Feuille d`exercices n°5 Complément d`algèbre linéaire

Lycée Chrestien de Troyes Feuille d’exercices n°5?−Complément d’algèbre linéaire MP1617
Feuille d’exercices n°5?
Complément d’algèbre linéaire
Version du 15-09-2016 à 10:23
Dans tout ce document, Kdésigne un sous-corps de Cet Eun K-espace vectoriel.
Exercice 1 (X).On suppose Ede dimension finie.
1. Soit p∈N∗, soient psous-espaces vectoriels F1,...,Fptous distincts de E. Montrer que E6= F1∪.. . ∪Fp.
2. Supposons les sous-espaces vectoriels F1,...,Fpde même dimension. Montrer qu’ils possèdent un sup-
plémentaire commun.
Exercice 2 (ENS).Supposons Ede dimension finie n∈N∗. Soient nendomorphismes nilpotents u1,.. .,unde
Ecommutant deux-à-deux. Montrer que u1◦.. . ◦un=0.
Exercice 3 (ENS).Supposons Ede dimension finie n. Soit Gun sous-groupe fini de GL(E). Posons
EG:=©x∈E:∀g∈G,g(x)=xª
l’ensemble des points fixes par tous les éléments de G. Montrer que :
dim(EG)=1
Card(G)X
g∈G
Tr(g).
Exercice 4 (X).Supposons Ede dimension finie net considérons un deuxième K-espace vectoriel Fde dimen-
sion finie m. Soient f,g∈L(E,F). Montrer que Rg(g)≤Rg(f) si et seulement s’il existe h∈GL(F) et k∈L(E)
tels que h◦g=f◦k.
Exercice 5 (X).Soit n∈N∗, soit f:Mn(K)→Ktelle que
∀(A,B)∈Mn(K)2f(AB)=f(A)f(B).
Montrer que pour tout A∈Mn(K), f(A)6= 0 si et seulement si A∈GLn(K).
Exercice 6 (X).Soit A∈Mn(K) une matrice de trace nulle.
1. Montrer que Aest semblable à une matrice dont les coefficients diagonaux sont tous nuls.
2. Montrer qu’il existe deux matrices B,C∈Mn(K) telles que A=BC −CB.
Exercice 7 (X).Supposons Ede dimension finie n. Soit u∈L(E).
1. Montrer que les suites (Ker(uk))k∈Net (Im(uk)k∈Nsont d’abord strictement monotones pour l’inclusion,
puis constantes à partir d’un certain rang p≤n.
2. Montrer que la suite (dimKer(uk+1)−dimKer(uk))k∈Nest décroissante.
3. Montrer que E=Ker(up)⊕Im(up).
4. En déduire que toute matrice de Mn(K) est semblable à une matrice de la forme µN0
0A¶où Nest une
matrice carrée nilpotente, et Aune matrice carrée inversible.
Exercice 8 (X).Notons (pn)n∈Nla suite strictement croissante des nombres premiers. Montrer que la famille
(ln(pn))n∈Nest libre dans le Q-espace vectoriel R.
Exercice 9. Soit α∈R\Q.
1. On suppose αtranscendant, c’est-à-dire que pour tout polynôme P∈Z[X], P6= 0=⇒ P(α)6= 0. Montrer
que la famille (αn)n∈Nest libre dans le Q-espace vectoriel R.
2. On ne suppose plus αtranscendant, mais on suppose qu’il existe k∈N∗tel que αk∈Q. Posons
n:=min{k∈N∗:αk∈Q}.
Montrer que la famille (1,α,.. .,αn−1) est libre dans le Q-espace vectoriel R.
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