Examen de septembre 2011

NATIONAL ADVANCED SCHOOL
OF PUBLIC WORKS
--------MASTERS IN ENGINEERING (BAC + 5 ans)
----------
ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DES
TRAVAUX PUBLICS
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ANNEE ACADEMIQUE/ACADEMIC YEAR : 2010-2011
DEPARTEMENT/DEPARTMENT : N/A
CLASSE/CLASS : Meng I
COMPOSITION DE FIN DE SEMESTRE/END OF SEMESTER EXAMINATION : 2ème Semestre
EPREUVE/COURSE TITLE : Principes d'Algèbre Linéaire et Géométrie
CODE/CODE : MAT112
DATE/DATE : septembre 2011
DUREE/DURATION : 3 heures
EXAMINATEUR/EXAMINER : prof. Andrea D'Agnolo et Marco A. Garuti
INSTRUCTIONS/INSTRUCTIONS : Pas de livres, notes ni calculatrices. Toute communication entre les candidats est interdite.
1. Questions ouvertes
Rédiger sur la feuille de composition les réponses détaillées aux questions suivantes.
Question 1.1. Démontrer que si E est un espace vectoriel de dimension n, alors toute
famille de vecteurs (v1 , . . . , vk ) avec k > n est liée.
Démonstration. Voir page 25 du texte.
Question 1.2. Démontrer que le rang d’une matrice A est le plus grand entier k tel que
l’on puisse extraire de A une sous-matrice carrée d’ordre k et de déterminant non nul.
Démonstration. Voir page 142 du texte.
Question 1.3. Soit ϕ : E → E un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension
finie E . Montrer que ϕ est symétrique si et seulement si la matrice de ϕ dans toute base
othonormale est symétrique.
Démonstration. Voir proposition 8.6.3 du texte.
2. Questions fermées
Les lettres A, B, C ou D correspondantes aux réponses correctes doivent obligatoirement
être transcrites dans la Grille des réponses au bas de page 5. (On ne demande pas
de détailler les raisonnements.)
Question 2.1. Soit v1 = (1, 2, 3, 4), v2 = (2, 2, 2, 6), v3 = (0, 2, 4, 4), v4 = (1, 0, −1, 2),
v5 = (2, 3, 0, 1). Considérons les espaces engendrés S = hv1 , v2 , v3 i et T = hv4 , v5 i. On a
A dim(S ∩ T ) = 2 et dim(S + T ) = 3 ;
B
• dim(S ∩ T ) = 1 et dim(S + T ) = 4 ;
C dim(S ∩ T ) = 1 et dim(S + T ) = 3 ;
D dim(S ∩ T ) = 2 et dim(S + T ) = 4.
Démonstration. Un vecteur w ∈ S ∩ T peut s’écrire sous la forme w = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 =
c4 v4 + c5 v5 . On obtient c1 = 2c4 , c2 = − 12 c4 , c3 = 32 c4 et c= 0, d’où dim(S ∩ T ) = 1. Vu
que les vecteurs v1 , v2 , v3 , v5 sont libres, on a dim(S + T ) = 4.
Question 2.2. Soit v1 , . . . , vk une famille de vecteurs dans un espace vectoriel euclidien
E, et soit S = hv1 , . . . , vk i le sous-espace engendré. Si w ∈ E, la relation projS w =
projv1 w + · · · + projvk w est
A
• vraie seulement sous certaines hypothèses,
B vraie uniquement si w est le vecteur nul,
C toujours vraie,
D toujours fausse.
Question 2.3. Soit a ∈ R. Sous quelle condition le système suivant admet une infinité
de solutions ?


x1 + (a − 1)x2 + (2 − a)x3 = a + 5
x1 + ax2 + 2x3 = 4

x + (a − 2)x + (2 − 2a2 )x = 6
1
2
3
A
• a = 0;
B a ≥ 0;
C a = 1;
D a = 0 ou a = 1.
Démonstration. Par opérations élémentaires on a




1 a−1 2−a a+5
1 a
2
4
1
a
2
4  7→ 0 1
a
−a − 1
2
2
1 a − 2 2 − 2a
6
0 0 2(a − a ) −2a
Il faut alors a = 0 pour que le rang de la matrice

matrice des coefficients soit 2.
1
Question 2.4. Calculer l’inverse A−1 de A = 1
1
A (1, 1, 6) ;
B (1, 6, 1) ;
2
augmentée soit 3, et que celui de la

2 1
3 0. La diagonale de A−1 est
2 2
C (1, −6, 1) ;
D
• (6, 1, 1).
Démonstration. En réduisantpar example lamatrice augmentée (A|I) à la forme échelonnée
6 −2 −3
−1

