III Probabilités conditionnelles

ESPACES PROBABILISES FINIS III Probabilités conditionnelles
III Probabilités conditionnelles
Dans toute cette partie, (Ω,P(Ω), P ) est un espace probabilisé fini.
1 Probabilité « sachant »
Soit Aun événement de probabilité non nulle. L’application PAdéfinie sur P(Ω) par :
∀B∈ P (Ω), PA(B) =
est une probabilité sur ( Ω,P ( Ω )), appelée probabilité conditionnelle relativement à A ou encore
Théorème – définition : Rappel
Démonstration. Vérifions que la formule définit bien une probabilité.
•PAdéfinit bien une application de P(Ω) à valeurs dans :
Soit B∈ P (Ω).
•PA(B)≥0 car
•PA(B)≤1. En effet,
• L’application PA:P(Ω)→[0,1] est une probabilité car :
i)
ii) Soient B, C ∈ P (Ω), incompatibles. Montrons que
Or A∩Bet A∩Csont
Donc
• Conséquence. Si P ( A ) , 0, alors ( Ω,P ( Ω ) , PA ) est un espace probabilisé. Toutes les formules vues sur les
probabilités sont valables pour PA:
•∀B∈ P (Ω), PA(B) =
• Si C⊂B, alors
•PA(B∪C) =
• Et bien sûr, la jolie formule de Poincaré...
• Remarque. Bien souvent, on connaît PA ( B ) et on cherche P ( A∩B ). On utilise donc plutôt la formule « à l’envers » :
Exemple Tirages sans remise. — Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules vertes. On effectue deux tirages
successifs sans remise dans cette urne. On considère les événements V1 (resp. V2 ) : « le 1
er
(resp. le 2
e
) tirage
donne une boule verte ». Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules vertes ?
On cherche
Représentation à l’aide d’un arbre :
V1
V2
V2
V1
V2
V2
•Au 1er tirage :
•Au 2etirage, si la première boule tirée est verte :
Donc
jAttention jEn général P(A∩B),PA(B).