ds1-2019

Pr. L. Hajji
Devoir Surveillé N°1 Module Electricité MIP/MIPC 2019
Exercice 1
Soit un cylindre de rayon R, de longueur infinie, chargé uniformément avec une densité volumique
)0( 
. On désire déterminer le champ électrique en tout point M de l’espace, crée par cette
distribution. M est un point de l’espace repéré par ces coordonnées
).,,( zr
1) En utilisant la symétrie et les invariances, déterminer la direction de
)(ME
et les variables dont il
dépend.
A) Calcul du champ électrique :
2) Calcul de E par la le théorème de Gauss : forme intégrale.
a) Faire un schéma de la surface de Gauss que vous utilisez et représenter le champ
E
et le
vecteur
dS
sur toutes les surfaces.
b) Déterminer le champ E en tout point de l’espace (r < R et r > R) (le champ électrique à
une valeur finie en r = 0).
3) Calcul de E par le théorème de Gauss : forme locale.
c) Rappeler la forme locale du théorème de Gauss.
d) Déduire le champ E en tout point (r < R et r > R) en utilisant la forme locale du théorème
de Gauss.
B) Calcul du Potentiel électrique :
1) En utilisant l’expression du champ électrique, déterminer l’expression du potentiel en tout
point de l’espace (On prendra V=0 pour r = 0).
2) Montrer que l’équation de Laplace est vérifiée
On donne :
)()(
1
)(
1zr E
z
E
r
rE
rr
Ediv 
2
2
2
2
2
1
)(
1zVV
r
r
V
r
rr
V
Exercice 2
Soit un demi-cercle de rayon R, chargé uniformément avec une densité linéique
)0( 
(figure 1).
Partie I
Figure 1
z
FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES
MARRAKECH
O
x
y
t
u

Pr. L. Hajji
1) En utilisant la symétrie, donner la direction du champ
E
crée par ce demi-cercle :
 au centre O du demi-cercle.
 En un point M quelconque de l’axe Ox
2) a) Donner l’expression de la charge élémentaire dq du demi-cercle en fonction de R, et .
b) Donner l’expression du champ
Ed
crée par cette charge dq au point O (Faire un schéma et
représenter
Ed
sur la figure 1)
c) Déterminer l’expression du champ total crée par le demi-cercle au point O et vérifier que son
module est donné par
R
E
0
2
Partie II
On place maintenant une charge positive q au point O et une autre charge positive q’ au point M tel
que OM = R (figure2).
Figure 2
3) Représenter sur la figure 2 les forces qui s’exercent sur q.
4) Déterminer l’expression de la résultante de ces forces.
5) Pour quelle valeur de q’, la charge q est en équilibre. (on exprimera le résultat en fonction de R et
)
Partie III
On considère maintenant deux demi-cercles de rayons respectivement R et 2R qui portent la même
densité de charge et ont le même centre O (figure 3).
En utilisant le théorème de superposition, déduire le champ total crée par les deux demi-cercles au
point O.
Figure 3
O(q)
x
y
M(q’)
O
R
2R
y
x
x