Classe de TSI2 - Exercices de mathématiques

Probabilités sur un univers ni ou dénombrable
I Espaces probabilisés
I.A
I.B
I.C
I.D
I.E
Ensembles dénombrables . . . . . . .
Expérience aléatoire. Évènements. .
Réunion et intersection d'évènements
Système complet d'évènements . . .
Espace probabilisé . . . . . . . . . .
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Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formules de conditionnement . . . . . . . . . . . . . . .
Indépendance de deux évènements . . . . . . . . . . . .
Indépendance mutuelle d'une famille nie d'évènements
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. 8
. 9
. 12
. 13
II Indépendance et conditionnement
II.A
II.B
II.C
II.D
1
.
.
.
.
.
1
1
2
4
5
8
Les résultats du cours de probabilités de première année sont repris cette année dans le cadre
plus général où l'univers est ni ou dénombrable. Toutefois, il faut revoir les dénombrements vus en
première année (en particulier le principe des arbres).
I Espaces probabilisés
I.A Ensembles dénombrables
Dénition 1. Un ensemble E est dit dénombrable s'il existe une bijection de N sur E :
ϕ:
N
n
→ E
7
→
xn
Autrement dit, l'ensemble peut être noté E = {xn n ∈ N}.
Exemples 1. Les ensembles N et Z sont dénombrables. Pour Z, il sut de considérer la bijection :

 N
n

n
→
7
→
7
→
Z
si n est pair.
si n est impair.
n
2
n+1
− 2
Dénition 2. Un ensemble E est dit au plus dénombrable s'il est ni ou dénombrable.
I.B Expérience aléatoire. Évènements.
Dénition 3. Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît l'ensemble des résultats
possibles, mais dont on ne peut pas prévoir avec certitude lequel sera réalisé.
L'ensemble Ω des résultats observables est appelé univers de l'expérience aléatoire.
Remarque 1. En première année, nous avons essentiellement considéré des univers nis. Cette année,
nous considérerons des univers nis ou dénombrables.
Exemples 2. Les expériences aléatoires suivantes se retrouvent fréquemment dans les exercices :
Expérience
Lancer d'un dé
100 questions binaires (O/N)
Lancer d'une pièce jusqu'à obtenir pile
Mise en service d'une ampoule
Résultat observable
Un entier face visible
Liste de 100 réponses
Numéro premier succès
Durée de vie (h)
1
Univers
Ω = {1, . . . , 6}
Ω = {O, N }100
Ω = N∗
Ω=N
Caractéristique de Ω
Fini
Fini
Dénombrable
Dénombrable
Remarque 2. Il faut bien prendre conscience que la description de l'ensemble
Ω est un choix de
modélisation mathématique. Par exemple, si on considère le lancer de deux dés, on peut décrire Ω
comme l'ensemble des couples (i, j) avec 1 6 i, j 6 6 où i est le chire donné par le premier dé et j
celui donné par le second dé. On aura ainsi card (Ω) = 6 × 6 = 36.
Mais on peut aussi considérer que les résultats des deux dés sont indiscernables et donc voir Ω comme
l'ensemble des couples (i, j) avec i 6 j (on note ce que l'on observe, c'est à dire deux chires dans
l'ordre croissant). Dans ce cas, on a card (Ω) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
En général, le choix fait est celui de l'information maximale (pour mieux rendre compte de la réalité),
donc le premier exemple est privilégié. Quoi qu'il en soit, une fois que ce choix est fait, tous les résultats
sont relatifs à l'univers choisi.
Dénition 4.
Un évènement élémentaire est un résultat de l'expérience aléatoire (c'est à dire un élément de
l'univers Ω).
Un évènement (ou évènement composé) est un ensemble de résultats de l'expérience aléatoire
(c'est à dire une partie de l'univers Ω).
Exemples 3.
1. Dans l'expérience du lancer de dés, l'évènement A : obtenir un chire pair est un évènement
composé des évènements élémentaires 2,4 et 6. On peut d'ailleurs noter :
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {2, 4, 6}
;
2. Dans l'expérience de la mise en service d'une ampoule, l'évènement B : obtenir une durée de
vie d'au moins 15000 heures est un évènement composé des évènements élémentaires k ∈ N,
k > 15000. On peut d'ailleurs noter :
Ω=N
;
B = [[15000, +∞[[
3. On lance une pièce de monnaie deux fois de suite et on note les résultats. Si C est l'évènement :
obtenir face au moins sur l'un des lancers , on peut écrire :
Ω = {(P, P ), (P, F ), (F, P ), (F, F )}
C = {(P, F ), (F, P ), (F, F )}
;
Remarque 3. On remarque donc une proximité entre le vocabulaire ensembliste et le vocabulaire
probabiliste. Les correspondances sont consignées dans le tableau ci-dessous :
Notation
∅
Ω
ω∈Ω
A⊂Ω
A⊂B
A∪B
A∩B
Ac
A∩B =∅
Vocabulaire ensembliste
Ensemble vide
Ensemble plein
Élément de Ω
Sous-ensemble de Ω
A inclus dans B
Réunion de A et B
Intersection de A et B
Complémentaire de A dans Ω
A et B sont disjoints
Vocabulaire probabiliste
Évènement impossible
Évènement certain
Évènement élémentaire
Évènement
A implique B
A ou B
A et B
Évènement contraire de A (∗)
A et B sont incompatibles
(∗) Se note en général A pour les probabilités.
