Fonctions puissance Fonctions trigonométriques

lim
x→+∞
f’(x) > 0 pour tout x dans ! + .
III. Croissances comparées
• 2ième cas : Si n est pair
n-1 est impair .
*
f’(x) < 0 pour tout x dans ! * .
−
f est donc strictement décroissante sur
! − et strictement croissante sur ! +
On a que f est paire.
Exemple : f(x) = x2
Puissance réelle :
Soit f : x " xα = eα ln( x ) , pour α ∈ ! et x∈ ! *+ .
α α ln( x ) α α
e
= ⋅ x = α ⋅ xα −1 .
f’(x) =
x
x
• 1er cas : α > 0
f’(x) > 0 pout tout x dans ! *+ . f est strictement croissante sur ! *+ .
lim α ln( x) = −∞ , donc lim eα ln( x ) = 0 .
x →0
x →0
lim α ln( x) = +∞ , donc lim eα ln( x ) = +∞ .
x →+∞
x →+∞
• 2ième cas : α < 0
f’(x) < 0 pout tout x dans ! *+ . f est strictement décroissante sur ! *+ .
On a les limites suivantes :
= +∞ et lim xα exp(− x) = 0 .
exp( x )
xα
ln( x )
lim
x→+∞ xα
x→+∞
= 0 si α > 0.
A l’infini :
• la fonction exponentielle croît plus vite que toutes les fonctions
puissances.
• Les fonctions puissances avec α > 0 croissent plus vite que la
fonction logarithme.
IV. Fonctions trigonométriques
Fonction cosinus et sinus :
Voir la fiche de 1ière STI sur les fonctions trigonométriques.
Fonction tangente :
sin x
Soit f : x " tan( x) = cos x .
π
La fonction f est définie sur D = ! \ { 2 + kπ }.
Elle est périodique, de période π ( tan( x + π ) = tan( x) pour x dans D).
Elle est impaire, c'est-à-dire que tan(− x) = − tan( x) pour x dans D.
f est dérivable sur D et tan’(x) =
lim α ln( x) = +∞ , donc lim eα ln( x ) = +∞ .
x →0
1
cos2 ( x )
pour x dans D.
x →0
lim α ln( x) = −∞ , donc lim eα ln( x ) = 0 .
x →+∞
x → +∞
Exemples :
En bleu : f(x) = x −2 =
1
x2
.
En vert : g(x) = x0,6.
En violet : h(x) = xπ .
Editeur : MemoPage.com SA © / Auteur : Pierre Larivière / 2008
Exemple : f(x) = x3
f est donc strictement croissante sur ! .
On a que f est impaire.
• 1er cas : Si n est impair
n-1 est pair et f’(x) > 0 pour tout x dans ! .
Soit f : x " x n , pour n∈ ! et n > 1, et x∈ ! .
f’(x) = n xn-1.
Puissance entière :
II. Etude de fonctions puissance
aα
aα - β = β
a
On a aussi : (a
×
b) α = a α
×
b α (b> 0 aussi).
a −β = β
a
1
Propriétés :
On retrouve des propriétés que vérifier la fonction exponentielle.
Soit α et β appartenant à ! . On a :
aα + β = aα × a β
Puissance réelle :
an = a × a × ... × a (n fois) quand n est entier naturel et a un nombre réel.
Nous allons définir pour le nombre réel strictement positif a, sa
valeur à une puissance réelle α :
a α = e α ln a
I. Fonctions puissance : définition
Fonctions puissance
Fonctions trigonométriques
Croissances comparées