Résumé de Cours - EM1 - Electrostatique - MI

Résumé de Cours
Résumé de Cours Résumé de Cours
Résumé de Cours –
––
– EM
EMEM
EM1
11
1 -
--
- Electro
ElectroElectro
Electrostatique
statiquestatique
statique –
––
– 1/
1/ 1/
1/2
22
2
Distribution de C
Distribution de CDistribution de C
Distribution de Charges
hargesharges
harges :
::
:
Densité volumique / surfacique de charges :
ρ
τ
=
d q
d
en C.m
-3
et
σ =
dq
dS
en C.m
-2
M
MM
Mise
iseise
ise en évidence
en évidence en évidence
en évidence du
dudu
du Champ
Champ Champ
Champ Electrique
ElectriqueElectrique
Electrique :
::
:
Définition : Une distribution de charges produit une modification des propriétés de l’espace que l’on appelle
champ électrique
E
. On ne peut le caractériser que par son action.
Action sur une particule chargée : Force de Lorentz
= ⋅
F q E
Loi de Coulomb entre charges : Loi de Coulomb
πε
→
= ⋅
1 2
1 2
2
0
1
4
q q
F u
r
Expressions du champ électrostatique
Expressions du champ électrostatiqueExpressions du champ électrostatique
Expressions du champ électrostatique :
::
:
Expression :
( )
ρ τ
πε πε
= ⋅ = ⋅
2 2
0 0
1 1
4 4
M
d q d
d E u u
r r
 à intégrer…
Avec
πε
= ⋅
9
0
19 10
4
SI
u
la permittivité du vide
Remarque :
B
(comme
E
) n’est pas défini en un point d’une distribution linéique.
Expressions du POTENTIEL électrostatique
Expressions du POTENTIEL électrostatiqueExpressions du POTENTIEL électrostatique
Expressions du POTENTIEL électrostatique :
::
:
Expression :
( )
ρ τ
πε πε
= ⋅ = ⋅
0 0
1 1
4 4
M
d q d
d V
r r
 à intégrer…
Symétries du champ magnétique
Symétries du champ magnétiqueSymétries du champ magnétique
Symétries du champ magnétique :
::
:
Le champ
E
possède les mêmes symétries que les charges qui lui donnent naissance
Plan de Symétrie :
( )
(
)
π π
ρ ρ = ⇔ = ⇔ = ' '
P sy m P d E sy m d E
π
∈
sy m
E (contenu dans les plans de symétrie, l’inverse de
B
)
Plan d’Antisymétrie :
( )
(
)
π π
ρ ρ = ⇔ = − ⇔ = −
* *
' ' '
P sy m P dE sym dE
π ⊥
a n ti sy m
E (orthogonal au plan d’antisymétrie, l’inverse de
B
)
Axe de Symétrie de Révolution : Le champ ne dépend pas de θ :
(
)
,
E r z
En un point de l’axe, alors :
(
)
= ⋅
z z
E E z u
Symétrie cylindrique infinie : Distribution invariante par translation selon Oz et rotation autour de Oz
Le champ sera radial :
(
)
= ⋅
r r
E E r u
C
CC
Circulation du champ
irculation du champ irculation du champ
irculation du champ électrique
électriqueélectrique
électrique :
::
:
= ⋅
∫
( )C
C E dl
Relation :
( )
= ⋅ = −∆
= −
∫
( )C
C E d l V
E g ra d V
 Circulation NON conservative / INDEPENDANT du chemin
Travail et Energie Potentielle
Travail et Energie PotentielleTravail et Energie Potentielle
Travail et Energie Potentielle :
::
:
(
)
δ = ⋅ = ⋅ = − ⋅ ⇒= −
B
A A B
W F d l q E d l q d V W q V V
On peut définir une énergie potentielle :
( )
=⇒= −∆
= −
B
P A P
P
E qV W E
F grad E
Déf du gradient : Fct tq
(
)
= ⋅
d V g ra d V d l

Résumé de Cours
Résumé de Cours Résumé de Cours
Résumé de Cours –
––
– EM
EMEM
EM1
11
1 -
--
- Electrostatique
ElectrostatiqueElectrostatique
Electrostatique –
––
– 2/
2/ 2/
2/2
22
2
Flux du Champ magnétique
Flux du Champ magnétiqueFlux du Champ magnétique
Flux du Champ magnétique :
::
:
Théorème de Gauss :
ε
Φ = ⋅ =
∫∫
int
0
S
Q
E dS
NON conservation du flux
Conséquences :
- Fluc CONSERVATIF dans une région vide de charges
- Un extremum de potentiel en un point suppose une charge en ce point
- Discontinuité du Champ électrique à la traversée d’une surface :
σ
ε
→ →
∆ = ⋅
1 2 1 2
0
E n
Application du Théorème de Gauss
Application du Théorème de GaussApplication du Théorème de Gauss
Application du Théorème de Gauss :
::
:
Comme le théorème de Gauss : - Analyse des invariances et des symétries
- Choix du contour fermé de Gauss
- Application du Théorème
Exemples usuels : - Plan Infini :
( )
σε
=± ⋅
0
2
z
E z u
- Fil Infini :
λ
π ε
= ⋅
0
2
r
E u
r
- Sphère (ext) :
( )
ρε
= ⋅
3
2
0
3
r
R
E r u
r
- Sphère (int) :
( )
ρε
= ⋅
0
3
r
r
E r u
Extension aux cas variable
Extension aux cas variableExtension aux cas variable
Extension aux cas variable : Equations de Maxwell
: Equations de Maxwell: Equations de Maxwell
: Equations de Maxwell
Liées au Champ
B
:
( )
( )
ρ
ε ε
=⇒Φ = ⋅ =
=⇒= ⋅ =
∫∫
∫
in t
0 0
( )
0 0
S
C
Q
d iv E E d S M a x w e ll G a u ss
ro t E C B d l M a x w e ll F a ra d a y
Potentiel scalaire :
( )
= − ⇒⋅ = −∆
∫
( )
E grad V en V E dl V
Equation de Poisson :
ρ
ε
∆ + =
0
0
V
Densité volumique d’énergie électrique :
( ) ( )
ε
=
2
0
2
e
u M E M
en J.m
-3
Dipôle
Dipôle Dipôle
Dipôle électrique
électriqueélectrique
électrique :
::
:
Définition :
= ⋅
p q AB
Potentiel en 1/r
2
:
( )
θ
θ
πε πε
⋅
⋅
= =
,
2 2
0 0
cos
4 4
r
r
p u
q l
V
r r
Champ crée en 1/r
3
:
( )
(
)
θ
θ θ
πε
= ⋅ + ⋅
3
0
2 cos sin
4
r
M
p
E u u
r
Actions subies : Dans un champ
E
- Couple :
Γ = ∧
p B
(aligne avec le champ)
- Force :
∂
≈ ⋅
∂
x
E
F p
x
(idem en y et z)
Si le champ extérieur
E
est uniforme, alors pas de force subie, il ne fait que s’aligner
Energie potentielle :
≈ − ⋅
P
E p E
Analogie Electrostatique / Gravitation
Analogie Electrostatique / GravitationAnalogie Electrostatique / Gravitation
Analogie Electrostatique / Gravitation :
::
:
Analogie :
πε
⇔ ⇔ − ⇔
0
1
4
q m G E G
Capacité :
ε
=
0
S
C
e
Théorème de Gauss pour la Gravitation :
π ⋅ = −
∫∫
int
4
G d S G M