I.C Réunion et intersection d'évènements
Les opérations logiques sur les évènements décrites dans le tableau peuvent bien sûr faire intervenir
plus de deux évènements :
2
Dénition 5. Soit Ω l'univers des résultats d'une expérience aléatoire. Si A1 , . . . , An sont des évènements, alors :
1. l'évènement réalisation de l'un au moins des Ai (1 6 i 6 n) est :
n
[
Ai = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An
i=1
2. L'évènement réalisation de tous les Ai (1 6 i 6 n) est :
n
\
Ai = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An
i=1
Remarque 4. On peut facilement étendre ces dénitions à toute famille dénombrable d'évènements
(Ai )i∈N :
[
Ai
=
+∞
[
i∈N
i=1
\
+∞
\
Ai
=
Ai = Réalisation de l'un au moins des Ai , i ∈ N∗
Ai = Réalisation de tous les Ai , i ∈ N∗
i=1
i∈N
Exemple 4. On considère l'expérience du lancer d'un dé à six faces et les deux évènements :
A = Obtenir un nombre pair = {2, 4, 6}
et B = Obtenir un multiple de 3 = {3, 6}
On peut décrire la réunion de ces deux évènements par :
A ∪ B = Obtenir un nombre pair ou multiple de 3 = {2, 3, 4, 6}
et l'intersection par :
A ∩ B = Obtenir un nombre pair et multiple de 3 = {6}
Exemple 5 (Très important). Alice et Bruno lancent le même dé à tour de rôle (Alice commence).
Le gagnant est le premier à obtenir un six. On cherche à décrire les évènements :
A : Victoire d'Alice ; B : Victoire de Bruno ;
C : Pas de vainqueur à l'aide des évènements Fn : Fin du jeu au nième lancer . Il est clair qu'Alice ne peut gagner que
lors d'un lancer impair n = 2k + 1, donc il se sera produit l'évènement : F2k+1 pour un k ∈ N.
L'évènement A se produit lorsqu'il y aura réalisation de l'un au moins des F2k+1 pour k ∈ N, c'est à
dire :
A=
+∞
[
F2k+1
k=0
De même, l'évènement B se produit lorsqu'il y aura réalisation de l'un au moins des F2k pour k ∈ N∗ ,
c'est à dire :
B=
+∞
[
F2k
k=1
L'évènement C se produit lorsqu'il n'y aura réalisation d'aucun des Fk pour k ∈ N∗ , c'est à dire
lorsqu'il y a réalisation de tous les évènements contaires :
C=
+∞
\
n=1
3
Fn
Remarque 5. Dans l'exemple précédent, on décrit des évènements à l'aide d'autres évènements et
pas à partir de l'univers Ω. Ce dernier ne présente pas un grand intérêt mais on pourrait le décrire
comme l'ensemble des évènements élémentaires ω du type suivant :
ω est une suite nie de chires pris parmi {1, 2, 3, 4, 5} et terminée par un 6.
ω est une suite innie de chires pris parmi {1, 2, 3, 4, 5}.
Dans ce cas, on pourrait décrire de la manière suivante l'évènement C de l'exemple 5 :
∗
C = {1, 2, 3, 4, 5}N
et l'évènement Fn comme ceci :
Fn = {1, 2, 3, 4, 5}n−1 × {6}
Il faut noter qu'on sort alors du cadre du programme puisque l'univers Ω ainsi décrit n'est pas
dénombrable. Une façon dénombrable (mais moins riche d'informations) de décrire l'univers est bien
sûr le numéro d'apparition du premier succès, et dans ce cas Fn est un évènement élémentaire.
Exercice 1
On eectue une suite innie de lancers d'une pièce de monnaie. Pour tout i ∈ N∗ , on note :
Ai = {Obtention de pile au i-ème lancer}.
1. Dénir par une phrase ne comportant aucun vocabulaire mathématique chacun des évènements :
E1 =
5
[
Ai ,
E2 =
i=1
+∞
\
Ai ,
E3 =
i=5
4
\
i=1
!
Ai
∩
+∞
\
!
