TD 1 : Espaces vectoriels et matrices

Université de Rouen
L3-Mathématiques
2012–2013
Analyse numérique
I. DANAILA
[email protected]
TD 1 : Espaces vectoriels et matrices
Rappels sur les espaces vectoriels :
Espace vectoriel sur IR
Espace métrique
Espace normé
E pré-hilbertien
(*)
E de Hilbert
(**)
Espace de Banach
Principales définitions : •Soit E un espace vectoriel sur
IR. On définit (∀x, y, z, w ∈Eet α, β, µ, λ ∈IR) :
distance d(x, y) : E2→IR+norme ||.|| :E→IR+
d(x, y)≥0||x|| ≥ 0
d(x, y) = 0 ⇔x=y||x|| = 0 ⇔x= 0
d(x, y) = d(y, x)||λx|| =|λ|||x||
d(x, y)≤d(x, z) + d(z, y)||x+y|| ≤ ||x|| +||y||
produit scalaire < ., . >:E2→IR
< αx +βy, µz +λw > =αµ < x, z > +αλ < x, w >
+βµ < y, z > +βλ < y, w >
< x, y >=< y, x >
< x, x >≥0; < x, x >= 0 ⇔x= 0
•E. de Hilbert = E. pré-hilbertien + complet
•E. de Banach = E. normé + complet
Justification :
< x, y > produit scalaire → ||x|| =√< x, x > norme →d(x, y) = ||x−y|| distance.
(*) Exemple d’espace pré-hilbertien qui n’est pas un espace de Hilbert : l’espace des polynômes
P(x)de degré quelconque.
(**) Exemple d’espace de Banach qui n’est pas pré-hilbertien : IR avec la norme ||x|| =|x|.
Résultats sur les espaces vectoriels de dimension finie / applications linéaires :
Soient E, F espaces vectoriels de dimension finie sur le corps K (IR ou C) et L(E, F )l’ensemble
des applications linéaires U:E→F
(v1) Si n=dim(E), E est isomorphe avec Knet toutes les bases ont le même cardinal.
(v2) E, F de même dimension ⇐⇒ E, F isomorphes.
(v3) Si U∈ L(E, F ) =⇒dim(Im(U))+dim(Ker(U))=dim(E), avec
Im(U)={y∈F | ∃x∈E, U(x)=y}
Ker(U)={x∈E | U(x)=0}
(v4) Si U ∈ L(E):
U bijectif ⇐⇒ U injectif ⇐⇒ U surjectif ⇐⇒ ∃Vtq UV =IEou V U =IE
(v5) Soit E∗=L(E, K)le dual de E =⇒dim(E∗)=dim(E),
(v6) G sous-espace vectoriel (s.e.v) =⇒dim(G)+dim(G⊥)=dim(E)
(v7) Pour U∈ L(E, F )il existe une unique application transposée Ut∈ L(F∗, E∗)tq
Ut(y), xE∗,E = (y, U (x))F∗,F
(v7.1) dim(Im U)=dim(Im Ut)=rang de U
(v7.2) Ker(Ut)=(Im U)⊥
(v7.3) (Ker U)⊥=Im Ut
1

