TD 1 : Espaces vectoriels et matrices

Université de Rouen
L3-Mathématiques
2012–2013
Analyse numérique
I. DANAILA
[email protected]
TD 1 : Espaces vectoriels et matrices
Rappels sur les espaces vectoriels :
Espace vectoriel sur IR
Espace métrique
Espace normé
E pré-hilbertien
(*)
E de Hilbert
(**)
Espace de Banach
Principales définitions : • Soit E un espace vectoriel sur
IR. On définit (∀x, y, z, w ∈ E et α, β, µ, λ ∈ IR) :
distance d(x, y) : E 2 → IR+ norme ||.|| : E → IR+
d(x, y) ≥ 0
||x|| ≥ 0
d(x, y) = 0 ⇔ x = y
||x|| = 0 ⇔ x = 0
d(x, y) = d(y, x)
||λx|| = |λ| ||x||
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||
produit scalaire < ., . >: E 2 → IR
< αx + βy, µz + λw > = αµ < x, z > +αλ < x, w >
+βµ < y, z > +βλ < y, w >
< x, y >=< y, x >
< x, x >≥ 0;
< x, x >= 0 ⇔ x = 0
• E. de Hilbert = E. pré-hilbertien + complet
• E. de Banach = E. normé + complet
Justification :
√
< x, y > produit scalaire → ||x|| = < x, x > norme → d(x, y) = ||x − y|| distance.
(*) Exemple d’espace pré-hilbertien qui n’est pas un espace de Hilbert : l’espace des polynômes
P (x) de degré quelconque.
(**) Exemple d’espace de Banach qui n’est pas pré-hilbertien : IR avec la norme ||x|| = |x|.
Résultats sur les espaces vectoriels de dimension finie / applications linéaires :
Soient E, F espaces vectoriels de dimension finie sur le corps K (IR ou C) et L(E, F ) l’ensemble
des applications linéaires U : E → F
(v1) Si n=dim(E), E est isomorphe avec K n et toutes les bases ont le même cardinal.
(v2) E, F de même dimension ⇐⇒ E, F isomorphes.
(v3) Si U ∈ L(E, F ) =⇒ dim(Im(U))+dim(Ker(U))=dim(E), avec
Im(U)={y∈ F | ∃ x∈ E, U(x)=y}
Ker(U)={x∈ E | U(x)=0}
(v4) Si U ∈ L(E) :
U bijectif ⇐⇒ U injectif ⇐⇒ U surjectif ⇐⇒ ∃V tq U V = IE ou V U = IE
(v5) Soit E∗ =L(E, K) le dual de E =⇒ dim(E∗ )=dim(E),
(v6) G sous-espace vectoriel (s.e.v) =⇒ dim(G)+dim(G⊥ )=dim(E)
(v7) Pour U ∈ L(E, F ) il existe une unique application transposée U t ∈ L(F ∗ , E ∗ ) tq
U t (y), x E ∗ ,E = (y, U (x))F ∗ ,F
(v7.1) dim(Im U)=dim(Im Ut )=rang de U
(v7.2) Ker(Ut )=(Im U)⊥
(v7.3) (Ker U)⊥ =Im Ut
1
Résultats sur les espaces pré-hilbertiens de dimension finie :
E espace vectoriel de dimension finie sur IR, muni du produit scalaire < ., . >
(ph1) ∀ une famille libre, il existe une base orthonormale unique associée (Gram-Schmidt).
(ph2) E est un espace de Hilbert (isomorphe avec IRn , n=dim(E)).
(ph3) F s.e.v de E =⇒ E=F ⊕ F⊥ , ou F⊥ = {y ∈ E| < x, y >= 0, ∀x ∈ F }
(ph4) On peut identifier E à E∗ (Riesz)
∀f ∈E∗ , ∃ un unique y ∈ E tq (f, x)E ∗ ,E =< y, x >, ∀x ∈ E
(ph5) Pour U ∈ L(E) il existe une unique application adjointe U ∗ tq
< U (x), y >=< x, U ∗ (y) >, ∀x, y ∈ E
(ph6) Inégalité de Cauchy-Schwartz
| < x, y > | ≤ kxkkyk
NB Ces résultats sont également valables pour E espace pré-hilbertien complexe, à condition de
remplacer le produit scalaire par un produit hermitien.