Ai
i=5
,
E4 =
[
Ai
i>4
2. On pose Cn = i>n Ai . Montrer que la suite (Cn ) est décroissante (i.e. que pour tout n > 1,
Cn+1 est inclus dans Cn ). Caractériser
d'une phrase ne comportant pas de vocabulaire mathé\
matique l'évènement C =
Cn .
S
n>1
3. Écrire à l'aide des Ai les évènements suivants :
Bn = {On n'obtient plus que des pile à partir du n-ième lancer}
B = {On n'obtient plus que des pile à partir d'un certain lancer}
[proba1]
I.D Système complet d'évènements
Dénition 6. Soit I ⊂ N. On appelle système complet d'événements tout ensemble {Ai , i ∈ I} ni
ou dénombrable d'événements 2 à 2 incompatibles, et dont la réunion fait l'univers Ω. Autrement dit,
{Ai , i ∈ I} est un système complet d'événements si, et seulement si :
1. Pour i 6= j , Ai ∩ Aj = ∅.
2.
[
Ai = Ω.
i∈I
En d'autres termes, le résultat de l'expérience aléatoire impliquera la réalisation d'un et d'un seul de
ces évènements.
Exemples 6.
1. Lorsqu'on lance un dé à 6 faces, les évènements :
A1 = {Obtenir un nombre pair} et A2 = {Obtenir un nombre impair}
forment un système complet (ni) d'évènements.
2. Dans l'exemple 5, les évènements A, B et C forment un système complet ni d'évènements.
Mais également, si on considère les évènements :
Fn = {Fin du jeu au nième lancer.}
alors l'ensemble {Fn , n ∈ N∗ } ∪ C forme un système complet dénombrable d'évènements.
4
I.E Espace probabilisé
Dénition 7. On appelle probabilité sur un univers Ω ni ou dénombrable toute application P de
P(Ω) dans [0, 1] vériant les deux axiomes :
1. P (Ω) = 1.
2. Si (Ak )k∈N est une suite d'événements 2 à 2 incompatibles, alors :
!
[
P
Ak
=
k∈N
+∞
X
P (Ak )
k=0
On dit alors que (Ω, P ) est un espace probabilisé, et pour tout A de P(Ω), P (A) est la probabilité
de l'événement A.
1
Proposition 1. Toute probabilité P sur Ω vérie les propriétés suivantes :
1. P (∅) = 0.
2. (a) Si A ∩ B = ∅, alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
(b) Si A1 , · · · , An sont des évènements 2 à 2 incompatibles, alors :
P
n
[
!
Ak
=
k=1
n
X
P (Ak )
k=1
3. Si A ∈ P(Ω), alors P (A) = 1 − P (A).
4. Si A, B ∈ P(Ω) et A ⊂ B , alors P (A) 6 P (B).
5. Si A, B ∈ P(Ω), alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Démonstration.
1. On considère la suite d'événements (Ak )k∈N , avec Ak = ∅ pour tout k ∈ N. Ces évènements sont bien sûr deux
à deux incompatibles d'où :

P (∅) = P 

[
Ak  =
k∈N
2.
+∞
X
P (Ak ) = P (A0 ) + P (A1 ) +
k=0
+∞
X
P (Ak ) > P (A0 ) + P (A1 )
k=0
Donc P (∅ > 2P (∅), ce qui entraîne P (∅) 6 0. Ainsi P (∅) = 0.
(a) On considère la suite d'événements (Ak )k∈N , avec A0 = A, A1 = B et Ak = ∅ pour tout k > 2. On a une
suite d'évènements deux à deux incompatibles d'où :

P (A ∪ B) = P 

[
k∈N
Ak  =
+∞
X
P (Ak ) = P (A0 ) + P (A1 ) +
k=0
+∞
X
P (Ak ) = P (A) + P (B) +
k=0
+∞
X
k=0
P (∅)
| {z }
=0
D'où P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
(b) Même principe de démonstration, ou par récurrence.
3. Soit A ∈ P(Ω). A et A sont deux ensembles disjoints dont la réunion fait Ω donc :
1 = P (Ω) = P (A ∪ A) = P (A) + P (A)
d'où P (A) = 1 − P (A).
4. Soit A, B ∈ P(Ω) tel que A ⊂ B . Alors : B = A ∪ (A ∩ B) (réunion disjointe). D'où :
P (B) = P (A) + P (A ∩ B) > P (A)
| {z }
>0
Ainsi P (A) 6 P (B).
1. Une probabilité est donc une fonction qui à un événement A ∈ P(Ω) associe un nombre compris entre 0 et 1
censé mesurer les chances de réalisation de cet évènement. Dans la pratique, ce n'est pas toujours possible d'attribuer
un tel nombre de manière cohérente à chaque partie de Ω, et on se limite à un ensemble d'évènements appelé tribu de
Ω (notion hors programme).
