ − −→ ! → rot B.dS = Σ ( j + j D ).dS Or Σ ! −−→ → − − −→ R → − → rot B.dS = Γ B.dℓ. Σ ! → − −→ ◮ Σ j .dS = Ie . ! → − −→ ◮ Σ j D .dS = ID courant de déplacement ◮ ce qui donne I → − → − − −−→ → rot B = µo ( j + j D )(M − A) =⇒ − → − → B.dℓ = µo (Ie + ID )(théorème d’AMPÈRE généralisé) Conclusion: La forme intégrale de l’équation de MAXWELL -AMPÈRE est le théorème d’AMPÈRE général Remarque- 27 : Les quatres équations de MAXWELL plus la force de LORENTZ constituent les postulats de l’électromagnétisme. 7.1.3 Équations de MAXWELL et la conservation de la charge I SA ID Calculons div (M.A) : AL -EL FIL AL → − → − ∂div E − −−→ → ) div rot A = µo (div j + εo ∂t → − Or D’après M.G : εo div E = ρ − → − → − → − −−→ → ainsi : div rot B = ∇.( ∇ ∧ B) = 0 EL L ce qui donne : GE BE NI M → − ∂ρ div j + =0 ∂t Équations de MAXWELL et relations de passages ILA LI 7.1.4 SA ID- CP C’est l’équation locale de conservation de charge CP GE BE NI ME LL AL -E LF Soit la distribution suivante à l’échelle microscopique (Å) : 29 novembre 2016 Page -99/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 7.1. ÉQUATIONS DE MAXWELL DANS LE VIDE ρ, j ρ, j a z(Å) a z(mm) ◮ Pour la densité volumique de charge on a : d 3 q = ρ dτ =⇒ d 3 q = ρ dxdydz Intégrons cette expression par rapport à la variable z : Z a d q=( ρ dz) dxdy = σ dxdy 0 | {z } 2 σ C’est à dire que à l’échelle macroscopique on peut modéliser la distribution volumique à l’échelle microscopique par une distribution surfacique telle que σ= Z a ρ dz 0 0 → − j dz AL a FIL Z AL -EL → − js= I SA ID ◮ de même pour le vecteur densité de courant, on obtient BE NI M EL L Soit S une surface quelconque et O un point quelconque de S qu’on choisit comme origine d’un repère R (Oxyz) tel que Oz la verticale et Oxy le plan tangent à S au point O. → − → − Cette surface S délimite deux milieux M1 et M2 tel que ez = n 1→2 z ID- CP GE Milieu M2 ILA LI SA → − −n ez = → 1→2 y LF O LL AL -E Plan tangent à S au point O S ME Milieu M1 GE BE NI x CP Intéressons nous à la continuité des champs électromagnétiques à la traversée de la surface au point O. 29 novembre 2016 Page -100/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 7.1.4.1 7.1. ÉQUATIONS DE MAXWELL DANS LE VIDE Équation de MAXWELL -GAUSS → − On a : div E = ∂E x ∂E y ∂E z ρ ρ =⇒ + + = εo ∂x ∂y ∂z εo Intégrons cette équation par rapport à z entre 0 et a(→ 0) : R a ∂E z R a ∂E x ∂E y 1 Ra ( + )dz + 0 dz = ρ dz 0 ∂x ∂y ∂z εo 0 Or : R a ∂E x ∂E y ( + )dz = 0 quantité bornée. a→0 0 ∂x ∂y R a ∂E z ◮ lim 0 dz = E z (O+ ) − E z (O− ) a→0 R ∂z a ◮ lim 0 ρ dz = σ densité surfacique de charge. ◮ lim a→0 Il en résulte que : E z (O+ ) − E z (O− ) = σ σ =⇒ E 2n − E 1n = εo εo → − La composante normale du champ E est discontinue en présence d’une densité surfacique de charge 