TS3. Correction Devoir à la maison no 5 rendu Vendredi 19 Octobre

TS3. Correction Devoir à la maison no5 rendu Vendredi 19 Octobre 2007
Exercice I : On considère la fonction fdéfinie sur Rpar : 
f(x)=xex
ex−1si x6= 0
f(0) =1.
On note Cla courbe représentative de fdans un repère orthonormal (O;−→ i,−→ j).
1. (a) Étude de la limite de fen −∞ :
On a lim
x→−∞ ex=0 donc lim x→−∞ ex−1= −1, mais lim x→−∞ xex=0
Donc
lim
x→−∞ f(x)=0
(b) On a :
xex
ex−1−xµ1+1 ex−1¶=xex ex−1−xµex−1+1 ex−1¶=xex ex−1−xex ex−1=0
Ainsi, pour tout nombre réel xnon nul, on a f(x)=xµ1+1
ex−1¶.
On a lim
x→+∞ ex= +∞ donc lim x→+∞
1
ex−1=0 et lim
x→+∞ 1+1
ex−1=1, mais lim
x→+∞ x= +∞
Donc
lim
x→+∞ f(x)= +∞
2. On a lim
x→0
ex−1
x=1, ainsi lim
x→0
x
ex−1=lim
x→0
1
ex−1
x
=1
1=1, donc :
lim
x→0ex×x
ex−1=e0×1=1=f(0)
Ainsi fest continue en 0.
3. (a) Soit gla fonction définie sur Rpar g(x)=ex−(x+1) =ex−x−1, alors
g‘′(x)=ex−1
Et g′(x)>0⇔ex−1>0⇔ex>1⇔x>ln(1) ⇔x>0,
Ainsi,
x−∞ 0+∞
g′(x)−0+
g
0
Donc, pour tout réel x6= 0, g(x)>0⇔ex−(x+1) >0⇔ex>x+1, et l’égalité n’a lieu
que pour x=0.
(b) Calcul de la dérivée f′de la fonction f:
f′(x)=(1×ex+xex)(ex−1) −xex×ex
(ex−1)2=ex(1+x)(ex−1) −xex×ex (ex−1)2=ex((1+x)(ex−1) −xex) (ex−1)2
Donc, f′(x)=ex(xex−x+ex−1−xex)
(ex−1)2=ex(ex−x−1) (ex−1)2=exg(x) (ex−1)2.
1
(c) Le tableau des variations de fest alors :
x−∞ 0+∞
g(x)+0+
ex+
¡ex−1¢2+
f′(x)+0+
f
0
+∞
4. Soient xun nombre réel non nul et les points M(x;f(x)) et M′(−x;f(−x)) de la courbe C.
(a) On a f(−x)=−xe−x
e−x−1, or :
−xe−x
e−x−1−x ex−1=−xe−x(ex−1) −x(ex−1) (e−x−1)(ex−1) =−x+xe−x−xe−x+x (e−x−1)(ex−1) =0
Ainsi,
f(−x)=x
ex−1
Et le coefficient directeur de la droite (MM′) est :
f(x)−f(−x)
x−(−x)=
xex
ex−1−x ex−1
2x=
x(ex−1)
ex−1
2x=1 2
(b) Comme
A=f(x)−f(−x)
2x=f(x)−f(0)+f(0)−f(−x) 2x=1 2·f(x)−f(0) x+f(0)−f(−x) x¸
Soit
A=1
2·f(x)−f(0) x+f(−x)−f(0) −x¸
Mais la fonction fest dérivable en 0, donc lim
x→0
f(x)−f(0)
x=f′(0) et lim
x→0
f(−x)−f(0)
−x=
f′(0), donc :
lim
x→0
f(x)−f(−x)
2x=1 2¡f′(0)+f′(0)¢=f′(0)
Ainsi
f′(0) =1
2
2