5
5. On remarque que A ∪ B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B ∩ A) (réunion disjointe) et que les réunions suivantes sont
également disjointes :
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ;
B = (A ∩ B) ∪ (B ∩ A).
D'où :
P (A ∪ B)
P (A ∪ B)
Remarque 6. Si {An ,
=
P (A ∩ B) + P (A ∩ B) + P (B ∩ A)
P (A) − P (A ∩ B) + P (A ∩ B) + P (B) − P (A ∩ B)
=
P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
=
n ∈ N} est un système complet d'événements, alors
+∞
X
P (An ) = P (Ω) = 1.
n=0
Exercice 2
On reprend l'exemple 5. On donne, pour n > 1, la probabilité de l'évènement Fn : La partie se
termine au nième lancer qui est P (Fn ) = (5/6)n−1 (1/6). 2
Calculer les probabilités P (A) et P (B) de victoire de chacun des deux participants.
En déduire la probabilité de l'évènement C : Il n'y a pas de vainqueur . Le résultat est-il conforme
à l'intuition ?
[proba2]
Exercice 3
Deux évènements A et B sont tels que P (A) = P (B) = 0, 75. Quel est le maximum de P (A ∩ B) ?
Quel est son minimum ?
[proba3]
Remarque 7 (et rappel). Si
Ω est ni, la dénition 7 reste valable, mais équivaut à celle vue en
première année : une probabilité sur un univers ni Ω est une application P de P(Ω) dans [0, 1]
vériant les deux axiomes :
1. P (Ω) = 1.
2. Si A et B sont des évènements incompatibles, alors : P (A ∪ B) = P (A) + P (B) (formule
d'additivité).
Démonstration.
: Immédiat avec la proposition 1.
: Si (Ak )k∈N est une suite d'évènements 2 à 2 incompatibles, on a nécessairement Ak = ∅ à partir d'un certain
rang. En eet, pour tout entier n :
=⇒
⇐=
n
[
card
!
Ak
=
k=0
n
X
card (Ak ) 6 card (Ω)
k=0
et card (Ak ) est donc nécessairement nul à partir d'un certain rang.
Ensuite, avec la formule d'additivité (généralisée au rang n), on a :
P
+∞
[
!
Ak
=P
k=0
n
[
!
Ak
k=0
=
n
X
P (Ak ) =
k=0
+∞
X
P (Ak )
k=0
Remarque 8. Pour un univers ni Ω, on dénit souvent une probabilité comme suit :
P (A) =
card (A)
Nombre de cas favorables
=
card (Ω)
Nombres de cas possibles
Dans cet exemple, on parle d'équiprobabilité : c'est à dire que tous les évènements élémentaires ont
la même probabilité card1 (Ω) . On vérie immédiatement les deux axiomes car :
P (Ω) =
card (Ω)
=1
card (Ω)
2. Ce résultat sera démontré ultérieurement
6
et si A et B sont disjoints :
P (A ∪ B) =
card (A ∪ B)
card (A)
card (B)
=
+
= P (A) + P (B)
card (Ω)
card (Ω)
card (Ω)
Plus généralement, si P est une probabilité dénie sur un univers Ω = {ω1 , . . . , ωn } de cardinal n ∈ N,
alors elle est déterminée par la donnée des nombres pk := P ({ωk }). Réciproquement, avec n nombres
réels positifs p1 , . . . , pn de somme 1, on dénit une probabilité P en posant P ({ωk }) = pk .
Par exemple, si on considère l'expérience d'une course à pieds entre n candidats n'ayant pas les mêmes
capacité physiques, on peut considérer que les probabilités de chaque participant de l'emporter sont
diérentes. La somme de ces probabilités doit bien sûr être égale à 1 puisqu'on est certain qu'il y
aura un vainqueur.
Exemple 7. On peut dénir des probabilités pour le lancer de deux dés sur chacun des univers
décrits dans la remarque 2 :
Ω1
= {(i, j), 1 6 i, j 6 6}
Ω2
= {(i, j), 1 6 i 6 j 6 6}
(1)
(2)
Si on fait le choix de l'équiprobabilité, on remarque que l'évènement faire un double 6 aura une
probabilité de 1/36 sur Ω1 et de 1/21 sur Ω2 . Mathématiquement, les deux modèles sont cohérents,
mais on peut penser par l'expérience statistique que le premier rend mieux compte de la réalité : si
on prend deux dés de couleurs diérentes, faire (1, 2) et (2, 1), ce n'est pas visiblement la même chose.