7.1.4.2 Équation de MAXWELL -Flux On a : ∂B x ∂By ∂Bz → − div B = 0 =⇒ + + =0 ∂x ∂y ∂z Intégrons cette équation par rapport à z entre 0 et a(→ 0) : I SA ID R a ∂B x ∂By R a ∂Bz ( + )dz + dz = 0 0 ∂z 0 ∂x ∂y AL -EL FIL R a ∂B x ∂By + )dz = 0 quantité bornée. ( a→0 0 ∂x ∂y R a ∂Bz ◮ lim 0 dz = Bz (O+ ) − Bz (O− ) a→0 ∂z ◮ lim AL Or : EL L Il en résulte que : BE NI M Bz (O+ ) − Bz (O− ) = 0 =⇒ B2n = B1n → − SA → − → − ∂E − −−→ → rot B = µo ( j + εo ) ∂t R a→ → − → − → − − j = j (x, y, z, t) et j s = lim 0 j (x, y, z, t) dz LL ME avec : AL -E LF On a : Équation de MAXWELL -AMPÈRE ILA LI 7.1.4.3 ID- CP GE La composante normale du champ B est toujours continue a→0 CP GE BE NI Projetons l’équation de M.A sur l’axe Ox on obtient : 29 novembre 2016 ∂Bz ∂By ∂E x − = µo j x + µo εo ∂y ∂z ∂t Page -101/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 7.1. ÉQUATIONS DE MAXWELL DANS LE VIDE intégrons cette équation par rapport à z de 0 à a on obtient : R a ∂Bz dz → 0 ( Bz est continue) 0 ∂y R a ∂By ◮ 0 dz = By (x, y, a, t) − By (x, y, 0, t) ∂z R a ∂E x ◮ 0 dz → 0 (quantité bornée) R a ∂t ◮ 0 j x (x, y, z, t) dz = j sx ◮ Ce qui donne B2y − B1y = µo j sx De même la projection sur Oy donne B2x − B1x = µo j sy En combinant les deux résultats on obtient → − → − → − −n B 2 − B 1 = µo j s ∧ → 1→2 Conclusion: → − → − En présence du courant surfacique j s la composante normale du champ B est toujour continue par contre la composante tangentielle est discontinue Équation de MAXWELL -FARADAY AL I SA ID ∂E z ∂E y ∂B x − =− ∂y ∂z ∂t ∂By ∂E x ∂E z − =− ∂z ∂x ∂t ∂E x ∂E y ∂Bz − =− ∂y ∂x ∂t (1) (2) (3) CP GE BE NI M EL L AL -EL → − ∂B − −−→ → calculons rot E = − : ∂t ∂ ∂B x E x − ∂t ∂x ∂ ∂By ∧ Ey = − =⇒ ∂t ∂y ∂Bz ∂ E z − ∂t ∂z Intégrons par rapport à z entre 0 et a(→ 0) ◮ (1) =⇒ E 2y − E 1y = 0 ◮ (2) =⇒ E 2x − E 1x = 0 ◮ (3) =⇒ 0 = 0 FIL 7.1.4.4 ILA LI SA ID- Il en résulte que → − → − E 2⊥ = E 1⊥ → − LL AL -E LF la composante tangentielle du champ E est continue c’est à dire → − → − → − −n ( E 2 − E 1) ∧ → 1→2 = 0 CP GE BE NI ME Conclusion: → − Á la traversée d’une surface chargée S le champ E vérifie 29 novembre 2016 σ− → − → − E2 − E1 = → n εo Page -102/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 7.1.5 7.2. POTENTIEL VECTEUR ET POTENTIEL SCALAIRE Tableau récapitulatif Formes Locales Formes intégrales Relations de passage MAXWELL -GAUSS Théorème de GAUSS −→ ρ → − → − div E = ∇. E = εo σ − → − → −n .(→ E 2 − E 1) = εo MAXWELL -flux → −→ Qint − E (M). dS = Σ εo → − Flux de B conservatif −→ → − → − div B = ∇. B = 0 → −→ − B(M).dS = 0 Σ − → − → −n .