M1.5. Mouvement en spirale. (I) 1. Composantes cartésiennes. On

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M1.5. Mouvement en spirale. (I)
m
o
.c
1. Composantes cartésiennes.
On exprime les coordonnées cartésiennes du vecteur position :
  x  ae cos 
OM 

 y  ae sin 
b
e
w
a
l
o
h
Les dérivations successives de ce vecteur par rapport au temps donnent :
le vecteur vitesse
 vx  ae  cos   sin  
v

v y  a e  cos   sin  
le vecteur accélération
 ax  2a 2 e sin 
a
2 
a y  2a e cos 
2. Expression de la vitesse.
La norme de la vitesse a pour expression :
2
2
v  v 2  v 2  ae  cos   sin     cos   sin  
k
.
w
x
y
v  a 2e

3. Abscisse curviligne s.
La norme de la vitesse peut s’écrire sous la forme :
ds ds d ds 
v



dt d dt d
w
w
On a donc en tenant compte de la réponse à la question 2 et en simplifiant par la vitesse angulaire :
ds
 a 2e
d
En tenant compte des conditions initiales, on obtient :
s  a 2  e  1
4. Vecteur accélération dans la base polaire.
Dans la base polaire, l’accélération s’écrit :



a  r  r 2 e r  2re car  est une grandeur constante.

Or :

r  r

r  r 2
En remplaçant, on obtient :


a  2r 2 e