Résultats sur les espaces pré-hilbertiens de dimension finie :
E espace vectoriel de dimension finie sur IR, muni du produit scalaire < ., . >
(ph1) ∀une famille libre, il existe une base orthonormale unique associée (Gram-Schmidt).
(ph2) E est un espace de Hilbert (isomorphe avec IRn, n=dim(E)).
(ph3) F s.e.v de E =⇒E=F ⊕F⊥, ou F⊥={y∈E|< x, y >= 0,∀x∈F}
(ph4) On peut identifier E à E∗(Riesz)
∀f∈E∗,∃un unique y∈E tq (f, x)E∗,E =< y, x >, ∀x∈E
(ph5) Pour U∈ L(E)il existe une unique application adjointe U∗tq
< U(x), y >=< x, U∗(y)>, ∀x, y ∈E
(ph6) Inégalité de Cauchy-Schwartz
|< x, y > |≤kxkkyk
NB Ces résultats sont également valables pour E espace pré-hilbertien complexe, à condition de
remplacer le produit scalaire par un produit hermitien.
Représentation matricielle :
Mn(C)l’ensemble des matrices carrées (n×n)complexes.
(Uij)i,j=1···ncaractérise complètement l’application linéaire U∈ L(E, F ), où E, F sont deux
espaces vectoriels de dimension nsur C
∀x∈E, U (x) = U n
X
i=1
xiei!=
n
X
i=1
xiU(ei) =
n
X
i=1
n
X
j=1
xiUijfj
(ei)base de E, (fj)base de F, (Uij )coord de U(ei)dans la base (fj)
(rM1) (Mn(C),+,·)est un espace vectoriel isomorphe à Cn2(·= multiplication par un scalaire).
(rM2) (Mn(C),+,×)est un anneau non commutatif (×= multiplication matricielle).
(rM3) Les matrices inversibles forment un groupe pour la multiplication matricielle(×).
(rM4) P matrice inversible ≡matrice de changement de base de Ben B0, et
MatB0(U) = P−1MatB(U)P
(rM5) (matrice adjointe) A∗=At(pour C) et A∗=At(pour IR)
(rM6) A matrice de changement de base orthonormale ⇐⇒ A unitaire (A−1=A∗).
(rM7) (définitions) A normale (AA∗=A∗A) ; A hermitienne (A=A∗) ; A unitaire (A−1=A∗).
(rM7) A inversible ⇐⇒ det(A) 6=0.
det(AB)=det(BA)=det(A) det(B) ;
det(At)=det(A)
Exercice 1 .
Démontrer le résultat (v7.2) :
Si U∈ L(E, F ) =⇒Ker(Ut)=(Im U)⊥
Exercice 2 .
Calculer le noyau et l’image des applications linéaires suivantes :
1. f : IR37→ IR3(x, y, z)7→ f(x, y, z)=(x, y, 0)
2

2. f : IR27→ IR3(x, y)7→ f(x, y, z)=(x−y, x +y, x + 2y)
3. f : IR37→ IR (x, y, z)7→ f(x, y, z) = x−3y+ 2z
Exercice 3 .
Normes de vecteurs. Soit x∈Cn.
1. Trouver les plus petites constantes citelles que
||x||1≤c1||x||2,||x||1≤c2||x||∞,
||x||2≤c3||x||1,||x||2≤c4||x||∞,
||x||∞≤c5||x||1,||x||∞≤c6||x||2.
2. Montrer que lim
p→∞ ||x||p=||x||∞,∀x∈Cn.
3. Montrer l’inégalité (de Jensen) ||x||q≤ ||x||p∀x∈Cn,1≤p<q.
4. Montrer que l’application x7→ ||x||p=n
X
i=1 |xi|p
1/p
n’est pas une norme sur Cnlorsque
0<p<1et n≥2. (On montrera que l’inégalité triangulaire n’est pas vérifiée)
Exercice 4 .
Soit la matrice Adéfinie par
A=
1 2
3 4
−1 4 
.
Pour p≥1entier, on note Ipla matrice identité dans IRp. Existe-t-il des matrices Bà coefficients réels
ou complexes telles que BA =Ip? Telles que AB =Ip?
Exercice 5 .
Soit la matrice Adéfinie par
A=
120
013
001
,
et soit B=A−I. Calculer Bnpour n≥1, en déduire An, puis calculer A−1en fonction de B.
Exercice 6 .
Construire à partir des vecteurs a1,a2et a3ci dessous, une base orthonormée u1,u2et u3(par le
procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt)
a1=
1
−1
0
, a2=
−1
1
−2
et a3=
2
0
1
.
Exercice 7 .
1. Soit (ui)1≤i≤kune famille orthonormée de vecteurs de IRn, et soit Mla matrice définie par
M=
k
X
i=1
ui·uT
i
Quel est le rang de M?
2. Même question pour la matrice A= (Aij )i,j=1,..,n avec Aij = cos(θi+θj).
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