Représentation matricielle :
Mn (C) l’ensemble des matrices carrées (n × n) complexes.
(Uij )i,j=1···n caractérise complètement l’application linéaire U ∈ L(E, F ), où E, F sont deux
espaces vectoriels de dimension n sur C
!
n
n
n X
n
X
X
X
∀x ∈ E, U (x) = U
xi ei =
xi U (ei ) =
xi Uij fj
i=1
i=1
i=1 j=1
(ei ) base de E, (fj ) base de F, (Uij ) coord de U (ei ) dans la base (fj )
2
(rM1) (Mn (C), +, ·) est un espace vectoriel isomorphe à Cn (· = multiplication par un scalaire).
(rM2) (Mn (C), +, ×) est un anneau non commutatif (× = multiplication matricielle).
(rM3) Les matrices inversibles forment un groupe pour la multiplication matricielle(×).
0
(rM4) P matrice inversible ≡ matrice de changement de base de B en B , et
M atB 0 (U ) = P −1 M atB (U ) P
(rM5) (matrice adjointe) A∗ = At (pour C) et A∗ = At (pour IR)
(rM6) A matrice de changement de base orthonormale ⇐⇒ A unitaire (A−1 = A∗ ).
(rM7) (définitions) A normale (AA∗ = A∗ A) ; A hermitienne (A = A∗ ) ; A unitaire (A−1 = A∗ ).
(rM7) A inversible ⇐⇒ det(A) 6= 0.
det(AB)=det(BA)=det(A) det(B) ;
det(At )=det(A)
Exercice 1 .
Démontrer le résultat (v7.2) :
Si U ∈ L(E, F ) =⇒ Ker(Ut )=(Im U)⊥
Exercice 2 .
Calculer le noyau et l’image des applications linéaires suivantes :
1.
f : IR3 7→ IR3
(x, y, z) 7→ f (x, y, z) = (x, y, 0)
2
2.
3.
f : IR2 7→ IR3
(x, y) 7→ f (x, y, z) = (x − y, x + y, x + 2y)
3
f : IR 7→ IR
(x, y, z) 7→ f (x, y, z) = x − 3y + 2z
Exercice 3 .
Normes de vecteurs. Soit x ∈ Cn .
1. Trouver les plus petites constantes ci telles que
||x||1 ≤ c1 ||x||2 , ||x||1 ≤ c2 ||x||∞ ,
||x||2 ≤ c3 ||x||1 , ||x||2 ≤ c4 ||x||∞ ,
||x||∞ ≤ c5 ||x||1 , ||x||∞ ≤ c6 ||x||2 .
2. Montrer que lim ||x||p = ||x||∞ ,
p→∞
∀x ∈ Cn .
∀x ∈ Cn ,
3. Montrer l’inégalité (de Jensen) ||x||q ≤ ||x||p
4. Montrer que l’application x 7→ ||x||p =
n
X
p
| xi |
1/p
1 ≤ p < q.
n’est pas une norme sur Cn lorsque
i=1
0 < p < 1 et n ≥ 2. (On montrera que l’inégalité triangulaire n’est pas vérifiée)
Exercice 4 .
Soit la matrice A définie par

1
A= 3
−1

2
4.
4
Pour p ≥ 1 entier, on note Ip la matrice identité dans IRp . Existe-t-il des matrices B à coefficients réels
ou complexes telles que BA = Ip ? Telles que AB = Ip ?
Exercice 5 .
Soit la matrice A définie par

1

A= 0
0
2
1
0

0
3,
1
et soit B = A − I. Calculer B n pour n ≥ 1, en déduire An , puis calculer A−1 en fonction de B.
Exercice 6 .
Construire à partir des vecteurs a1 , a2 et a3 ci dessous, une base orthonormée u1 , u2 et u3 (par le
procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt)




 
1
−1
2
a1 =  −1  , a2 =  1  et a3 =  0  .
0
−2
1
Exercice 7 .
1. Soit (ui )1≤i≤k une famille orthonormée de vecteurs de IRn , et soit M la matrice définie par
M=
k
X
ui · uTi
i=1
Quel est le rang de M ?
2. Même question pour la matrice A = (Aij )i,j=1,..,n avec Aij = cos(θi + θj ).
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