Examen de septembre 2011

ANNEE ACADEMIQUE/ACADEMIC YEAR : 2010-2011
DEPARTEMENT/DEPARTMENT : N/A CLASSE/CLASS : Meng I
COMPOSITION DE FIN DE SEMESTRE/END OF SEMESTER EXAMINATION : 2ème Semestre
EPREUVE/COURSE TITLE : Principes d'Algèbre Linéaire et Géométrie CODE/CODE : MAT112
DATE/DATE : septembre 2011 DUREE/DURATION : 3 heures
EXAMINATEUR/EXAMINER : prof. Andrea D'Agnolo et Marco A. Garuti
INSTRUCTIONS/INSTRUCTIONS : Pas de livres, notes ni calculatrices. Toute communication entre les candidats est interdite.
ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DES
TRAVAUX PUBLICS
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NATIONAL ADVANCED SCHOOL
OF PUBLIC WORKS
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MASTERS IN ENGINEERING (BAC + 5 ans)
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1. Questions ouvertes
R´ediger sur la feuille de composition les r´eponses d´etaill´ees aux questions suivantes.
Question 1.1. D´emontrer que si Eest un espace vectoriel de dimension n, alors toute
famille de vecteurs (v1, . . . , vk) avec k > n est li´ee.
D´emonstration. Voir page 25 du texte. 
Question 1.2. D´emontrer que le rang d’une matrice Aest le plus grand entier ktel que
l’on puisse extraire de Aune sous-matrice carr´ee d’ordre ket de d´eterminant non nul.
D´emonstration. Voir page 142 du texte. 
Question 1.3. Soit ϕ:E→Eun endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension
finie E. Montrer que ϕest sym´etrique si et seulement si la matrice de ϕdans toute base
othonormale est sym´etrique.
D´emonstration. Voir proposition 8.6.3 du texte. 

2. Questions ferm´ ees
Les lettres A,B,Cou Dcorrespondantes aux r´eponses correctes doivent obligatoirement
ˆetre transcrites dans la Grille des r´ eponses au bas de page 5. (On ne demande pas
de d´etailler les raisonnements.)
Question 2.1. Soit v1= (1,2,3,4), v2= (2,2,2,6), v3= (0,2,4,4), v4= (1,0,−1,2),
v5= (2,3,0,1). Consid´erons les espaces engendr´es S=hv1, v2, v3iet T=hv4, v5i. On a
Adim(S∩T) = 2 et dim(S+T) = 3 ;
B•dim(S∩T) = 1 et dim(S+T) = 4 ;
Cdim(S∩T) = 1 et dim(S+T) = 3 ;
Ddim(S∩T) = 2 et dim(S+T) = 4.
D´emonstration. Un vecteur w∈S∩Tpeut s’´ecrire sous la forme w=c1v1+c2v2+c3v3=
c4v4+c5v5. On obtient c1= 2c4,c2=−1
2c4,c3=3 2c4et c=0, d’o`u dim(S∩T) = 1. Vu
que les vecteurs v1, v2, v3, v5sont libres, on a dim(S+T) = 4. 
Question 2.2. Soit v1, . . . , vkune famille de vecteurs dans un espace vectoriel euclidien
E, et soit S=hv1, . . . , vkile sous-espace engendr´e. Si w∈E, la relation projSw=
projv1w+··· + projvkwest
A•vraie seulement sous certaines hypoth`eses,
Bvraie uniquement si west le vecteur nul,
Ctoujours vraie,
Dtoujours fausse.
Question 2.3. Soit a∈R. Sous quelle condition le syst`eme suivant admet une infinit´e
de solutions ? 
x1+ (a−1)x2+ (2 −a)x3=a+ 5
x1+ax2+ 2x3= 4
x1+ (a−2)x2+ (2 −2a2)x3= 6
A•a= 0 ;
Ba≥0 ;
Ca= 1 ;
Da= 0 ou a= 1.
D´emonstration. Par op´erations ´el´ementaires on a
1a−1 2 −a a + 5
1a2 4
1a−2 2 −2a26
7→ 
1a2 4
0 1 a−a−1
0 0 2(a−a2)−2a
Il faut alors a= 0 pour que le rang de la matrice augment´ee soit 3, et que celui de la
matrice des coefficients soit 2. 
Question 2.4. Calculer l’inverse A−1de A=
1 2 1
1 3 0
1 2 2
. La diagonale de A−1est
A(1,1,6) ;
B(1,6,1) ;
2