1 .
simplifiée on obtient A = −2 1
−1 0
1
Question 2.5. Calculer le déterminant
2 3
2 3
2 3
2 3
2 2
4 −1 2 4 −1 1 4
1
1 1
1
1 −1 2 −1
A 12 ;
B 24 ;
C
• −12 ;
D 0;
Démonstration.
On a 2 3 4 −1 2 0 0 0
0
1
2 3 4 −1 1 2 3 4 −1 1 2
2
2 3 4
1
1 = 1
1 = 2 3 4
2
2 3 1
1
1 1
1 2 3 1
2
2 2 −1 2 −1 2 2 −1 2 −1
0 0 0 −2
2 3
2 3 4
1
= 2 2 3
= 1
2 2
2 3 1
2 2 −1 2 3 4 −1
3 4
1 3 1
1 2 −1 2 0 0 3 4 2 3 = −12
1 = 2 2 3 1 = 6 2 2
2 2 −1
−1
Question 2.6. Sot σ : R3 → R3 la symétrie d’axe S =< (1, 2, 3), (4, −5, 6) > par rapport
à T =< (1, 0, 2) >. La première ligne de la matrice de σ dans la base canonique de R3
est :
A (−29, −12, 78) ;
B
• (−29, −60, −20) ;
C (1, 0, 0) ;
D (−1, 0, 0) ;
Démonstration. Appelons B la base {(1, 2, 3), (4, −5, 6), (1, 0, 2)} et H = A(idR3 ,B,E3 ) la
matrice de changement de base. Alors la matrice de σ dans la base canonique de R3 est :



 

−10 −2 5
1 0 0
1 4 1
−29 −60 −20
A(σ,E3 ) = H −1 A(σ,B) H =  −4 −1 2  0 1 0  2 −5 0 = −12 −23 −8  .
27
6 −13
0 0 −1
3 6 2
78 156 53
3
Question 2.7. Soit a un nombre réel et f : R3 → R2 une fonction linéaire satisfaisante
les conditions suivantes :
f (1, 2, 1) = (1, a);
f (1, 3, 0) = (1, a2 );
f (1, 2, 2) = (1, a3 );
f (0, 0, 1) = (0, 0).
A il y a exactement une valeur de a ∈ R telle que la fonction existe ;
B il y a exactement deux valeurs de a ∈ R telles que la fonction existe ;
• il y a exactement trois valeurs de a ∈ R telles que la fonction existe ;
C
D la fonction existe pour toute valeur de a ∈ R.
Démonstration. Un calcul facile (voir par ex. la question 2.4) montre que les vecteurs
(1, 2, 1), (1, 3, 0) et (1, 2, 2) sont libres : pour tout a ∈ R il existe une unique fonction
linéaire satisfaisante les trois premières conditions. Puisque (0, 0, 1) = (1, 2, 2) − (1, 2, 1),
la linéarité implique que f (0, 0, 1) = f (1, 2, 2) − f (1, 2, 1) = (1, a3 ) − (1, a) = (0, a3 − a).
La dernière condition impose donc a3 − a = 0, et cette équation admet les trois solutions
a = 0, ±1
Question 2.8. Dans le plan euclidien, considérons les points A = (1, 1), B = (1, −1),
C = (−1 − 1), D(−1, 1) et l’origine O = (0, 0). Soit Φ une isométrie qui envoie le carré
ABCD sur soi-même et le triangle OAB sur soi-même. Laquelle parmi les affirmations
suivantes est fausse ?
A
• Φ est unique ;
B Φ a au moins un point fixe ;
C Φ a au moins une droite fixe ;
D Φ est une symétrie.
Démonstration. Φ permute les sommets du carré ABCD et ceux du triagle OAB. Puisque
l’origine n’est pas un sommet du carré, Φ(O) ne peut être ni A ni B, donc Φ(O) = O.
De plus Φ(A) ∈ {A, B}. Si Φ(A) = A il suit que Φ(B) = B : dans ce cas Φ fixe trois
points et donc est l’identité. Au contraire, si Φ(A) = B il suit que Φ(B) = A et on voit
facilement qu’il s’agit de la symétrie d’axe la droite y = 0.
Question 2.9. Dans l’espace vectoriel des matrices de type 3×3, soit X le sous-ensemble
de toutes les matrices symétriques admettant les espaces propres S(0) =< (1, −1, 1) >,
S(1) =< (0, 1, 1) > et S(−1) =< (0, 1, −1) >.
A X a un seul élément ;
B X est un sous-espace de dimension 1 ;
C X est une varieté linéaire de dimension 1 ;
D
• X est vide.
Démonstration. Puisque S(0) et S(−1) ne sont pas orthogonaux, il n’y a aucune matrice
symétrique satisfaisante les conditions données.

0 3

Question 2.10. Soit M = 0 −1
0 −1
matrice de Jordan. Lequel parmi les
la matrice P ?

2
1 et soit P une matrice telle que P −1 M P est une
1
vecteurs suivants peut être la troisième colonne de
4
A (1, 0, 0) ;
B (0, 1, 1) ;
C
• (1, 2, 3) ;
D (1, 1, 1)
Démonstration. Le polynôme caractéristique de M est t3 et l’espace propre de valeur
propre 0 est S(0) = ker(M ) =< (1, 0, 0) >. La forme de Jordan de M a donc un seul
bloc. La troisième colonne de P est un vecteur de R3 = ker M 3 n’appartenant pas à


0 −1 1
ker M 2 = ker 0 0 0 =< (1, 0, 0), (0, 1, 1) > .
0 0 0
Question 2.11. Dire pour quelles valeurs de b ∈ R le nombre complexe
√
absolue 5.
1+ib
2+3i
est de valeur
A b = ±2 ;
B b = ±4 ;
C
• b = ±8 ;
D pour aucune valeur de b.
1+ib 2 1+b2
=
. Il faut alors que
Démonstration. 2+3i
4+9
1+b2
13
= 5, donc b2 = 65 − 1 = 64.
Grille des réponses
question
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
réponse
5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11