Résumé de Cours - EM1 - Electrostatique - MI

Résumé de Cours – EM1
EM 1 - Electrostatique
Electro statique – 1/2
1/ 2
Distribution de Charges
Charges :
ρ =
Densité volumique / surfacique de charges :
dq
dτ
en C.m-3
et
σ =
dq
dS
en C.m-2
Mise en évidence du Champ Electrique :
Définition :
Une distribution de charges produit une modification des propriétés de l’espace que l’on appelle
E . On ne peut le caractériser que par son action.
Action sur une particule chargée :
Force de Lorentz
F = q ⋅E
1 q 1 q 2 Loi de Coulomb entre charges :
Loi de Coulomb
F =
⋅ u1→ 2
4 πε 0 r 2
champ électrique
Expressions du champ électrostatique :
Expression :
d E (M ) =
Avec
Remarque :
dq 1 ρ dτ ⋅u =
⋅u
2
4 πε 0 r
4 πε 0 r 2
1
1
4 πε 0
à intégrer…
= 9 ⋅ 10 9 u SI la permittivité du vide
B (comme E ) n’est pas défini en un point d’une distribution linéique.
Expressions du POTENTIEL électrostatique :
Expression :
d V( M ) =
1
4 πε 0
⋅
dq
1
ρ dτ
=
⋅
r
r
4 πε 0
à intégrer…
Symétries du champ magnétique :
Le champ E possède les mêmes symétries que les charges qui lui donnent naissance
Plan de Symétrie :
Plan d’Antisymétrie :
Axe de Symétrie de Révolution :
Symétrie cylindrique infinie :
C =
B)
E = E z (z )⋅uz
∫
(C )
E = E r (r ) ⋅ ur
E ⋅ dl
C =
∫ ( C ) E ⋅ d l = − ∆ V


 E = − g r a d (V )
Travail et Energie Potentielle :
Distribution invariante par translation selon Oz et rotation autour de Oz
Le champ sera radial :
Circulation du champ électrique :
(dE )
Le champ ne dépend pas de θ : E ( r , z )
En un point de l’axe, alors :
Relation :
( )
P ' = sym π ( P ) ⇔ ρ ' = ρ
⇔ dE = sym π d E
E ∈ π sym
(contenu dans les plans de symétrie, l’inverse de B )
P ' = sym π * ( P )
⇔ ρ ' = −ρ
⇔ dE ' = − sym π *
E ⊥ π an tisym
(orthogonal au plan d’antisymétrie, l’inverse de
Circulation NON conservative / INDEPENDANT
du chemin
Déf du gradient : Fct tq d V = g ra d (V ) ⋅ d l
δ W = F ⋅ d l = q E ⋅ dl = − q ⋅ dV
On peut définir une énergie potentielle :
⇒ W AB = q (V A − VB )
 E P = qV
⇒ W AB = − ∆ E P

 F = − grad ( E P )
Résumé de Cours – EM1
EM 1 - Electrostatique – 2/2
2/ 2
Flux du Champ magnétique :
Φ =
Théorème de Gauss :
∫∫
S
Q
E ⋅ d S = in t
NON conservation du flux
ε0
Conséquences :
- Fluc CONSERVATIF dans une région vide de charges
- Un extremum de potentiel en un point suppose une charge en ce point
-
Discontinuité du Champ électrique à la traversée d’une surface :
σ ∆ E 1→ 2 =
⋅ n1 → 2
ε0
Application du Théorème de Gauss :
Capacité :
Comme le théorème de Gauss :
- Analyse des invariances et des symétries
- Choix du contour fermé de Gauss
- Application du Théorème
Exemples usuels :
- Plan Infini :
E (z ) = ±
- Sphère (ext) :
E (r ) =
σ ⋅u
2ε 0 z
C =
e
λ ⋅u
2π r ε 0 r
- Fil Infini :
E=
- Sphère (int) :
E (r ) =
ρ R 3 ⋅u r
3ε 0 r 2
ε0S
ρ r ⋅u
3ε 0 r
Extension aux cas variable : Equations de Maxwell
Liées au Champ B :

 d iv
  ro t

( E ) = ερ
(E ) = 0
∫∫
⇒ Φ =
0
⇒ C =
Potentiel scalaire :
E = − grad (V )
Equation de Poisson :
∆V +
∫
(en V )
Q
E ⋅ d S = in t
M a x w e ll G a u ss
B ⋅ dl = 0
M a x w e ll F a ra d a y
S
(C )
ε0
⇒ ∫ E ⋅ dl = −∆ V
ρ
=0
ε0
ue ( M ) =
Densité volumique d’énergie électrique :
ε0
2
E 2 (M )
en J.m-3
Dipôle électrique :
Définition :
Potentiel en 1/r2 :
Champ crée en 1/r3 :
Actions subies :
Energie potentielle :
p = q ⋅ AB
q ⋅ l cos θ
p ⋅ ur
V( r ,θ ) =
=
4 πε 0 r 2
4πε 0 r 2
p
E (M ) =
2 cos θ ⋅ u r + sinθ ⋅ uθ
3
4πε 0 r
Dans un champ E
- Couple :
Γ = p∧B
(aligne avec le champ)
∂E
- Force :
(idem en y et z)
Fx ≈ p ⋅
∂x
Si le champ extérieur E est uniforme, alors pas de force subie, il ne fait que s’aligner
EP ≈ − p ⋅ E
(
)
Analogie Electrostatique / Gravitation :
Analogie : q ⇔ m
1
4 πε 0
⇔ −G
E ⇔ G
Théorème de Gauss pour la Gravitation :
∫∫
G ⋅ d S = − 4 π G M in t