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© S.Boukaddid
Série n°9
MP2
Eléctrostatique
Exercice n°1 : Distribution à symétrie cylindrique
Considérons un cylindre infini de rayon R uniformément chargé en volume avec une densité ρ constante
1. En utilisant le théorème de Gauss,trouver l’expression du champ électrostatique crée
par la distribution en tout point M de l’espace
2. retrouver le résultat en utilisant les équations locales
3. Déterminer le potentiel V(M) de la distribution
Exercice n°2 : Symétrie cartésienne
1. Déterminer le champ électrostatique crée par un plan infini et portant une distribution
de charge surfacique uniforme σ
• En utilisant le théorème de Gauss
• En utilisant les équations locales
2. On considère les plans z = a et z = −a où a est une constante. On a une distribution
volumique de charges ρ nulle pour |z| > a et égale à ρ0 pour |z| < a.
3. Déterminer,avec les équations locales,le champ électrostatique en tout point de l’espace (absence des charges surfaciques)
4. Que se passe-t-il lorsque a tend vers 0 ?
Exercice n°3 : Potentiel de Yukawa
Chaque point M de l’espace étant repéré par la distance r à un point fixe O.,il existe en
tout point M un potentiel électrostatique
V(r ) =
e
e −r /a0
4πε0 r
1
= 9.109 (S.I); e = 1, 6.10−19 C; a 0 = 53pm
4πε0
On se propose de déterminer la distribution de charge D qui crée ce potentiel
1. Théorème de Gauss
→
−
1.1. Déterminer le champ électrostatique E en tout point M de l’espace
1.2. Calculer,en utilisant le théorème de Gauss,la charge q(r ) contenue dans une sphère
de centre O et de rayon r
1.3. En déduire en faisant tendre r vers l’infini ou vers 0 :
avec
I quelle est la charge totale Q contenue dans tout l’espace
I qu’il y a en O une charge ponctuelle que l’on déterminera
2. Théorème de Gauss local
En plus de la charge ponctuelle concentrée en O,il existe dans tout l’espace une distribution volumique de charges de densité ρ(r ),non uniforme
2.1. Montrer,en appliquant localement le théorème de Gauss,que ρ(r ) se met sous la
1 d (r 2 E(r ) )
. En déduire ρ(r )
forme : ρ(r ) = ε0 2
r
dr
2.2. Vue la symétrie sphérique de V(r ) et de ρ(r ),on désigne par d q la charge élémentaire
contenue dans le volume élémentaire d τ compris entre les sphères de rayons r et r + d r
dq
Montrer que l’expression δ =
passe par un maximum pour une certaine valeur de r
dr
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que l’on déterminera. Quelle interprétation physique pouvez-vous donner de ce résultat ?
Exercice n°4 : Capacité d’un condensateur
1. Condensateur cylindrique
On considère un condensateur cylindrique à air formé de deux armatures coaxiales de
grande hauteur h et de rayon R1 et R2 (R1 < R2 ). L’armature interne A1 porte la charge +Q
et a pour potentiel V1 . L’armature externe en regard porte la charge −Q et a pour potentiel
V2 . Soit un point M situé à la distance r de l’axe,telle que R1 < r < R2 .
→
−
1.1. Déterminer le champ supposé radial E (r ) entre les armatures à l’aide du théorème
de Gauss
→
−
1.2. Calculer la circulation de E entre les armatures en fonction de Q, ε0 , h, R1 , R2
1.3. En déduire la capacité C du condensateur
1.4. Que devient l’expression de C si les rayons des armatures sont très voisins c’est-à-dire
si R2 − R1 = e << R1 . Quel est le condensateur équivalent ?
2. Analogie gravitationnelle
On considère la distribution de masse à symétrie cylindrique,d’axe Oz,de grande hauteur
h,dans le vide,définie par un cylindre creux de rayon intérieur R1 et extérieur R2 .
r < R1 : µ = 0 ; R1 < r < R2 : µ uniforme ; r > R2 : µ = 0
µ : la masse volumique du système
→
−
2.1. Exprimer le champ de gravitation G (r ) en tout point M à une distance r de l’axe
etassez loin des bords
→
−
2.2. Représenter G (r ).
Exercice n°5 : Cable coaxial cylindrique (ENS Cachan)
1. Un conducteur homogène,à température uniforme et constante,en équilibre électrique,porte
une charge Q
→
−
1.1. Que vaut le champ électrique E en un point intérieur à ce conducteur ?
1.2. Qu’en déduire :
I pour le potentiel à l’intérieur et sur la surface ?
I pour la répartition de charge Q ?
2. Un cable coaxial,cylindrique,est formé de deux cylindres conducteurs très longs,d’axe
Oz,séparés par le vide. Le premier,plein,de rayon r 1 ,au potentiel V1 ,porte la charge linéique λ1 ;le second,au potentiel V2 inférieur à V1 est creux et de rayon intérieur r 2 .
2.1. quel est le signe de λ1 ?
2.2. l’ensemble étant en équilibre,quelle est la charge linéique λ2 de la face interne du
cylindre externe ?
→
−
2.3. On suppose que le cable coaxial est infiniment long. Quelle est la direction de E entre
les deux conducteurs ?L’évaluer et en déduire la capacité C1 par unité de longueur définie
λ1
.
par
V1 − V2
Application numérique : r 1 = 1mm; r 2 = 3mm; ε0 = 8, 84.10−12 (S.I).
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