calculatrice autorisee

Exercice 1 3 points
Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur IR telle que f ’ = f et f(0) = 1.
Cette fonction est appelée la fonction exponentielle.
On admet qu’une telle fonction existe.
Démontrer qu’elle est unique.
(On sait qu’une telle fonction n’est pas nulle et aussi que f(-x) = f(x) )
Exercice 2 10 points
f(x)xex
ex1si x0
1si x0
3. a) Calculer la limite de f(x) quand x tend vers 0 et prouver qu’elle est égale à f(0).
b) Peut-on dire que la fonction est continue en 0 ? Justifier la réponse.
4. a) Etudier les variations de la fonction sur IR, h(x) = ex – x – 1.
b) En déduire que pour tout réel x : ex ≥ x + 1.
T S
A C
Interrogation de Mathématiques
/16
La fonction exponentielle
Probabilités conditionnelles
Nom :
Prénom :
CALCULATRICE AUTORISEE
Acquis
Revoir
Note et observation(s) :
Dérivée de eu
Limites, croissance comparée
Probabilités conditionnelles
Loi des probabilités totales (Bayes)
Loi binomiale

Exercice 3 7 points.
On note les évènements suivants : P : l’huître est étiquetée petite.
M : l’huître est étiquetée moyenne.
G : l’huître est étiquetée grande.
E : l’huître est mal triée.
PARTIE A 4 points.
1) Dresser l’arbre pondéré associée à cette situation et qui vous permettra de répondre aux questions
suivantes. Compléter les branches.
2) Quelle est la probabilité qu’une huître prise au hasard soit une petite huître bien triée ?
3) Calculer la probabilité de l’événement E.
4) Quelle est la probabilité qu’une huître soit moyenne sachant qu’elle a été mal triée ?
PARTIE B 3 points.
On pioche 6 huîtres au hasard pour faire une assiette et on assimile cette pioche à un tirage avec remise
(La grande quantité d’huîtres permet de considérer qu’il y a toujours le même nombre d’huîtres.) on
note X la variable aléatoire qui compte le nombre d’huîtres bien triées.
1) Quelle loi suit la variable aléatoire X ?
2) Quelle est la probabilité que 4 de ces 6 huîtres soient bien triées ?
3) Quelle est la probabilité que les 6 huîtres soient mal triées?
4) Quelle est la probabilité qu’au moins 5 huîtres soient bien triées ?
CORRECTION DS 2h du vendredi 02/12/16

Exercice 1
Exercice 2
f(x)xex
ex1si x0
1si x0
1) Limite en -∞
D’après les limites par comparaison de croissance:
lim
x xex0
lim
x ex1 1
par quotient,
lim
x
xex
ex10
Et au dénominateur
2) a)
xex
ex1xexxx ex1xexx ex1x ex1x(ex1) ex1x ex1xx ex1
= f(x)
( au bourillon vous avez sans doute fait le chemin inverse….. il suffit alors de le recopier dans ce sens !)
2) b)
lim
x
xex
ex1lim
x x(11
ex1)
 Or
lim
x x
lim
x ex1
= +∞ d’où
lim
x
1
ex10
et donc
lim
x11
ex11
Donc par produit :
lim
x
xex
ex1
+∞
3. a)
lim
x0
xex
ex1lim
x0xx
ex1
=
lim
x0x1
ex1
x
or
lim
x0
ex1
x1
par quotient
lim
x0
1
ex1
x
1
Et donc par somme
lim
x0x1
ex1
x
= 0 +1 = 1
b) Peut-on dire que la fonction est continue en 0 ? Justifier la réponse.
On a
lim
x0
xex
ex11f(0)
donc f est continue en 0.
4. a) Etudier les variations de la fonction sur IR, h(x) = ex – x – 1.
La fonction h est dérivable sur IR, h’(x) = ex – 1
Signe de la dérivée : ex – 1>0  ex > 1  ex > e0  x > 0
La fonction h est donc strictement décroissante sur ]-∞ ;0[ et strictement croissante sur [0 ;+∞[
Tableau de variations de h :
x
-∞
0
+∞
h’(x)
-
+
h
0
b) En déduire que pour tout réel x : ex ≥ x + 1.
h(0) = e0 – 0 – 1= 0

D’après les variations de h, on en déduit que 0 est un minimum de h sur IR,
Alors, pour tout x de réel, h(x) ≥ 0  ex – x – 1 ≥ 0  ex ≥ x + 1
(Ce serait une belle démonstration pour prouver par théorème de comparaison que
lim
x ex
)
5. La fonction f est définie et dérivable sur IR comme quotient de fonctions dérivables sur IR,
f ‘ =
u'vuv'
v2
.
ATTENTION !! xeX est de la forme uv. Sa dérivée est u’v+uv’. ( xeX) ’ = 1eX + xeX = (1 + x)eX.
f ’(x) =
(1x)ex(ex1) xexex
(ex1)2e2xexxexexxexxexex (ex1)2e2xexxex (ex1)2ex(exx1) (ex1)2exg(x) (ex1)2
avec g(x) = h(x) = ex – x – 1> 0 sur IR.
6. De plus, pour tout réel x, ex > 0 et (ex -1)2 > 0
Alors, pour tout réel x, f ’(x) > 0
Donc, f est une fonction croissante sur IR.
x
-∞ +∞
f ‘ (x)
+
f
+ ∞
0
7. a) f(-x) =
xex
ex1
=
x
ex(ex1) x exexexx 1exx ex1
.
b) Le coefficient directeur de MM’ est
yM'yM
xM'xM
=
f(a)f(a)
aa1 2a(a ea1(aa ea1)) 1 2
Toutes les droites MM’ sont parallèles car le coefficient directeur est constant et = à ½.
Exercice 3
A---1)Arbre de noël :
0,13
P
E
E
0,54
M
E
E
0,33
G
E
E
2) p(PE) = 0,13x0,965= 0,12545
3) P, M et G réalisent une partition de l’univers :
E = (PE)  (ME)  (GE)
D’après le loi des probabilités totales, Loi de Bayes,
p(E )= p(PE) + p(ME) + p(GE)
p(E) =0,035x0,13 + 0,06x0,54 + 0,045x0,33 = 0,0518
Donc, 5,18 % des huîtres sont mal triées
5) PM(E) =
p(ME)
p(E)0,0324 0,0518 0,6255
6)