calculatrice autorisee

TS
AC
CALCULATRICE
Interrogation de Mathématiques
/16
La fonction exponentielle
Probabilités conditionnelles
Nom :
AUTORISEE
Note et observation(s) :
Acquis
Revoir
Prénom :
Dérivée de eu
Limites, croissance comparée
Probabilités conditionnelles
Loi des probabilités totales (Bayes)
Loi binomiale
Exercice 1
3 points
Théorème :
Il existe une unique fonction f dérivable sur IR telle que f ’ = f
Cette fonction est appelée la fonction exponentielle.
On admet qu’une telle fonction existe.
Démontrer qu’elle est unique.
et
f(0) = 1.
(On sait qu’une telle fonction n’est pas nulle et aussi que f(-x) = f(x) )
Exercice 2
 xex



si
x

0

f (x)  e x 1

si x  0
1

10 points

3. a) Calculer la limite de f(x) quand x tend vers 0 et prouver qu’elle est égale à f(0).
b) Peut-on dire que la fonction est continue en 0 ? Justifier la réponse.
4. a) Etudier les variations de la fonction sur IR, h(x) = ex – x – 1.
b) En déduire que pour tout réel x : ex ≥ x + 1.
Exercice 3
On note les évènements suivants :
7 points.
P : l’huître est étiquetée petite.
M : l’huître est étiquetée moyenne.
G : l’huître est étiquetée grande.
E : l’huître est mal triée.
PARTIE A
4 points.
1) Dresser l’arbre pondéré associée à cette situation et qui vous permettra de répondre aux questions
suivantes. Compléter les branches.
2) Quelle est la probabilité qu’une huître prise au hasard soit une petite huître bien triée ?
3) Calculer la probabilité de l’événement E.
4) Quelle est la probabilité qu’une huître soit moyenne sachant qu’elle a été mal triée ?
PARTIE B
3 points.
On pioche 6 huîtres au hasard pour faire une assiette et on assimile cette pioche à un tirage avec remise
(La grande quantité d’huîtres permet de considérer qu’il y a toujours le même nombre d’huîtres.) on
note X la variable aléatoire qui compte le nombre d’huîtres bien triées.
1) Quelle loi suit la variable aléatoire X ?
2) Quelle est la probabilité que 4 de ces 6 huîtres soient bien triées ?
3) Quelle est la probabilité que les 6 huîtres soient mal triées?
4) Quelle est la probabilité qu’au moins 5 huîtres soient bien triées ?
CORRECTION DS 2h du vendredi 02/12/16
Exercice 1
 xex



si
x

0

f (x)  e x 1

si x  0
1

Exercice 2
1) Limite en -∞
D’après les limites par comparaison de croissance:


xex
lim
0

par
quotient,
x
x  e 1
lim e x 1  1
Et au dénominateur

x
x
x
x
x
xe
xe  x  x xe  x
x
x(e 1)
x
x

 x
 x
 x
 x
 x  x = f(x)
2) a) x
x
e 1
e 1
e 1 e 1
e 1
e 1
e 1
( au bourillon vous avez sans doute fait le chemin inverse….. il suffit alors
de le recopier dans ce sens !)

x
xe
1
 lim x(1 x )
2) b) lim x
x e 1
x
e 1

 Or lim x  
lim xex  0
x
x


lim e x 1 = +∞
x
d’où
1
0
x    e 1
lim
x
et donc lim 1
x
x 
1
1
e 1
x
xe
 +∞
x
x  e 1



xex
x
1
 lim x  x
3. a) lim x
= lim x  x
x 0 e 1
x 0
x 0
e 1
e
1

x
x
e 1
1
1
 1 par quotient lim x
or lim
Et donc par somme lim x  x
= 0 +1 = 1
1
x0
x 0 e 1
x 0
e 1
x

x
x

b) Peut-on dire que la fonction est continue en 0 ? Justifier la réponse.
xex

 1  f (0) donc f est continue en 0.
On a lim x
x 0 e 1


4. a) Etudier les variations de la fonction sur IR, h(x) = ex – x – 1.
La fonction h est dérivable sur IR, h’(x) = ex – 1
Signe de la dérivée : ex – 1>0  ex > 1  ex > e0  x > 0
 La fonction h est donc strictement décroissante sur ]-∞ ;0[ et strictement croissante sur [0 ;+∞[
Tableau de variations de h :
x
-∞
0
+∞
h(0) = e0 – 0 – 1= 0
h’(x)
+
h
 Donc par produit : lim
0
b) En déduire que pour tout réel x : ex ≥ x + 1.
D’après les variations de h, on en déduit que 0 est un minimum de h sur IR,
Alors, pour tout x de réel, h(x) ≥ 0  ex – x – 1 ≥ 0  ex ≥ x + 1
(Ce serait une belle démonstration pour prouver par théorème de comparaison que lim e x   )
x
5. La fonction f est définie et dérivable sur IR comme quotient de fonctions dérivables sur IR,
u'v  uv'
f‘=
.
v2
X) ’ = 1eX + xeX = (1 + x)eX.
ATTENTION !!
xeX est de la forme uv. Sa dérivée est u’v+uv’. ( xe
f ’(x)
 =
(1 x)e x  (e x 1)  xex  e x e 2x  e x  xexe x  xex  xexe x e 2x  e x  xex e x (e x  x 1) e x g(x)



 x
(e x 1)2
(e x 1)2
(e x 1)2
(e x 1)2
(e 1)2
avec g(x) = h(x) = ex – x – 1> 0 sur IR.
6. De plus, pour tout réel x, ex > 0 et (ex -1)2 > 0
Alors, pour tout réel x, f ’(x) > 0

Donc, f est une fonction croissante sur IR.
x
-∞
f ‘ (x)
+
f
+∞
+∞
0
xex
x
x
x
x
 x x
= x x
.
x
x 
x  x
e 1 e (e 1) e e  e 1  e
e 1
y  yM
f (a)  f (a)
1
a
a
1

( a
 (a  a )) 
b) Le coefficient directeur de MM’ est M '
=
a  a
2a e 1
e 1
2
xM '  xM
Toutes les droites MM’ sont parallèles car le coefficient directeur est constant et = à ½.


7. a) f(-x) =


Exercice 3
A---1)Arbre de noël :
E
P
0,13
0,54
M
0,33
G
E
E
E
E
E
2) p(PE) = 0,13x0,965= 0,12545
3) P, M et G réalisent une partition de l’univers :
E = (PE)  (ME)  (GE)
D’après le loi des probabilités totales, Loi de Bayes,
p(E )= p(PE) + p(ME) + p(GE)
p(E) =0,035x0,13 + 0,06x0,54 + 0,045x0,33 = 0,0518
Donc, 5,18 % des huîtres sont mal triées
p(M  E) 0,0324

 0,6255
p(E)
0,0518
5) PM(E) =
6)