Exercice 10

Exercice 10
On jette simultanément deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
1°) L'ensemble des éventualités Ω est l'ensemble des couples (a ; b) avec a ∈ { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }
et b ∈ { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } .
On suppose que les dés sont équilibrés et que les tirages sont équiprobables.
1 = 1 .
Alors chaque éventualité a une probabilité égale à
card Ω 36
Pour tout événement A, on a p(A) = card A .
card Ω
Si A est l'événement « obtenir un double 6 » on a card A = 1 donc p(A) = 1 .
36
1
La probabilité d'obtenir un double 6 est
.
36
2°) Soit B l'événement « obtenir deux numéros dont la somme est 4 »
p(B) = 3 = 1 .
36 12
1
La probabilité d'obtenir deux numéros dont la somme est 4 est
.
12
On a B = { (1 ; 3) ; (2 ; 2) ; (3 ; 1) } donc card B = 3
donc
3°) On appelle S la somme des deux numéros obtenus.
On peut donner, dans un tableau, les valeurs prises par S :
Dé 1
Dé 2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
11
7
8
9
10
11
12
On a S(Ω) = { 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 }
On peut compter, à partir du tableau, le cardinal de chacun des événements (S = xi) et en déduire la
probabilité de (S = xi).
La loi de probabilité de S est alors donnée dans le tableau suivant :
xi
p(S = xi)
2
1
36
3
2
36
4
3
36
5
4
36
6
5
36
7
6
36
8
5
36
9
4
36
10
3
36
11
2
36
12
1
36
8
5
36
9
1
9
10
1
12
11
1
18
12
1
36
(On peut vérifier que la somme des probabilités est égale à 1)
Après simplification on obtient :
xi
p(S = xi)
2
1
36
3
1
18
4
1
12
5
1
9
6
5
36
7
1
6
L'espérance mathématique de S est :
E(S) =
i = 12
∑
i=2
xi x p(S = xi) = 2
x
1 + 3 x 2 + 4 x 3 + ... + 12 x 1 = 252
36
36
36
36 36
donc
E(S) = 7 .
(Ce résultat n'a rien d'étonnant, dans la mesure ou la moyenne pour le tirage d'un dé est 3,5)
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1ère ES - L − Probabilités − Variable aléatoire − Corrections