Exercice 10

http://xmaths.free.fr 1ère ES - L
−
Probabilités
−
Variable aléatoire
−
Corrections
Exercice 10
On jette simultanément deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
1°) L'ensemble des éventualités Ω est l'ensemble des couples (a ; b) avec a ∈ { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }
et b ∈ { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } .
On suppose que les dés sont équilibrés et que les tirages sont équiprobables.
Alors chaque éventualité a une probabilité égale à 1
card Ω = 1
36 .
Pour tout événement A, on a p(A) = card A
card Ω .
Si A est l'événement « obtenir un double 6 » on a card A = 1 donc p(A) = 1
36 .
La probabilité d'obtenir un double 6 est 1
36 .
2°) Soit B l'événement « obtenir deux numéros dont la somme est 4 »
On a B = { (1 ; 3) ; (2 ; 2) ; (3 ; 1) } donc card B = 3 donc p(B) = 3
36 = 1 12 .
La probabilité d'obtenir deux numéros dont la somme est 4 est 1
12 .
3°) On appelle S la somme des deux numéros obtenus.
On peut donner, dans un tableau, les valeurs prises par S :
Dé 1
Dé 2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
On a S(Ω) = { 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 }
On peut compter, à partir du tableau, le cardinal de chacun des événements (S = x
i
) et en déduire la
probabilité de (S = x
i
).
La loi de probabilité de S est alors donnée dans le tableau suivant :
x
i
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
p(S = x
i
)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
(On peut vérifier que la somme des probabilités est égale à 1)
Après simplification on obtient :
x
i
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
p(S = x
i
)
1
36
1
18
1
12
1
9
5
36
1
6
5
36
1
9
1
12
1
18
1
36
L'espérance mathématique de S est :
E(S) =
i = 2
∑
i = 12
x
i
x p(S = x
i
) = 2 x 1
36 + 3
x 2
36 + 4
x 3
36 + ... + 12
x 1
36 = 252 36 donc E(S) = 7 .
(Ce résultat n'a rien d'étonnant, dans la mesure ou la moyenne pour le tirage d'un dé est 3,5)