Les parties A et B sont indépendantes Partie A

E XERCICE FONCTION
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A : Détermination d’une fonction f
On considère la fonction f définie sur R par :
f (x) = (ax + b)ex + c
où a, b et c désignent trois réels que l’on se propose de déterminer dans cette
partie. On note f ′ la dérivée de la fonction f .
Sur le graphique de l’annexe, à rendre avec la copie, on donne la courbe
repré-¢
¡ −
−
sentative C de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthogonal O, →
ı,→
d’unités graphiques 1 centimètre en abscisse et 0,25 centimètre en ordonnée.
La courbe C admet une tangente horizontale au point d’abscisse 3.
La courbe C passe par le point A(0 ; 7) et la droite T est tangente en A à la courbe
C . Le point B(−2 ; 1) appartient à la droite T.
1. À l’aide des données précédentes et du graphique, donner sans justification
les valeurs de f (0), f ′ (0) et f ′ (3).
2. Exprimer f (0) en fonction de b et de c.
3. a. Montrer que, pour tout réel x, f ′ (x) = (ax + a + b)ex .
b. En déduire les expressions de f ′ (0) et de f ′ (3) en fonction de a et de b.
4. a. En utilisant les résultats des questions 1., 2. et 3.b, montrer que a, b et c
vérifient le système d’équations :

 b +c
a +b

4a + b
=
=
=
7
3
0
b. Déterminer les valeurs de a, b et c puis donner l’expression de f (x).
Partie B : Étude de la fonction f
Dans la suite du problème, on admet que la fonction f est définie sur R par :
f (x) = (−x + 4)ex + 3
1. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
2. En remarquant que, pour tout réel x, f (x) = −xex + 4ex + 3, calculer la limite
de la fonction f en −∞ (on rappelle que lim xex = 0).
x→−∞
Interpréter graphiquement la limite trouvée.
3. a. Déterminer la dérivée de la fonction f et étudier son signe.
b. Donner le tableau de variations de la fonction f .
Partie C : Calcul d’aire
1. On considère la fonction F définie sur R par
F (x) = (−x + 5)ex + 3x.
Montrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur R
2. a. Soit D le domaine du plan délimité par la courbe C , la droite T d’équation
y = 3x + 7 et les droites d’équation x = 0 et x = 3.
Hachurer le domaine D sur le graphique de l’annexe.
1
b. Calculer, en centimètres carrés, l’aire A du domaine D. On donnera la
valeur exacte de A puis une valeur arrondie à 10−2 près.
Annexe (problème) à rendre avec la copie
24
20
16
12
8
b
4
b
−5
−4
−3
−2
1
−1
−4
−8
−12
−16
2
2
C ORRECTION DE L’ EXERCICE
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A : Détermination d’une fonction f
1−7
= −3 et f ′ (3) = 0 (tangente horizontale, donc
0 − (−2)
nombre dérivé nul pour x = 3.
1. On a f (0) = 7; f ′ (0) =
2. L’écriture f (x) = (ax + b)ex + c donne pour x = 0,
f (0) = be0 + c = b + c.
3. a. f somme de fonctions dérivables sur R est dérivable sur R et :
f ′ (x) = aex + (ax + b)ex = ex (a + ax + b) = (ax + a + b)ex .
b. Le résultat précédent donne pour x = 0 et x = 3, respectivement :
f ′ (0) = (a × 0 + a + b)e0 = a + b ;
f ′ (3) = (a × 3 + a + b)e3 = (4a + b)e3 .
4. a. En utilisant tous les résultats précédents on obtient :

 f (0)
f ′ (0)
 ′
f (3)
=
=
=
7
−3
0

 b +c
a +b
ou

4a + b
=
=
=
7 (1)
3 (2)
0 (3)
b. Par différence (3) - (2), on obtient :
3a = −3 soit a = −1 ; (2) donne alors −1+b = 3 ou b = 1+3 = 4 et (1) donne
4 + c = 7 soit c = 3.
Conclusion : f est définie sur R par f (x) = (−x + 4)ex + 3.
Partie B : Étude de la fonction f
1. On a lim (−x+4) = −∞ et lim ex = +∞ donc par produit de limites lim f (x) =
x→+∞
x→+∞
x→+∞
−∞.
2. En développant on obtient :
f (x) = −xex + 4ex + 3.
On sait que lim ex = 0, donc lim 4ex = 0 et on admet que lim xex = 0 ;
x→−∞
x→−∞
x→−∞
donc par somme de limites on a lim f (x) = 3.
x→−∞
Géométriquement ce résultat signifie que la droite d’équation y = 3 est asymptote horizontale à C au voisinage de moins l’infini.
3. a. On a vu à la partie A que :
f ′ (x) = (ax + a + b)ex = (−1x + (−1) + 4)e x = (−x + 3)ex .
On sait que ex > 0 quel que soit le réel x, donc le signe de f ′ (x) est celui
de (−x + 3). D’où :
si −x + 3 > 0 ou x < 3, f ′ (x) > 0 : la fonction est donc croissante sur ] −
∞ ; [;
si −x + 3 < 0 ou x > 3, f ′ (x) < 0 : la fonction est donc décroissante sur
]3 ; +∞[.
f (3) est le maximum de f sur R : f (3) = (−3 + 4)e3 = e3 .
x
3
−∞
f ′ (x)
0
+
+∞
−
e3
f
b.
3
−∞
3
Partie C : Calcul d’aire
1. F est dérivable sur R et sur cet intervalle :
F ′ (x) = −ex + (−x + 5)ex + 3 = ex (−x + 4) + 3 = f (x).
Donc F est primitive de la fonction f sur R
2. a. Voir la figure
b. La courbe C étant au dessus de la droite T, l’aire, en unité d’aire de D est
égal à l’intégrale :
Z3
Z3
Z3
Z3
A =
[ f (x) − (3x + 7)] dx =
f (x) dx −
3x dx −
7 dx = [F (x)]30 −
0
0
0
0
¡
¢ 3
3
3 23
[x ]0 −7[x]30 = (−3+5)e3 +3×3− (−0 + 5)e0 + 3 × 0 − 32 + 02 −7×3+7×
2
2
2
27
61
0 = 2e3 +9−5− −21 = 2e3 −
≈ 9, 671 ≈ 9, 67 unité d’aire.(résultat que
2
2
l’on peut conforter approximativement sur la figure chaque carré ayant
une aire de 4).
Annexe (problème) à rendre avec la copie
24
20
16
12
8
b
4
b
−5
−4
−3
−2
1
−1
−4
−8
−12
−16
4
2