On peut aussi choisir sur le second univers une probabilité en cohérence avec le premier en prenant :
P (i, i) = 1/36
et P (i, j) = 1/18, si i 6= j
Dans ce cas, il n'y a pas équiprobabilité. Il ne faut pas perdre de vue qu'une probabilité attribuée à
un évènement élémentaire est un choix de modélisation, qui peut être discuté quand à sa pertinence
à rendre compte de la réalité.
Remarque 9. Pour un univers ni on considère en général, si le contraire n'est pas précisé, que tous
les évènements élémentaires sont équiprobables, ce qui implique plutôt le choix de l'univers Ω1 dans
l'exemple précédent.
Exercice 4
On lance un dé bien équilibré à six faces (c'est à dire qu'on considère que les résultats sont équiprobables). Calculer les probabilités des évènements suivants :
1. A1 : Faire un 6 .
2. A2 : Faire un nombre impair .
3. A3 : Faire un multiple de 3 .
[proba4]
Exercice 5
On lance deux dés bien équilibrés à six faces (qu'on suppose discernables). Décrire l'ensemble des
résultats à l'aide d'un arbre. Représenter les sommes dans un tableau à deux entrées. En déduire les
probabilités des évènements suivants :
1. A1 = {La somme est égale à 8.}.
2. A2 = {La somme est égale à 7.}.
3. A3 = {On obtient un double}.
4. A4 = {La somme est un nombre pair.}.
5. A5 = {La somme est un multiple de 3.}.
6. A6 = {La somme est un nombre pair ou un multiple de 3.}.
7. A7 = {La somme est un nombre pair et un multiple de 3.}.
7
[proba5]
Exercice 6
Lors d'une loterie de Noël, 300 billets sont vendus aux enfants de l'école ; 4 billets sont gagnants.
J'achète 10 billets, quelle est la probabilité pour que je gagne au moins un lot ?
[proba6]
Remarque 10. Pour un univers dénombrable
Ω = {ωn }n∈N , on ne peut évidemment plus avoir
d'équiprobabilité. Pour k ∈ N, on peut caractériser une probabilité P par P ({ωk }) = pk , avec :
+∞
X
pk =
k=1
+∞
X
P ({ωk }) = 1
k=1
Exercice 7
On pose, pour n ∈ N, P ({n}) =
1
.
2n+1
1. Montrer qu'on dénit ainsi une probabilité sur N.
2. Calculer la probabilité de l'évènement B = {n ∈ N, n > 10}.
3. Calculer la probabilité de l'ensemble I des entiers naturels impairs.
[proba4]
II Indépendance et conditionnement
II.A Probabilité conditionnelle
La question qui va maintenant se poser est de savoir de quelle façon on peut modier la probabilité
d'un événement lorsqu'on dispose d'une information supplémentaire.
Prenons l'exemple d'un club de tennis qui compte n licenciés, dont nH hommes et nF = n − nH
femmes. Il y a nG gauchers (des deux sexes) parmi tous les licenciés. On choisit un pratiquant au
hasard. Notons les évènements suivants :
G =
{Le pratiquant choisi au hasard est gaucher}
H
{Le pratiquant choisi au hasard est un homme}
=
On note nG∩H le nombre d'hommes gauchers pratiquants. En considérant les divers choix comme
équiprobables, on peut calculer :
P (H) =
nH
n
et P (G ∩ H) =
nG∩H
n
On cherche quelle est la probabilité qu'un participant homme choisi au hasard soit gaucher. Autrement
dit, quelle est la probabilité qu'il soit gaucher sachant que c'est un homme ? Il est clair que c'est :
nG∩H
P (G ∩ H) × n
P (G ∩ H)
=
=
nH
P (H) × n
P (H)
ceci motive la dénition suivante :
Dénition 8. Soit
(Ω, P ) un espace probabilisé. A et B deux évènements tels que P (B) > 0. On
appelle probabilité conditionnelle de A sachant B le réel :
PB (A) =
P (A ∩ B)
P (B)
(noté aussi : P (A|B))
8
Théorème 1. L'application PB est une probabilité sur Ω.
Démonstration.
?
Comme A ∩ B ⊂ B , on a 0 6 P (A ∩ B) 6 P (B), d'où 0 6 PB (A) =
? PB (Ω) =
?
Vérions les trois points qui caractérisent une probabilité :
P (A ∩ B)
6 1.
P (B)
P (Ω ∩ B)
P (B)
=
= 1.
