TS3. Correction Devoir à la maison no 5 rendu Vendredi 19 Octobre 2007 xex f (x) = si x 6= 0 Exercice I : On considère la fonction f définie sur R par : ex − 1 f (0) = 1. → − → − On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O; i , j ). 1. (c) Le tableau des variations de f est alors : x g (x) e (a) Étude de la limite de f en −∞ : On a lim ex = 0 donc lim ex − 1 = −1, mais lim xex = 0 x→−∞ x→−∞ x→−∞ Donc lim f (x) = 0 ¡ 0 −∞ + x ex − 1 +∞ 0 + + ¢2 + f ′ (x) + 0 + x→−∞ +∞ (b) On a : f µ µ x ¶ ¶ xex e −1+1 1 ex xex xex − x 1 + − x −x x =0 = = x ex − 1 ex − 1 ex − 1 ex − 1 e −1 e −1 ¶ µ 1 . Ainsi, pour tout nombre réel x non nul, on a f (x) = x 1 + x e −1 1 1 On a lim ex = +∞ donc lim x = 0 et lim 1 + x = 1, mais lim x = +∞ x→+∞ x→+∞ e − 1 x→+∞ x→+∞ e −1 Donc lim f (x) = +∞ x→+∞ 0 4. Soient x un nombre réel non nul et les points M(x ; f (x)) et M ′ (−x ; f (−x)) de la courbe C . −x , or : (a) On a f (−x) = −xe e−x −1 x −xe−x (ex − 1) − x(ex − 1) −x + xe−x − xe−x + x −xe−x − x = = =0 −x e −1 e −1 (e−x − 1)(ex − 1) (e−x − 1)(ex − 1) Ainsi, x ex − 1 Et le coefficient directeur de la droite (M M ′ ) est : f (−x) = x e −1 x 1 1 2. On a lim = 1, ainsi lim x = lim x = = 1, donc : x→0 x→0 e − 1 x→0 e − 1 x 1 x f (x) − f (−x) = x − (−x) x = e 0 × 1 = 1 = f (0) lim e × x x→0 e −1 x (a) Soit g la fonction définie sur R par g (x) = ex − (x + 1) = ex − x − 1, alors A= g ‘′ (x) = ex − 1 x 0 −∞ ′ g (x) − 0 A= +∞ + x→0 ′ f (0), donc : lim 0 x→0 2x = 1 2 Ainsi f ′ (0) = (b) Calcul de la dérivée f ′ de la fonction f : (1 × ex + xex )(ex − 1) − xex × ex 2 − 1) = ex (xex − x + ex − 1 − xex ) (ex 2 − 1) 1 ex (1 + x)(ex − 1) − xex × ex = (ex − 1) ex (ex − x − 1) (ex 2 − 1) 2 = ex g (x) (ex − 1)2 = f (x) − f (0) f (−x) − f (0) = f ′ (0) et lim = x→0 x −x ¢ f (x) − f (−x) 1 ¡ ′ = f (0) + f ′ (0) = f ′ (0) 2x 2 Donc, pour tout réel x 6= 0, g (x) > 0 ⇔ ex − (x + 1) > 0 ⇔ ex > x + 1, et l’égalité n’a lieu que pour x = 0. Donc, f ′ (x) = x(e x −1) ex −1 · ¸ 1 f (x) − f (0) f (−x) − f (0) + 2 x −x Mais la fonction f est dérivable en 0, donc lim g (ex 2x = · ¸ f (x) − f (−x) f (x) − f (0) + f (0) − f (−x) 1 f (x) − f (0) f (0) − f (−x) = = + 2x 2x 2 x x Soit Et g ′ (x) > 0 ⇔ ex − 1 > 0 ⇔ ex > 1 ⇔ x > ln(1) ⇔ x > 0, Ainsi, f ′ (x) = − exx−1 (b) Comme Ainsi f est continue en 0. 3. xex ex −1 ex ((1 + x)(ex − 1) − xex ) (ex − 1)2 . 2 1 2