Fonctions puissance Fonctions trigonométriques

Fonctions puissance
Fonctions trigonométriques
Croissances comparées
I. Fonctions puissance : définition
Puissance réelle :
a
n
= a × a × ... × a (n fois) quand n est entier naturel et a un nombre réel.
Nous allons définir pour le nombre réel strictement positif a, sa
valeur à une puissance réelle
α :
a
α
= e
α ln a
Propriétés :
On retrouve des propriétés que vérifier la fonction exponentielle.
Soit
α et β appartenant à !. On a :
a
α + β
= a
α
× a
β
a
β −
=
1
a
β
a
α - β
=
a
a
αβ
On a aussi : (a
× b)
α
= a
α
× b
α
(b> 0 aussi).
II. Etude de fonctions puissance
Puissance entière :
Soit f :
n
x x" , pour n∈ ! et n > 1, et x ∈! .
f’(x) = n x
n-1
.
• 1
er
cas : Si n est impair
n-1 est pair et f’(x) > 0 pour tout x dans
! .
f est donc strictement croissante sur
! .
On a que f est impaire.
Exemple : f(x) = x
3
• 2
ième cas : Si n est pair
n-1 est impair .
f’(x) > 0 pour tout x dans
*
+
! .
f’(x) < 0 pour tout x dans
*
−
! .
f est donc strictement décroissante sur
−
! et strictement croissante sur
+
!
On a que f est paire.
Exemple : f(x) = x2
Puissance réelle :
Soit f :
ln( ) x
xxe
αα
= " , pour α ∈ ! et x
*
+
∈! .
f’(x) =
ln( ) 1 x
x
xx
ex
α
αα
αα
α
−
⋅
==⋅ .
• 1
er cas :
α > 0
f’(
x ) > 0 pout tout x dans
*
+
! . f est strictement croissante sur
*
+
! .
0
lim ln( )
x
x α
→
=−∞ , donc
ln( )
0
lim 0
x
x
e
α
→
= .
lim ln( )
x
x α
→+∞
=+∞ , donc
ln( )
lim
x
x
e
α
→+∞
=+∞ .
• 2
ième cas :
α < 0
f’(
x ) < 0 pout tout x dans
*
+
! . f est strictement décroissante sur
*
+
! .
0
lim ln( )
x
x α
→
=+∞ , donc
ln( )
0
lim
x
x
e
α
→
=+∞ .
lim ln( )
x
x α
→+∞
=−∞ , donc
ln( )
lim 0
x
x
e
α
→+∞
=
.
Exemples :
En bleu : f(
x ) =
2
1
2
x
x−= .
En vert : g(
x ) = x
0,6.
En violet : h(x) =
x
π
.
III. Croissances comparées
On a les limites suivantes :
exp( )
lim
x
x
x
α
→+∞
=+∞ et lim exp( ) 0
x
xx
α
→+∞
−= .
ln( )
lim
0
x
x
x
α
→+∞
= si α > 0.
A l’infini :
• la fonction exponentielle croît plus vite que toutes les fonctions
puissances.
• Les fonctions puissances avec α > 0 croissent plus vite que la
fonction logarithme.
IV. Fonctions trigonométriques
Fonction cosinus et sinus :
Voir la fiche de 1ière STI sur les fonctions trigonométriques.
Fonction tangente :
Soit f : sin
cos
tan( )
x
x
xx="
.
La fonction f est définie sur D =
2
\{ } k
π
π + !
.
Elle est périodique, de période
π
(
tan( ) tan( ) x x π +=
pour x dans
D
).
Elle est impaire, c'est-à-dire que
tan( ) tan( ) x x−=−
pour x dans D .
f est dérivable sur
D
et tan’( x ) = 1
2
cos ( )xpour
x dans D .
Editeur : MemoPage.com SA © / Auteur : Pierre Larivière / 2008