Rappel sur les nombres complexes

Université Montpellier II : UFR Sciences
Module EEA2
Cours EEA2 : Rappel Complexes
Rappel sur les nombres complexes
Les nombres complexes (ou imaginaires) ont été introduits au XVI° siècle (Cardan,
Bombelli) et formalisés au XVIII° (Euler, d'Alembert) pour résoudre les équations faisant
intervenir des racines carrées de nombres négatifs.
¾ Ecriture algébrique
Les nombres complexes sont des nombres de la forme :
z = a + jb, avec a et b réels
j est un nombre tel que :
j2=-1
a est la partie réelle de z :
a = Re(z)
b est la partie imaginaire de z :
b = Im(z)
L'ensemble C des nombres complexes contient tous les nombres réels.
Lorsque b=0, z est réel
Lorsque a=0, z est imaginaire pur
¾ Représentation géométrique et écriture exponentielle
r r
Soit un plan rapporté à un repère orthonormé (O, u, v) .
L'axe des abscisses représente l'ensemble des réels.
L'axe des ordonnées représente l'ensemble de imaginaires purs.
Plan complexe
Axe des
imaginaires
purs
M
b
r
v
O
z = a+jb
ρ
r
u
ϕ
a
Axe des
réels
Le complexe z = a + jb est appelé affixe du point M(a;b)
Le point M(a;b) est appelé image du complexe z = a + jb.
Le nombre complexe z peut aussi être caractérisé par une écriture qui fait intervenir le
module et l'angle par rapport à l'axe des abscisses du vecteur OM :
z = ρ e jϕ = ρ cos ϕ + j ρ sin ϕ
ρ est le module de z :
ρ = |z|
ϕ est l'argument de z :
ϕ = Arg (z)
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Yves Bertrand, [email protected]
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¾ Correspondance entre formes algébrique et exponentielle
A partir de la représentation géométrique de z, il vient immédiatement :
a = Re(z) = ρ cos ϕ
b = Im(z) = ρ sin ϕ
ρ = z = a2 + b2
( )
ϕ = arg(z) = Arctg b
a
¾ Conjugé d'un nombre complexe
Le conjugé du nombre complexe z = a + jb est le nombre complexe
z * = a – jb
En écriture exponentielle, le conjugé de z = ρ e jϕ , s'écrit : z* = ρ e−jϕ
On en déduit les relations suivantes :
(z*)* = z
z.z* = ρ2 = a2 + b2
z + z* = 2 Re(z) = 2a
z - z* = 2j Im(z) = 2jb
Règle pratique : pour trouver la forme algébrique d'un quotient, on multiplie le
numérateur et le dénominateur par l'expression conjugée du dénominateur. Cette opération
rend réel le dénominateur et permet d'écrire le résultat sous la forme algébrique a + jb.
¾ Opérations sur les modules et arguments
A partir de l'écriture exponentielle des nombres complexes, on peut facilement démontrer
les formules suivantes :
• Le module d'un produit est égal au produit des modules :
|z.z'| = |z| . |z'|
• L'argument d'un produit est égal à la somme des arguments :
arg(z.z') = arg(z) + arg(z')
• Le module d'un quotient est égal au quotient des modules :
|z/z'| = |z| / |z'|
• L'argument d'un quotient est égal à la différence des arguments :
arg(z/z') = arg(z) - arg(z')
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Yves Bertrand, [email protected]
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D'où les deux règles pratiques :
1 / Pour multiplier deux nombres complexes non nuls,
on multiplie les modules
on ajoute les arguments
2 / Pour diviser deux nombres complexes non nuls,
on divise les modules
on retranche les arguments
Autres relations :
• Argument d'une puissance n : arg(zn) = n arg(z)
• Argument d'un inverse : arg(1/z) = - arg(z)
¾ Formule de Moivre. Formules d'Euler
La formule de Moivre peut se déduire des formules précédentes en écrivant pour un
nombre complexe z de module unité : | zn | = | z |n = 1 :
(cos ϕ + j sin ϕ)n = cos (nϕ) + j sin(nϕ)
A partir des expressions du développement des exponentielles complexes,
ejϕ = cos ϕ + j sin ϕ
e-jϕ = cos ϕ - j sin ϕ
on déduit les relations inverses, dites formules d'Euler :
cos ϕ = 1 e jϕ + e− jϕ
2
(
)
(
)
sin ϕ = 1 e jϕ − e− jϕ
2j
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Méthode de résolution de circuit
Pour la résolution d'un circuit en courant alternatif par la technique des impédances
complexes, la méthode à suivre est la suivante :
1 / Associer aux variables temporelles leur amplitudes complexes :
•
source de tension, prise comme référence des phases : ϕu=0
u(t)=Um cos ωt
•
U = Um ,
↔
courants de branche :
jϕi1
i1(t)= I1m cos (ωt+ϕ1i)
↔
I1 = I1m e
i2(t)= I2m cos (ωt+ϕ2i)
↔
I2 = I2m e
u1(t)= U1m cos (ωt+ϕ1u)
↔
U1 = U1m e
u2(t)= U2m cos (ωt+ϕ2u)
↔
U2 = U2m e
jϕi2
...
• tensions de nœud :
jϕu1
jϕu2
...
2 / Exprimer les impédances
d'éléments :
• Résistance R
↔
• Self L
↔
• Condensateur C
↔
• R et L en série
↔
• R et C en série
↔
• R et L en parallèle ↔
• ...
complexes associées à chaque élément ou ensemble
ZR=R
ZL=jlω
ZC=1/jCω=−j/Cω
Z1=R+jLω
Z2=R+1/jCω
Z3=jRLω/(R+jLω)
3 / Utiliser les lois des réseaux continus (superposition, Kirchhoff, Thévenin, …) pour
déterminer les courants de branches Ii et les tensions de nœuds Ui.
4 / Déterminer les valeurs physiques des courants et tensions. En effet, les Ii et Ui ne sont
que des intermédiaires mathématiques. Il faut remonter aux valeurs physiques mesurables :
amplitude et phase des signaux.
Par exemple, après résolution on trouve un courant sous la forme I1 = a1 + jb1. Il faut extraire
son amplitude Im1et sa phase ϕi1.
I1m = I1 = a12 + b12
⎛b ⎞
ϕi1 = Arctg ⎜ 1 ⎟
⎜a ⎟
⎝ 1⎠
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