(→ B 2 − B 1) = 0 MAXWELL -FARADAY Loi de FARADAY → − − → ∂B − → − −−→ → rot E = ∇ ∧ E = − ∂t e= H→ → − dΦ − E (M).dℓ = − dt → − − → − → −n ∧ (→ E 2 − E 1) = 0 MAXWELL -AMPÈRE Théorème d’AMPÈRE généralisé → − → − − → ∂E − → − −−→ → rot B = ∇ ∧ B = µo ( j + εo ) ∂t H→ − − → B.dℓ = µo (Ie + ID ) 7.2 → − − → − → −n ∧ (→ B 2 − B 1 ) = µo j s Potentiel vecteur et potentiel scalaire En régime variable (dépendant du temps), la loi de COULOMB ainsi BIOT et SAVART ne sont plus valables ; il faudra utiliser d’autres méthodes pour déterminer le champs → − → − Existence des potentiels → − AL -EL 7.2.1 FIL AL I SA ID électromagnétique ( E et B ). Une des méthodes est la méthode des potentiels. relation toujours valable GE → − − −−→ → B(M, t) = rot A (M, t) BE NI M EL L D’après l’équation de M.Φ, on a : div B(M, t) = 0 ce qui donne LL AL -E LF ILA LI SA ID- CP → − → − ∂ B(M, t) − − −−→ → −−→ → −−→ ∂ A (M, t) Or l’équation de M.F : rot E (M, t) = − =⇒ rot E (M, t) = −rot ∂t ∂t C’est à dire → − ∂ A (M, t) → − − −−→ → rot E (M, t) + = 0 ∂t Donc il existe une fonction scalaire V telle que 29 novembre 2016 CP Conclusion: GE BE NI ME → − → − ∂ A (M, t) ∂ A (M, t) −−−→ −−−→ → − → − E (M, t) + = −grad V(M, t) =⇒ E (M, t) = −grad V(M, t) − ∂t ∂t Page -103/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) → − 7.2. POTENTIEL VECTEUR ET POTENTIEL SCALAIRE → − → − Les champs E et B s’expriment à l’aide des potentiels vecteur A et potentiel scalaire V par: → − − −−→ → B(M, t) = rot A (M, t) → − −−−→ ∂ A (M, t) → − E (M, t) = −grad V(M, t) − ∂t ; Remarque- 28 : → − Les potentiels A et V ne sont pas uniques. On admet la transformation de jauge suivante : → − → − → − → − → − → − Si ( A , V) et ( A 1 , V1 ) deux couples de potentiels dont dérivent E et B alors si A = A 1 − ∂f −−−→ grad f alors V = V1 + où la fonction f = f (M, t) est une fonction quelconque. ∂t Conclusion: → − → − Une transformation de jauge ne modifie pas les champs E et B 7.2.2 Choix de jauge puisque les potentiels ne sont pas uniques alors on impose certaines conditions sup- → − plémentaire sur les A et V afin de simplifie les équations. ◮ En régime stationnaire (indépendant du temps) :on utilise la jauge de COULOMB afin → − que A vérifie l’équation de POISSON pour la magnétostatique : → − div A(M) = 0 → − ◮ En régime variable : on utilise la jauge de LORENTZ afin que A et V vérifient les AL I SA ID équations de POISSON généralisées. ∂V → − div A + µo εo =0 ∂t EL L AL -EL FIL jauge de LORENTZ Équations de POISSON généralisées 7.2.3.1 Équation de POISSON généralisée pour le potentiel V BE NI M 7.2.3 LF ILA LI SA ID- CP GE → − ∂A −−−→ → − → − On a : div E = ρ/εo ainsi E = −grad V − ce qui donne ∂t → − → − ∂A ρ ∂A ρ −−−→ div (−grad V − )= =⇒ −∆ V − div ( )= ∂t εo ∂t εo LL AL -E → − ∂A ∂ ∂2 V → − Or : div ( ) = (div A ) = −µo εo 2 ∂t ∂t ∂t ∆ V − µo εo ∂2 V ρ + =0 2 ∂t εo CP GE BE NI ME Il en résulte que C’est l’équation de POISSON généralisée pour le potentiel V 29 novembre 2016 Page -104/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 7.2.3.2 7.2. POTENTIEL VECTEUR ET POTENTIEL SCALAIRE Équation de POISSON généralisée pour le potentiel vecteur → − → − ∂E − −−→ → On a : rot B = µo j + µo εo ∂t → − ∂A −−−→ → − −−→ → − → − Or : B = rot A et E = −grad V − ce qui donne : ∂t → − → − ∂A ∂ −−−→ − −−→ −−→ → rot (rot A ) = µo j + µo εo − grad V − ∂t ∂t → − → − ∂2 A −−−→ −−−→ ∂V → − → − =⇒ grad (div A ) − ∆ A = µo j − µo εo grad − µo εo 2 ∂t ∂t − 2→ → − −−−→ ∂V ∂ A → − → − =⇒ grad (div A + µo εo ) − ∆ A + µo εo 2 − µo j = 0 ∂t ∂t ∂V → − D’après la jauge de LORENTZ :div A + µo εo =0 ∂t Il en résulte que → − → − → ∂2 A − → − ∆ A − µo εo 2 + µo j = 0 ∂t → − C’est l’équation de POISSON généralisée pour le potentiel vecteur A Remarquons que : ∂2 ∆ = 2 → m−2 ∂x ∂2 µo εo 2 → m−2 ∂t I SA ID c’est à dire =⇒ µo εo → m−2 .s2 AL 1 → (m.s−1 )2 µo εo FIL On pose EL L AL -EL 1 c= √ µo εo BE NI M c : dite la célérité de l’onde électromagnétique : représente la vitesse de propagation GE dans le vide ( suite voir partie des ondes). Par conséquent : CP 1 ∂2 V ρ + =0 2 2 c ∂t εo → − → − → 1 ∂2 A − → − ◮ ∆ A − 2 2 + µo j = 0 c ∂t -E LF ILA LI SA ID- ◮∆V− 1 ∂2 =∆ − 2 2 c ∂t opérateur Alembertien CP GE BE NI ME LL AL Si on pose 29 novembre 2016 Page -105/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 7.3. L’APPROXIMATION DES RÉGIMES QUASI-PERMANENTS (ARQP) → − alors les potentiels A et V vérifient les équations de d’ALEMBERT → − → − → − A + µo j = 0 ; V + ρ =0 εo Remarque- 29 : → − → − Dans une région (comme le vide par exemple) où ρ = 0 et j = 0 les équations de d’ ALEMBERT s’écrivent − → − → A = 0 7.2.4 ; V = 0 Potentiels retardés ◮ On rappelle qu’en régime stationnaire on a : ∆V+ ρ =0 εo → − → − ∆ A + µo j = 0 et Et lorsque la distribution est limitée dans l’espace on a : 1 V(M) = 4πε o $ ρ(P)dτ PM µo → − A (M) = 4π et $ → − j (P) dτ PM On démontre qu’en régime variable et lorsque la distribution est limitée dans l’espace → − que les solutions des équations de d’ALEMBERT pour V et A s’écrivent : 1 # ρ(P, t − PM/c) dτ 4πε o V PM → − µo # j (P, t − PM/c) → − dτ ◮ A(M, t) = 4π V PM AL -EL FIL AL I SA ID ◮ V(M, t) = SA L’approximation des régimes quasi-permanents (ARQP) ILA LI 7.3 ID- CP GE BE NI M EL L → − V(M, t) et A(M, t) sont appelés les potentiels retardés. PM Si on pose θ = le retard ; c’est à dire que le point M va subir les potentiels issuent de c r PM la distribution mais avec un retard θ = = c c CP GE BE NI ME LL AL -E LF Dite aussi Approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) 29 novembre 2016 Page -106/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 7.3.1 7.3. L’APPROXIMATION DES RÉGIMES QUASI-PERMANENTS (ARQP) Définition de l’ARQP L’ARQP consiste à négliger le retard θ devant un temps caractéristiques (T la période par exemple pour un signal périodique), c’est à dire considérer 1 # ρ(P, t) dτ 4πε o V PM → − µo # j (P, t) → − ◮ A(M, t) = dτ 4π V PM → − ∂ A (M, t) −−−→ → − ◮ E (M, t) = −grad V(M, t) − ∂t → − − −−→ → ◮ B(M, t = rot A (M, t) ◮ V(M, t) = En d’autres termes l’ARQP consiste à négliger le phénomène de propagation 7.3.2 Domaine de validité de l’ARQP Considérons un signal T-périodique. ARQP est valable donc θ ≪ T =⇒ SM ≪ T c’est à dire c S M ≪ cT = λ = c f λ 50 Hz 6000 km FIL AL I SA ID f 30 cm BE NI M EL L 1 GHz 30 m AL -EL 10 MHz GE On reteint que le cadre de l’ARQP est valable au laboratoire si la fréquence du signal est inférieure à 1 MHz ILA LI Comparaison des amplitudes des vecteurs densité de courant et de courant de déplacement LF 7.3.3 SA ID- CP ARQP =⇒ f 6 1MHz -E Considérons un conducteur métallique (type cuivre) de conductivité σ ≃ 107 S .m−1 AL → − → − LL soumis à un champ électrique sinusoidal de la forme E = E o cos(ωt). → − → − CP GE BE NI ME Comparons les amplitudes des vecteurs densité de courants j et j D On a : → − → − → − → − • j = σ E =⇒ j = σ E o cos(ωt) l’amplitude est donc j M = σE o 29 novembre 2016 Page -107/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 7.3. L’APPROXIMATION DES RÉGIMES QUASI-PERMANENTS (ARQP) → − → − → − ∂E • j D = εo =⇒ j D = −εo ω sin(ωt) l’amplitude est donc jDM = εo ωE o ∂t Ce qui donne jDM εo ω = jM σ → − Cherchons à quelle fréquence f on a le vecteur densité de courant de déplacement j D → − est négligeable devant le densité de courant j σ jM ≫ 1 =⇒ f ≫ ≃ 1016 Hz jDM 2πεo Conclusion: → − Dans le cadre de l’ARQP, le vecteur densité de courant de déplacement j D est → − très négligeable devant le vecteur densité de courant j Conséquence : Dans le cadre de l’ARQP l’équation de MAXWELL -AMPÈRE généralisée s’écrit → − ARQP → − → − ∂E − − −−→ → −−→ → rot B = µo ( j + εo ) −−−−−−−−−→ rot B = µo j ∂t 7.3.4 Équations de MAXWELL dans le cadre de l’ARQP FIL AL I SA ID ρ → − (M.G) div E = εo → − ∂B − −−→ → (M.F) rot E = − ∂t → − (M.Φ) div B = 0 EL L AL -EL → − − −−→ → (M.A) rot B = µo j BE NI M Remarque- 30 : → − IDSA -E LF Équations de MAXWELL en régime stationnaire AL 7.3.5 et → − ∂A −−−→ → − E = −grad V − ∂t ILA LI → − −−→ → − B = rot A CP GE Les relations entre les potentiels A et V et les champs restent valables en effet : ∂X = 0, ce qui donne ∂t CP GE BE NI ME LL La variable X et en régime stationnaire si 29 novembre 2016 Page -108/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 7.3. L’APPROXIMATION DES RÉGIMES QUASI-PERMANENTS (ARQP) ρ → − (M.G) div E = εo − − → −−→ → (M.F) rot E = 0 → − (M.Φ) div B = 0 CP GE BE NI ME LL AL -E LF ILA LI SA ID- CP GE BE NI M EL L AL -EL FIL AL I SA ID → − − −−→ → (M.A) rot B = µo j 29 novembre 2016 Page -109/153- [email protected]
