Université de Rouen
L3-Mathématiques
2012–2013
Analyse numérique
I. DANAILA
TD 1 : Espaces vectoriels et matrices
Rappels sur les espaces vectoriels :
Espace vectoriel sur IR
Espace métrique
Espace normé
E pré-hilbertien
(*)
E de Hilbert
(**)
Espace de Banach
Principales définitions : •Soit E un espace vectoriel sur
IR. On définit (∀x, y, z, w ∈Eet α, β, µ, λ ∈IR) :
distance d(x, y) : E2→IR+norme ||.|| :E→IR+
d(x, y)≥0||x|| ≥ 0
d(x, y) = 0 ⇔x=y||x|| = 0 ⇔x= 0
d(x, y) = d(y, x)||λx|| =|λ|||x||
d(x, y)≤d(x, z) + d(z, y)||x+y|| ≤ ||x|| +||y||
produit scalaire < ., . >:E2→IR
< αx +βy, µz +λw > =αµ < x, z > +αλ < x, w >
+βµ < y, z > +βλ < y, w >
< x, y >=< y, x >
< x, x >≥0; < x, x >= 0 ⇔x= 0
•E. de Hilbert = E. pré-hilbertien + complet
•E. de Banach = E. normé + complet
Justification :
< x, y > produit scalaire → ||x|| =√< x, x > norme →d(x, y) = ||x−y|| distance.
(*) Exemple d’espace pré-hilbertien qui n’est pas un espace de Hilbert : l’espace des polynômes
P(x)de degré quelconque.
(**) Exemple d’espace de Banach qui n’est pas pré-hilbertien : IR avec la norme ||x|| =|x|.
Résultats sur les espaces vectoriels de dimension finie / applications linéaires :
Soient E, F espaces vectoriels de dimension finie sur le corps K (IR ou C) et L(E, F )l’ensemble
des applications linéaires U:E→F
(v1) Si n=dim(E), E est isomorphe avec Knet toutes les bases ont le même cardinal.
(v2) E, F de même dimension ⇐⇒ E, F isomorphes.
(v3) Si U∈ L(E, F ) =⇒dim(Im(U))+dim(Ker(U))=dim(E), avec
Im(U)={y∈F | ∃x∈E, U(x)=y}
Ker(U)={x∈E | U(x)=0}
(v4) Si U ∈ L(E):
U bijectif ⇐⇒ U injectif ⇐⇒ U surjectif ⇐⇒ ∃Vtq UV =IEou V U =IE
(v5) Soit E∗=L(E, K)le dual de E =⇒dim(E∗)=dim(E),
(v6) G sous-espace vectoriel (s.e.v) =⇒dim(G)+dim(G⊥)=dim(E)
(v7) Pour U∈ L(E, F )il existe une unique application transposée Ut∈ L(F∗, E∗)tq
Ut(y), xE∗,E = (y, U (x))F∗,F
(v7.1) dim(Im U)=dim(Im Ut)=rang de U
(v7.2) Ker(Ut)=(Im U)⊥
(v7.3) (Ker U)⊥=Im Ut
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