Chapitre #3: Le théorème de Gauss

Électricité et magnétisme
(203-NYB)
Chapitre 3: Le théorème de Gauss
3.1 Le flux électrique
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Le flux électrique à travers une surface
donnée est proportionnel au nombre de
lignes de champ passant par cette surface.
On peut faire une analogie entre les lignes
de courant d’un fluide (champ de vitesse)
qui s’écoule à travers une surface. Le flux
de vitesse est le flux volumique ou débit en
m3/s.
Le flux électrique est le produit du champ
électrique par la surface qu’il traverse (si le
champ est perpendiculaire à la surface).
Le flux électrique est le produit du champ
électrique par la surface perpendiculaire An
qu’il traverse (ou l’inverse). Le produit
scalaire permet de calculer le flux. Le
vecteur Aest perpendiculaire à la surface.
Si le champ ou l’angle sont variables alors il
faut utiliser l’intégrale.
L’unité SI de flux est le Nm2/C.
 v  vA
 E  EA
 E  EAn  En A  EA cos 
E  E A
 E   E dA
3.2 Le théorème de Gauss
Énoncé du théorème de Gauss: Le flux électrique total traversant une surface
fermée (dite surface de Gauss), est proportionnel à la charge nette Q à
l’intérieure de cette surface.
E 
 E  dA  Q 
0
Le flux total est nul car la charge est à l’extérieure de la surface.
Le nombre de lignes qui entrent est égal au nombre de lignes qui
sortent.
Le flux net à travers la surface S est q1/ε0.
Le flux net à travers la surface S’ est (q2+q3)/ε0.
Le flux net à travers la surface S’’ est nul.
3.3 L’utilisation du théorème de Gauss
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Le théorème de Gauss permet de trouver le champ électrique dans les cas très
symétriques.
Pour trouver le champ électrique au point P, il faut choisir une surface de
Gauss passant par le point P et pour laquelle l’intégrale est facile à évaluer.
En pratique il faut que le module du champ électrique soit constant et
perpendiculaire à la surface (ce qui permet de sortir E de l’intégrale), soit
perpendiculaire à la surface (dans ce cas le flux est nul).
 E  dA   EdA  E  dA  ES
3.3 (suite) Symétrie sphérique
Application du théorème de Gauss à une charge
ponctuelle au centre d’une surface de Gauss sphérique.
 E  dA  q 
 E  dA   EdA  E  dA  E 4 r
0
2
car E dA
E 4 r 2  q  0
E
1
q
q

k
4 0 r 2
r2
Le résultat sera le même pour toute distribution de charge sphérique en autant que q
représente la charge totale à l’intérieure de la surface de Gauss (E9, E21, E23 et E24)
Exemple: l’intérieur d’une sphère uniformément chargée.
2
E

dA

E
4

r
 q 0

q
r
Vr
r
Q
Q

Q
VV
 R3
R3
4
3
4
3
3
r3 Q
E 4 r  3
R 0
2
E
Q
4 0 R
r
3
kQ
r
R3
3
La charge q est la charge q
est la charge à l’intérieure
de la surface de Gauss.
3.3 (suite) Symétrie cylindrique
 E  dA 
E 2 r 
E
 EdA  E  dA  E 2 r 

0
 1
2 0 r
q
0


0
Le flux est nul dans les bouts du cylindre
car le champ est parallèle à la surface.
3.3 (suite) Symétrie plane
 E  dA 
E
E
q
2 0 A

2 0
 EdA  E  dA  2EA 
q
0