P (B)
P (B)
On démontre le dernier point pour Ω ni, il est admis pour Ω dénombrable. Soient A1 et A2 deux évènements
incompatibles :
PB (A1 ∪ A2 ) =
P (A1 ∪ A2 ) ∩ B
P (B)
La réunion étant disjointe, on a :
PB (A1 ∪ A2 ) =
=
P (A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B)
P (B)
P (A1 ∩ B)
P (A2 ∩ B)
+
= PB (A1 ) + PB (A2 )
P (B)
P (B)
Exercice 8
On considère une urne qui contient 3 boules blanches et deux boules rouges. On en tire deux l'une
après l'autre, sans remise. On considère les évènements :
A
= {obtenir une boule rouge au premier tirage}
B
= {obtenir une boule rouge au second tirage}
L'univers Ω des résultats possibles est constitué des couples de boules obtenus au tirage, en tenant
compte de l'ordre et du fait que les boules sont discernables (cf remarque 2). Ainsi, on considère que
chacun des évènements élémentaires est équiprobable.
1. Quel est le cardinal de Ω ?
2. Calculer le cardinal de A. en déduire P (A).
3. Calculer le cardinal de A ∩ B . En déduire P (A ∩ B).
4. En déduire la probabilité P (B|A) d'obtenir une boule rouge au second tirage sachant que la
première est rouge. Le résultat est-il conforme à l'intuition ?
[proba5]
Remarque 11. En général, c'est le contraire de l'exercice qu'on eectue. On calcule d'abord P (B|A),
qui est généralement un calcul facile (comme ici), puis on en déduit P (A ∩ B).
Pour reprendre l'exemple précédent, on admettra qu'on peut calculer P (B|A) comme si on isolait
le second tirage : il s'agit donc du calcul de la probabilité d'obtenir une boule rouge en eectuant
un tirage dans une urne qui contient une boule rouge et trois boules blanche (sachant que la boule
blanche tirée au premier tirage n'est plus dans l'urne).
II.B Formules de conditionnement
Théorème 2 (Formule des probabilités composées).
Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. A et B deux évènements tel que P (A) > 0. Alors :
P (A ∩ B) = P (A) × P (B|A)
Démonstration.
C'est immédiat avec la dénition d'une probabilité conditionnelle.
Remarque 12. Il peut être utile de savoir généraliser cette formule à une intersection quelconque.
Par exemple, si A, B et C sont trois évènements tels que P (A ∩ B) > 0, alors :
P (A ∩ B ∩ C)
=
P (A ∩ B) × P (C|A ∩ B)
=
P (A) × P (B|A) × P (C|A ∩ B)
Plus généralement, le théorème suivant se montre par récurrence :
9
Théorème 3 (Formule des probabilités composées généralisée).
Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. A1 , · · · , An des évènements tels que P (A1 ∩ · · · ∩ An ) > 0. Alors :
P (A1 ∩ · · · ∩ An ) = P (A1 ) × P (A2 |A1 ) × P (A3 |A1 ∩ A2 ) × · · · × P (An |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An−1 )
Exemple 8. On reprend l'urne de l'exercice 8, contenant deux boules rouges et trois boules blanches.
Cette fois-ci, on eectue trois tirages successifs sans remise et on cherche la probabilité de tirer trois
boules blanches. En notant :
Ci
= {obtenir une boule blanche au i-ème tirage}
Il y a trois possibilités sur cinq que la première boule soit blanche donc P (C1 ) = 3/5. Si une boule
blanche est tirée, il ne reste plus que deux boules blanches sur quatre boules restantes au second
tirage donc P (C2 |C1 ) = 2/4. Enn, si on a tiré des boules blanches aux deux premiers tirages, il ne
reste plus qu'une boule blanche sur trois boules restantes d'où P (C3 |C1 ∩ C2 ) = 1/3. Ainsi, avec la
formule des probabilités composées généralisée :
P (C1 ∩ C2 ∩ C3 )
= P (C1 ) × P (C2 |C1 ) × P (C3 |C1 ∩ C2 )
1
3 2 1
× × =
=
5 4 3
10
Théorème 4 (Formule de Bayes).
Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. A et B deux évènements tel que P (A) > 0 et P (B) > 0. Alors :
P (A|B) =
P (B|A)P (A)
P (B)
Remarque 13. Cette formule permet de passer d'une probabilité conditionnelle à une autre.
Démonstration.
D'après la formule des probabilités composées, on a :
P (A ∩ B) = P (A|B) × P (B) = P (B|A) × P (A)
et le résultat en découle immédiatement.
Théorème 5 (Formule des probabilités totales).
Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. B un évènement tel que P (B) > 0. I ⊂ N. Si (Ai )i∈I est un système
complet d'évènements de probabilités non nulles alors :
P (B) =
X
P (B ∩ Ai ) =
i∈I
X
P (B|Ai )P (Ai )
i∈I
Remarque 14. La formule
X reste valable dans le cas d'une famille (Ai )i∈I d'évènements deux à deux
incompatibles tels que
P (Ai ) = 1.
i∈I
Remarque 15. Lorsque le système complet (A1 , . . . , An ) est ni, la formule devient :
P (B) =
n
X
P (B ∩ Ak ) =
k=1
n
X
P (B|Ak )P (Ak )
k=1
Elle est particulièrement employée pour un système complet formé d'un évènement et de son contraire :
P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ A) = P (B|A)P (A) + P (B|A)P (A)
Remarque 16. Lorsque le système complet (An )n∈N est dénombrable, la formule devient :
P (B) =
+∞
X
P (B ∩ An ) =
n=0
+∞
X
n=0
10
P (B|An )P (An )
Dans le cas où (A1 , . . . , An ) est un système complet ni.
