كــليـــــة العــلـــــــوم والتـقـنـيـــات مــــــراكـش FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES MARRAKECH Devoir Surveillé N°1 Module Electricité MIP/MIPC 2019 Exercice 1 Soit un cylindre de rayon R, de longueur infinie, chargé uniformément avec une densité volumique ( 0) . On désire déterminer le champ électrique en tout point M de l’espace, crée par cette distribution. M est un point de l’espace repéré par ces coordonnées ( r , , z ). z 1) En utilisant la symétrie et les invariances, déterminer la direction de E (M ) et les variables dont il dépend. A) Calcul du champ électrique : 2) Calcul de E par la le théorème de Gauss : forme intégrale. a) Faire un schéma de la surface de Gauss que vous utilisez et représenter le champ E et le vecteur dS sur toutes les surfaces. b) Déterminer le champ E en tout point de l’espace (r < R et r > R) (le champ électrique à une valeur finie en r = 0). 3) Calcul de E par le théorème de Gauss : forme locale. c) Rappeler la forme locale du théorème de Gauss. d) Déduire le champ E en tout point (r < R et r > R) en utilisant la forme locale du théorème de Gauss. B) Calcul du Potentiel électrique : 1) En utilisant l’expression du champ électrique, déterminer l’expression du potentiel en tout point de l’espace (On prendra V=0 pour r = 0). 2) Montrer que l’équation de Laplace est vérifiée On donne : div E 1 (rE r ) 1 ( E ) ( E z ) r r r z V 1 V 1 2V 2V (r ) 2 r r r r 2 z 2 Exercice 2 Soit un demi-cercle de rayon R, chargé uniformément avec une densité linéique ( 0) (figure 1). Partie I y t u Figure 1 O Pr. L. Hajji x 1) En utilisant la symétrie, donner la direction du champ E crée par ce demi-cercle : au centre O du demi-cercle. En un point M quelconque de l’axe Ox 2) a) Donner l’expression de la charge élémentaire dq du demi-cercle en fonction de R, et . b) Donner l’expression du champ d E crée par cette charge dq au point O (Faire un schéma et représenter d E sur la figure 1) c) Déterminer l’expression du champ total crée par le demi-cercle au point O et vérifier que son module est donné par E 20 R Partie II On place maintenant une charge positive q au point O et une autre charge positive q’ au point M tel que OM = R (figure2). y Figure 2 O(q) x M(q’) 3) Représenter sur la figure 2 les forces qui s’exercent sur q. 4) Déterminer l’expression de la résultante de ces forces. 5) Pour quelle valeur de q’, la charge q est en équilibre. (on exprimera le résultat en fonction de R et ) Partie III On considère maintenant deux demi-cercles de rayons respectivement R et 2R qui portent la même densité de charge et ont le même centre O (figure 3). En utilisant le théorème de superposition, déduire le champ total crée par les deux demi-cercles au point O. y x 2R Figure 3 O Pr. L. Hajji R x