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© S.Boukaddid Série n°9 MP2
Exercice n°1 :Distribution à symétrie cylindrique
Considérons un cylindre infini de rayon R uniformément chargé en volume avec une den-
sité ρconstante
1. En utilisant le théorème de Gauss,trouver l’expression du champ électrostatique crée
par la distribution en tout point M de l’espace
2. retrouver le résultat en utilisant les équations locales
3. Déterminer le potentiel V(M) de la distribution
Exercice n°2 :Symétrie cartésienne
1. Déterminer le champ électrostatique crée par un plan infini et portant une distribution
de charge surfacique uniforme σ
•En utilisant le théorème de Gauss
•En utilisant les équations locales
2. On considère les plans z=aet z= −aoù a est une constante. On a une distribution
volumique de charges ρnulle pour |z|>aet égale à ρ0pour |z|<a.
3. Déterminer,avec les équations locales,le champ électrostatique en tout point de l’es-
pace (absence des charges surfaciques)
4. Que se passe-t-il lorsque atend vers 0 ?
Exercice n°3 :Potentiel de Yukawa
Chaque point M de l’espace étant repéré par la distance rà un point fixe O.,il existe en
tout point M un potentiel électrostatique
V(r)=e
4πε0re−r/a0
avec 1
4πε0
=9.109(S.I);e=1,6.10−19C; a0=53pm
On se propose de déterminer la distribution de charge Dqui crée ce potentiel
1. Théorème de Gauss
1.1. Déterminer le champ électrostatique −→ E en tout point M de l’espace
1.2. Calculer,en utilisant le théorème de Gauss,la charge q(r) contenue dans une sphère
de centre O et de rayon r
1.3. En déduire en faisant tendre rvers l’infini ou vers 0 :
Iquelle est la charge totale Q contenue dans tout l’espace
Iqu’il y a en O une charge ponctuelle que l’on déterminera
2. Théorème de Gauss local
En plus de la charge ponctuelle concentrée en O,il existe dans tout l’espace une distribu-
tion volumique de charges de densité ρ(r),non uniforme
2.1. Montrer,en appliquant localement le théorème de Gauss,que ρ(r) se met sous la
forme : ρ(r)=ε0
1
r2
d(r2E(r))
dr . En déduire ρ(r)
2.2. Vue la symétrie sphérique de V(r) et de ρ(r),on désigne par d q la charge élémentaire
contenue dans le volume élémentaire dτcompris entre les sphères de rayons ret r+dr
Montrer que l’expression δ=d q
dr passe par un maximum pour une certaine valeur de r
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que l’on déterminera. Quelle interprétation physique pouvez-vous donner de ce résultat ?
Exercice n°4 :Capacité d’un condensateur
1. Condensateur cylindrique
On considère un condensateur cylindrique à air formé de deux armatures coaxiales de
grande hauteur het de rayon R1et R2(R1<R2). L’armature interne A1porte la charge +Q
et a pour potentiel V1. L’armature externe en regard porte la charge −Q et a pour potentiel
V2. Soit un point M situé à la distance rde l’axe,telle que R1<r<R2.
1.1. Déterminer le champ supposé radial −→ E (r) entre les armatures à l’aide du théorème
de Gauss
1.2. Calculer la circulation de −→ E entre les armatures en fonction de Q,ε0,h,R1,R2
1.3. En déduire la capacité C du condensateur
1.4. Que devient l’expression de C si les rayons des armatures sont très voisins c’est-à-dire
si R2−R1=e<< R1. Quel est le condensateur équivalent ?
2. Analogie gravitationnelle
On considère la distribution de masse à symétrie cylindrique,d’axe Oz,de grande hauteur
h,dans le vide,définie par un cylindre creux de rayon intérieur R1et extérieur R2.
r<R1:µ=0 ; R1<r<R2:µuniforme ; r>R2:µ=0
µ: la masse volumique du système
2.1. Exprimer le champ de gravitation −→ G(r) en tout point M à une distance rde l’axe
etassez loin des bords
2.2. Représenter −→ G(r).
Exercice n°5 :Cable coaxial cylindrique (ENS Cachan)
1. Un conducteur homogène,à température uniforme et constante,en équilibre électrique,porte
une charge Q
1.1. Que vaut le champ électrique −→ E en un point intérieur à ce conducteur ?
1.2. Qu’en déduire :
Ipour le potentiel à l’intérieur et sur la surface ?
Ipour la répartition de charge Q ?
2. Un cable coaxial,cylindrique,est formé de deux cylindres conducteurs très longs,d’axe
Oz,séparés par le vide. Le premier,plein,de rayon r1,au potentiel V1,porte la charge li-
néique λ1;le second,au potentiel V2inférieur à V1est creux et de rayon intérieur r2.
2.1. quel est le signe de λ1?
2.2. l’ensemble étant en équilibre,quelle est la charge linéique λ2de la face interne du
cylindre externe ?
2.3. On suppose que le cable coaxial est infiniment long. Quelle est la direction de −→ E entre
les deux conducteurs ?L’évaluer et en déduire la capacité C1par unité de longueur définie
par λ1
V1−V2
.
Application numérique : r1=1mm;r2=3mm;ε0=8, 84.10−12(S.I).
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