C(1,−6,1) ;
D•(6,1,1).
D´emonstration. En r´eduisant par example la matrice augment´ee (A|I) `a la forme ´echelonn´ee
simplifi´ee on obtient A−1=
6−2−3
−2 1 1
−1 0 1
.
Question 2.5. Calculer le d´eterminant
2 3 4 −1 2
2 3 4 −1 1
2 3 4 1 1
2 3 1 1 1
2 2 −1 2 −1
A12 ;
B24 ;
C• −12 ;
D0 ;
D´emonstration. On a
2 3 4 −1 2
2 3 4 −1 1
2 3 4 1 1
2 3 1 1 1
2 2 −1 2 −1
=
0 0 0 0 1
2 3 4 −1 1
2 3 4 1 1
2 3 1 1 1
2 2 −1 2 −1
=
2 3 4 −1
2 3 4 1
2 3 1 1
2 2 −1 2
=
0 0 0 −2
2 3 4 1
2 3 1 1
2 2 −1 2
= 2 
2 3 4
2 3 1
2 2 −1
= 2 
0 0 3
2 3 1
2 2 −1
= 6 
2 3
2 2
=−12
Question 2.6. Sot σ:R3→R3la sym´etrie d’axe S=<(1,2,3),(4,−5,6) >par rapport
`a T=<(1,0,2) >. La premi`ere ligne de la matrice de σdans la base canonique de R3
est :
A(−29,−12,78) ;
B•(−29,−60,−20) ;
C(1,0,0) ;
D(−1,0,0) ;
D´emonstration. Appelons Bla base {(1,2,3),(4,−5,6),(1,0,2)}et H=A(idR3,B,E3)la
matrice de changement de base. Alors la matrice de σdans la base canonique de R3est :
A(σ,E3)=H−1A(σ,B)H=
−10 −2 5
−4−1 2
27 6 −13
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
141
2−5 0
362
= −29 −60 −20
−12 −23 −8
78 156 53
.
3

Question 2.7. Soit aun nombre r´eel et f:R3→R2une fonction lin´eaire satisfaisante
les conditions suivantes :
f(1,2,1) = (1, a); f(1,3,0) = (1, a2); f(1,2,2) = (1, a3); f(0,0,1) = (0,0).
Ail y a exactement une valeur de a∈Rtelle que la fonction existe ;
Bil y a exactement deux valeurs de a∈Rtelles que la fonction existe ;
C•il y a exactement trois valeurs de a∈Rtelles que la fonction existe ;
Dla fonction existe pour toute valeur de a∈R.
D´emonstration. Un calcul facile (voir par ex. la question 2.4) montre que les vecteurs
(1,2,1), (1,3,0) et (1,2,2) sont libres : pour tout a∈Ril existe une unique fonction
lin´eaire satisfaisante les trois premi`eres conditions. Puisque (0,0,1) = (1,2,2) −(1,2,1),
la lin´earit´e implique que f(0,0,1) = f(1,2,2) −f(1,2,1) = (1, a3)−(1, a) = (0, a3−a).
La derni`ere condition impose donc a3−a= 0, et cette ´equation admet les trois solutions
a= 0,±1
Question 2.8. Dans le plan euclidien, consid´erons les points A= (1,1), B= (1,−1),
C= (−1−1), D(−1,1) et l’origine O= (0,0). Soit Φ une isom´etrie qui envoie le carr´e
ABCD sur soi-mˆeme et le triangle OAB sur soi-mˆeme. Laquelle parmi les affirmations
suivantes est fausse ?
A•Φ est unique ;
BΦ a au moins un point fixe ;
CΦ a au moins une droite fixe ;
DΦ est une sym´etrie.
D´emonstration. Φ permute les sommets du carr´e ABCD et ceux du triagle OAB. Puisque
l’origine n’est pas un sommet du carr´e, Φ(O) ne peut ˆetre ni Ani B, donc Φ(O) = O.
De plus Φ(A)∈ {A, B}. Si Φ(A) = Ail suit que Φ(B) = B: dans ce cas Φ fixe trois
points et donc est l’identit´e. Au contraire, si Φ(A) = Bil suit que Φ(B) = Aet on voit
facilement qu’il s’agit de la sym´etrie d’axe la droite y= 0. 
Question 2.9. Dans l’espace vectoriel des matrices de type 3×3, soit Xle sous-ensemble
de toutes les matrices sym´etriques admettant les espaces propres S(0) =<(1,−1,1) >,
S(1) =<(0,1,1) >et S(−1) =<(0,1,−1) >.
AXa un seul ´el´ement ;
BXest un sous-espace de dimension 1 ;
CXest une variet´e lin´eaire de dimension 1 ;
D•Xest vide.
D´emonstration. Puisque S(0) et S(−1) ne sont pas orthogonaux, il n’y a aucune matrice
sym´etrique satisfaisante les conditions donn´ees. 
Question 2.10. Soit M=
032
0−1 1
0−1 1
et soit Pune matrice telle que P−1MP est une
matrice de Jordan. Lequel parmi les vecteurs suivants peut ˆetre la troisi`eme colonne de
la matrice P?
4

A(1,0,0) ;
B(0,1,1) ;
C•(1,2,3) ;
D(1,1,1)
D´emonstration. Le polynˆome caract´eristique de Mest t3et l’espace propre de valeur
propre 0 est S(0) = ker(M) =<(1,0,0) >. La forme de Jordan de Ma donc un seul
bloc. La troisi`eme colonne de Pest un vecteur de R3= ker M3n’appartenant pas `a
ker M2= ker 
0−1 1
000
000
=<(1,0,0),(0,1,1) > .
Question 2.11. Dire pour quelles valeurs de b∈Rle nombre complexe 1+ib
2+3iest de valeur
absolue √5.
Ab=±2 ;
Bb=±4 ;
C•b=±8 ;
Dpour aucune valeur de b.
D´emonstration. 
1+ib
2+3i
2=1+b2
4+9 . Il faut alors que 1+b2 13 = 5, donc b2= 65 −1 = 64. 
Grille des r´ eponses
question 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11
r´eponse
5