Les évènements A1 , · · · , An sont deux à deux incompatibles, donc les évènements B ∩ A1 , · · · , B ∩ An sont également
deux à deux incompatibles. En eet, pour i 6= j :
Démonstration.
(B ∩ Ai ) ∩ (B ∩ Aj ) = B ∩ (Ai ∩ Aj ) = B ∩ ∅ = ∅
De plus, la réunion de ces ensembles forme l'ensemble B :
(B ∩ A1 ) ∪ · · · ∪ (B ∩ An ) = B ∩ (A1 ∪ · · · ∪ An ) = B ∩ Ω = B
D'où :
P (B)
Donc P (B) =
n
X
P (B ∩ Ak ) =
k=1
n
X
=
P (B ∩ A1 ) ∪ · · · ∪ (B ∩ An )
=
P (B ∩ A1 ) + · · · + P (B ∩ An )
P (B|Ak )P (Ak )
(avec la formule des probabilités composées).
k=1
Exercice 9
Un débutant à un jeu eectue plusieurs parties successives. Pour la première partie, les probabilités
de gagner ou de perdre sont les mêmes. Puis on suppose que :
Si une partie est gagnée, la probabilité de gagner la suivante est 0, 6.
Si une partie est perdue, la probabilité de perdre la suivante est 0, 7.
Soit Gn l'évènement Gagner la partie n , et un = P (Gn ). On note vn = P (Gn ).
1. Écrire deux relations entre un , un+1 , vn , vn+1 .
2. À l'aide de la matrice mise en évidence, en déduire un et vn .
Faire un calcul direct à l'aide de un + vn .
[proba7]
En combinant la formule de Bayes avec celle des probabilités totales, on obtient le théorème
suivant :
Corollaire 1.
Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. B un évènement tel que P (B) > 0. I ⊂ N. Si (Ai )i∈I est un système
complet d'évènements de probabilités non nulles alors pour tout j ∈ I :
P (B|Aj )P (Aj )
P (Aj |B) = X
P (B|Ai )P (Ai )
i∈I
On peut noter qu'il n'est pas nécessaire de retenir par coeur cette formule. Elle se retrouve immédiatement à l'aide des formules précédentes.
Exercice 10
Une maladie est présente dans la population à raison d'une personne malade sur 10000. Un laboratoire
pharmaceutique a développé un test de dépistage : si une personne est malade, le test est positif à
99%. Si une personne n'est pas malade, le test est positif à 0, 1%.
1. Le test vous paraît-il assez able à première vue ?
2. Calculer la probabilité qu'une personne donnée soit infectée sachant qu'elle a un test positif.
Que pensez-vous maintenant de ce test ?
[proba7]
11
II.C Indépendance de deux évènements
Dénition 9. Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. A et B deux évènements.
On dit que A et B sont indépendants si P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
Remarque 17. Si P (B) > 0, l'indépendance de A et B équivaut à l'égalité P (A|B) = P (A).
Démonstration.
Il sut de rappeler que P (A|B) =
P (A ∩ B)
P (B)
et c'est immédiat.
Remarque 18. Dans la pratique, la notion est très intuitive : on reconnaîtra deux évènements
indépendants lorsque la réalisation de l'un n'inue pas (en termes de chances de réalisation) sur la
réalisation de l'autre.
Ainsi, si on prend l'exemple d'une urne contenant des boules de couleur (3 blanches, 3 rouges), et
qu'on fait deux tirages successifs avec remise, on peut considérer que l'évènement A : tirer une
boule blanche au premier tirage n'inue pas sur l'évènement B : tirer une boule blanche au second
tirage : il y a toujours 3 possibilités sur 6 pour ce dernier (soit une probabilité de 1/2).
Mathématiquement, on peut vérier ainsi l'indépendance de A et B :
P (B) =
P (B|A) =
Nombre de tirages favorables
card (B)
6×3
1
=
=
=
Nombre de tirages possibles
card (Ω)
6×6
2
Nombre de tirages favorables
card (B ∩ A)
3×3
1
=
=
=
Nombre de tirages possibles
card (B)
6×3
2
En revanche, si le tirage s'eectue sans remise, il est intuitif que les évènements A et B ne soient plus
indépendants : si une boule rouge est obtenue au premier tirage, il y a 3 possibilités sur 5 de sortir
une boule blanche au second tirage. Si une boule blanche est obtenue au premier tirage, il ne reste
plus que 2 possibilités sur 5 d'en sortir une au second tirage.
