ESPACES PROBABILISES FINIS III III Probabilités conditionnelles Probabilités conditionnelles Dans toute cette partie, (Ω, P (Ω), P ) est un espace probabilisé fini. 1 Probabilité « sachant » Théorème – définition : Rappel Soit A un événement de probabilité non nulle. L’application PA définie sur P (Ω) par : ∀B ∈ P (Ω), PA (B) = est une probabilité sur (Ω, P (Ω)), appelée probabilité conditionnelle relativement à A ou encore Démonstration. Vérifions que la formule définit bien une probabilité. • PA définit bien une application de P (Ω) à valeurs dans Soit B ∈ P (Ω). • PA (B) ≥ 0 car : • PA (B) ≤ 1. En effet, • L’application PA : P (Ω) → [0 , 1] est une probabilité car : i) ii) Soient B, C ∈ P (Ω), incompatibles. Montrons que Or A ∩ B et A ∩ C sont Donc • Conséquence. Si P (A) , 0, alors (Ω, P (Ω), PA ) est un espace probabilisé. Toutes les formules vues sur les probabilités sont valables pour PA : • ∀B ∈ P (Ω), PA (B) = • Si C ⊂ B, alors • PA (B ∪ C) = • Et bien sûr, la jolie formule de Poincaré... • Remarque. Bien souvent, on connaît PA (B) et on cherche P (A∩B). On utilise donc plutôt la formule « à l’envers » : Exemple Tirages sans remise. — Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules vertes. On effectue deux tirages successifs sans remise dans cette urne. On considère les événements V1 (resp. V2 ) : « le 1er (resp. le 2e) tirage donne une boule verte ». Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules vertes ? On cherche Représentation à l’aide d’un arbre : V2 V1 V2 V2 V1 V2 • Au 1er tirage : • Au 2e tirage, si la première boule tirée est verte : Donc j Attention j En général P (A ∩ B) , PA (B).