La fonction logarithme népérien

1
Séquence 5 – MA02
Séquence 5
La fonction
logarithme népérien
Sommaire
1. Pré-requis
2. Définition et propriétés algébriques de la fonction logarithme
népérien
3. Étude de la fonction logarithme népérien
4. Compléments
5. Synthèse
1
Séquence 5 – MA02
Dans cette séquence, on introduit une nou-
velle fonction : la fonction logarithme népé-
rien.
Comme la fonction exponentielle à laquelle
elle est liée, c’est une fonction essentielle
en mathématiques et, par ses nombreuses
applications biologiques et économiques,
elle a aussi un rôle important dans la vie
quotidienne.
© Cned - Académie en ligne

3
Séquence 5 – MA02
Généralités sur les fonctions
Dans cette séquence, plusieurs notions sur les fonctions doivent être connues.
1. Limites
zLimites des fonctions de référence (fonctions carré, cube, racine, et leurs
inverses) aux bornes de leurs ensembles de définition.
zRègles opératoires et formes indéterminées.
zComposition.
zLimites et inégalités : théorèmes de comparaison et compatibilité avec l’ordre.
2. Continuité
Théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire dans le cas d’une fonction
strictement monotone.
3. Dérivation
zDéfinition de la dérivabilité en un point.
zDérivées des fonctions de référence.
zOpérations.
zLiens entre le sens de variation d’une fonction sur un intervalle I et le signe de
sa dérivée sur I.
Fonction exponentielle
Le cours sur la fonction exponentielle doit être connu. Voici un exercice-test
concernant les principaux résultats.
A
B
1Pré-requis
© Cned - Académie en ligne

4
Séquence 5 – MA02
Pour chacune des propositions suivantes, dites si elle est vraie ou fausse. Dans le
cas où elle est fausse, proposez une modification qui la rende vraie.
a. La fonction définie sur ]; [0+∞ par
fx x ()=eest à valeurs dans +∗et trans-
forme une somme en un produit.
b. L’équation exp( )
x =0 admet une unique solution strictement positive.
c. La dérivée de la fonction exponentielle est strictement croissante sur −∞ ;
.
0
d. La fonction exponentielle est dérivable sur  donc continue sur .
e. La dérivée de la fonction fx x :e−1 est telle que fx x '( ) =e donc f est
une fonction strictement croissante sur  ; par conséquent, il existe un seul
nombre réel x
00≥ tel que
fx () .
00=
f. Pour tout
x ∈−∞];[
,
0 ee
xx −=1.
g. On a ee
3
2
3
2
33
=+.
h. Sur 0; 
,
+∞
 la dérivée de la fonction
f : xx e est f ' : xx e
1
2.
i. Une équation de la tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point
d’abscisse 2 est
yx =−e21().
j. Le tableau de variation de la fonction exponentielle est :
x –∞ 1 +∞
exp ( )
′
x
+
exp(x) +∞
0
0
a. Vrai. On peut aussi définir la fonction
f sur  tout entier.
b.Faux. Pour tout réel
x , e
x
>0 donc l’équation e
x
=0 n’a pas de solution
dans .
c. Vrai. La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-
même, qui est bien strictement croissante sur , donc sur −∞
; 0 aussi.
d. Vrai. Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. La fonction exponentielle
qui est dérivable sur  (par définition) n’échappe pas à cette règle.
e. Vrai. On peut même ajouter que
x
00=.
f. Vrai. L’égalité ee
xx −=1 est même vraie pour tout réel
x .
g. Vrai. En effet, on calcule séparément eee
3
2
3
2
9
2
33
==
×,
puis eee
3
2
3
2
6
2
9
2
3++
==.
Exercice
Vrai/Faux
 Solution
© Cned - Académie en ligne

5
Séquence 5 – MA02
Toutefois, dans le cas général de nombres réels x et y quelconques, on a :
ee
xyxy
(
)
≠+sauf dans les cas « exceptionnels » où xyxy ×=+(comme ici,
où
x =3
2et
y =3 on vérifie que xy xy +==×
9
2).
h. Faux. En posant
ux x ()= sur 0; 
,
+∞
 on a
fx ux x
ux x
'( ) '( ) .
()
==ee
1
2
i. Vrai. En effet, on sait qu’une équation de la tangente à la courbe
de la fonction exponentielle au point d’abscisse 2 est
yx x x =−+=−+=−exp'( )( ) exp( ) ( ) ( ).22 2 2 1
22
eee
2
j. Faux. Il suffit d’échanger les valeurs 1 et 0 données pour x et exp( ) x pour cor-
riger l’erreur. Précisément, le tableau de variations de la fonction expo-
nentielle est :
x –∞ 0 + ∞
exp ( )
′
x
+
exp(x)
+∞
1
0
Symétrie par rapport à la droite
d’équation y = x
Propriété
Soient a et b deux nombres réels. Dans un repère orthonormé O; ij
,,
(
)
les points M ab ;
(
)
et N ba ;
(
)
sont symétriques par rapport à la droite 
d’équation yx =.
Démonstration
Il suffit de montrer que le milieu I du segment
MN
[]
appartient à la droite  et que les
droites  et (MN) sont perpendiculaires.
zLes coordonnées du point I sont
abba ++
22
; donc le point I appartient
bien à la droite  d’équation
yx =.
zMontrons que les droites sont perpendicu-
laires en utilisant le produit scalaire.
C
ib
b
a
aN
M
I
j
O
y = x
© Cned - Académie en ligne

6
Séquence 5 – MA02
On a MN
baab −−
(
)
; et le vecteur v
11;
(
)
est un vecteur directeur de la
droite . Comme MN ⋅= − ×+ − ×=
vba ab ()()110 les deux droites sont bien
perpendiculaires.
Logique : contraposée
On appelle « proposition » un énoncé qui peut être vrai ou faux.
Quand une proposition est de la forme « si… alors… », on dit qu’il s’agit d’une
proposition conditionnelle.
Quand on sait qu’une proposition est vraie, on l’appelle « propriété ».
Soit A et B deux propositions, on considère la proposition  « A implique
B » c’est-à-dire « si A est vraie alors B est vraie ».
On note nonA la négation (la proposition contraire) de A et nonB la néga-
tion de B.
La proposition contraposée de  est « nonB implique nonA » c’est-à-dire
« si B est fausse alors A est fausse ».
Définition
Propriété
Une proposition conditionnelle et sa contraposée sont vraies en même
temps : si l’une est vraie, l’autre est vraie aussi. Elles sont donc toutes les
deux vraies ou toutes les deux fausses.
D
© Cned - Académie en ligne