Exemple 9. On lance une pièce deux fois successivement, et on cherche la probabilité de l'évène-
ment A : obtenir face sur les deux lancers . On considère que les résultats des deux lancers sont
indépendants. On peut décomposer A de la manière suivante : A = A1 ∩ A2 avec :
A1 = {obtenir face sur le premier lancer}
A2 = {obtenir face sur le second lancer}
Les événements A1 et A2 sont donc indépendants de probabilité égale à 1/2. Donc :
P (A) = P (A1 ) × P (A2 ) =
1
4
On peut également obtenir ce résultat en comptant le nombre de cas favorables à la réalisation de A
(un seul) et en divisant par le nombre de cas possibles (quatre).
Remarque 19. Attention car l'indépendance de deux évènements peut dépendre de la loi de probabilité, où même de l'univers, comme le montrent les exercices qui suivent.
Exercice 11
On lance deux fois une pièce. A est l'évènement obtenir pile au premier lancer et B est l'évènement
obtenir deux fois le même résultat .
Étudier l'indépendance de A et B , d'abord sous l'hypothèse que la pièce est parfaitement équilibrée,
ensuite sous l'hypothèse que la pièce est faussée de sorte que la probabilité d'obtenir pile à un lancer
3
soit .
[proba4]
5
Exercice 12
12
On s'intéresse à la répartition des sexes des enfants d'une famille de n enfants. On prend comme
modélisation :
Ωn = {f, g}n = {(x1 , . . . , xn ), xi ∈ {f, g}, i = 1, . . . , n}
muni de l'équiprobabilité. On considère les évènements :
A
= {La famille a des enfants des deux sexes}
B
= {La famille a au plus une lle}
n+1
2n − 2
et P (B) = n .
2n
2
2. En déduire que A et B ne sont indépendants que si n = 3.
1. Montrer que pour n > 2, P (A) =
[proba4]
II.D Indépendance mutuelle d'une famille nie d'évènements
Dénition 10. Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. A1 , . . . , An une famille nie d'évènements.
On dit que A1 , . . . , An sont mutuellement indépendants si pour tout i1 , · · · , ik ∈ [[1, n]], on a
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aik ) = P (Ai1 ) · P (Ai2 ) · · · P (Ain )
Remarque 20.
− En particulier, l'indépendance mutuelle d'une famille nie d'évènements entraîne l'indépendance
de ces évènements deux à deux.
− Attention car la réciproque est fausse en général. Lorsque n > 3, l'indépendance des évènements
Ak (1 6 k 6 n) deux à deux n'entraîne pas leur indépendance mutuelle.
Par exemple, on lance un dé deux fois de suite et on considère les évènements suivants :
(a) A : Le premier lancer est égal à 1. (b) B : Les deux lancers sont égaux. (c) C : Le second lancer est égal à 2. 1
6
L'univers est Ω = [[1, 6]]2 et card (Ω) = 36. On a P (A) = P (B) = P (C) = .
A et C sont clairement indépendants. Les évènements A et B (de même que B et C ) sont indé-
pendants car :
P (A ∩ B) =
card (A ∩ B)
1
=
= P (A) × P (B)
card (Ω)
36
En revanche, les évènements A, B et C ne sont pas mutuellement indépendants car :
P (A ∩ B ∩ C) = P (∅) = 0 6= P (A) × P (B) × P (C)
Il faut en fait comprendre que la connaissance simultanée de A et B modie notre information sur
C : sachant que le premier lancer fait 1 et que les deux lancers sont égaux, on sait qu'il n'est pas
possible que le second lancer soit égal à 2.
Exercice 13
On lance n fois successivement un dé à 6 faces. Les résultats de chaque lancer sont considérés
(mutuellement) indépendants.
1. Calculer la probabilité de l'évènement Fn : "Obtenir un six uniquement au nième lancer".
2. Calculer la probabilité de l'évènement Gn : "Obtenir k fois un six au cours des n lancers".
[proba4]
13
Remarque 21. De manière générale on considère, comme dans l'exercice précédent, que si une
expérience aléatoire est composée d'épreuves répétées dans les mêmes conditions, par exemple :
Lancers successifs d'un dé (ou pièce de monnaie).
Tirages dans une urne avec remise.
Alors, si A1 , . . . , An sont des évènements dont chacun concerne le résultat d'une seule épreuve distincte
des autres, ils sont mutuellement indépendants. En eet, on peut se douter que le résultat d'une
épreuve donnée n'est pas inuencé par celui des autres épreuves.
14