Feuille d`exercices n°5 Complément d`algèbre linéaire

Lycée Chrestien de Troyes
Feuille d’exercices n°5? − Complément d’algèbre linéaire
MP1617
Feuille d’exercices n°5?
Complément d’algèbre linéaire
Version du 15-09-2016 à 10:23
Dans tout ce document, K désigne un sous-corps de C et E un K-espace vectoriel.
Exercice 1 (X). On suppose E de dimension finie.
1. Soit p ∈ N∗ , soient p sous-espaces vectoriels F 1 , . . . , F p tous distincts de E . Montrer que E 6= F 1 ∪ . . . ∪ F p .
2. Supposons les sous-espaces vectoriels F 1 , . . . , F p de même dimension. Montrer qu’ils possèdent un supplémentaire commun.
Exercice 2 (ENS). Supposons E de dimension finie n ∈ N∗ . Soient n endomorphismes nilpotents u 1 , . . . , u n de
E commutant deux-à-deux. Montrer que u 1 ◦ . . . ◦ u n = 0.
Exercice 3 (ENS). Supposons E de dimension finie n. Soit G un sous-groupe fini de GL(E ). Posons
©
ª
E G := x ∈ E : ∀g ∈ G, g (x) = x
l’ensemble des points fixes par tous les éléments de G. Montrer que :
X
1
Tr(g ).
dim(E G ) =
Card(G) g ∈G
Exercice 4 (X). Supposons E de dimension finie n et considérons un deuxième K-espace vectoriel F de dimension finie m. Soient f , g ∈ L (E , F ). Montrer que Rg(g ) ≤ Rg( f ) si et seulement s’il existe h ∈ GL(F ) et k ∈ L (E )
tels que h ◦ g = f ◦ k.
Exercice 5 (X). Soit n ∈ N∗ , soit f : Mn (K) → K telle que
∀(A, B ) ∈ Mn (K)2
f (AB ) = f (A) f (B ).
Montrer que pour tout A ∈ Mn (K), f (A) 6= 0 si et seulement si A ∈ GL n (K).
Exercice 6 (X). Soit A ∈ Mn (K) une matrice de trace nulle.
1. Montrer que A est semblable à une matrice dont les coefficients diagonaux sont tous nuls.
2. Montrer qu’il existe deux matrices B,C ∈ Mn (K) telles que A = BC −C B .
Exercice 7 (X). Supposons E de dimension finie n. Soit u ∈ L (E ).
1. Montrer que les suites (Ker(u k ))k∈N et (Im(u k )k∈N sont d’abord strictement monotones pour l’inclusion,
puis constantes à partir d’un certain rang p ≤ n.
2. Montrer que la suite (dim Ker(u k+1 ) − dim Ker(u k ))k∈N est décroissante.
3. Montrer que E = Ker(u p ) ⊕ Im(u p ).
4. En déduire que toute matrice de Mn (K) est semblable à une matrice de la forme
µ
N
0
0
A
¶
où N est une
matrice carrée nilpotente, et A une matrice carrée inversible.
Exercice 8 (X). Notons (p n )n∈N la suite strictement croissante des nombres premiers. Montrer que la famille
(ln(p n ))n∈N est libre dans le Q-espace vectoriel R.
Exercice 9. Soit α ∈ R \ Q.
1. On suppose α transcendant, c’est-à-dire que pour tout polynôme P ∈ Z[X ], P 6= 0 =⇒ P (α) 6= 0. Montrer
que la famille (αn )n∈N est libre dans le Q-espace vectoriel R.
2. On ne suppose plus α transcendant, mais on suppose qu’il existe k ∈ N∗ tel que αk ∈ Q. Posons
n := min{k ∈ N∗ : αk ∈ Q}.
Montrer que la famille (1, α, . . . , αn−1 ) est libre dans le Q-espace vectoriel R.
1