Conditionnement et indépendance I Introduction aux probabilités

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Probabilités - chapitre 7
Conditionnement et indépendance
I Introduction aux probabilités
I.1 Le langage des probabilités
Une expérience aléatoire (ou une épreuve aléatoire ) est une expérience reproductible dont le résultat
dépend du hasard. L'ensemble de toutes les issues possibles (ou éventualités ) de cette expérience
est appelé univers, on le note Ω. Lorsqu'on eectue une expérience aléatoire, certains faits liés à
cette expérience peuvent se produire ou non, on les appelle événements. Lorsque Ω est un ensemble
ni, on identie chaque événement à une unique partie de Ω. On appelle événement élémentaire
tout événement réalisé pour une seule issue, un événement élémentaire est donc modélisé par un
singleton {ω} de Ω.
langage probabiliste
événement certain (toujours réalisé)
événement impossible (jamais réalisé)
événement contraire de A, noté A
événement : "A et B "
événement : "A ou B "
A et B sont incompatibles
A entraîne B
théorie des ensembles
Ω
∅
complémentaire de A dans Ω
A∩B
A∪B
A∩B =∅
A⊂B
I.2 Probabilité sur un ensemble ni
Dénition 1 Soit Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn } un ensemble ni de cardinal n. On dénit une probabilité
P sur Ω en associant :
n
X
• à chaque événement élémentaire {ωi } un réel positif pi = P ({ωi }) tel que
pi = 1
i=1
• à chaque événement A le réel P (A) égal à la somme des probabilités des singletons {ωi } dont
A est la réunion.
Théorème 1
Soit Ω un ensemble ni. Une probabilité sur Ω est une application de l'ensemble
des parties de Ω à valeurs dans [0, 1] vériant :
•
P (Ω) = 1
• pour tous événements incompatibles A et B , P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Proposition 2
Soit A et B deux événements.
(i). P (A) = 1 − P (A). En particulier P (∅) = 0
(ii). Si A ⊂ B alors P (A) ≤ P (B)
(iii). P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
(iv). Si A1 , A2 , . . . , Ak sont des événements deux à deux incompatibles, alors
P (A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Ak ) = . . . . . . . . .
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I.3 L'hypothèse d'équiprobabilité
On dit que toutes les issues sont équiprobables lorsque les probabilités des événements élémentaires
sont égales.
Si Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn } , l'équiprobabilité signie que
P ({ω1 }) = P ({ω2 }) = . . . = P ({ωn }) =
Proposition 3
1
n
S'il y a équiprobabilité alors pour tout événement A,
P (A) =
Card(A)
nombre d0 issues favorables
=
Card(Ω)
nombre total d0 issues possibles
"favorables" signiant "réalisant A".
II Variables aléatoires
II.1 Notion de variable aléatoire
Dénition 2 Soit Ω un ensemble ni muni d'une probabilité P . Une variable aléatoire X est
une application dénie sur Ω à valeurs dans R. L'ensemble des valeurs prises par X est une partie
nie de R appelée univers image de Ω par X .
X(Ω) = {x1 , x2 , . . . , xn }
On note (X = xi ) l'événement : X prend la valeur xi II.2 Loi de probabilité
Dénition 3
Soit X une variable aléatoire dénie sur Ω.
La loi de probabilité de X est la donnée de l'ensemble X(Ω) = {x1 , x2 , . . . , xn } et des n nombres
pi = P (X = xi ) où 1 ≤ i ≤ n.
valeurs xi de X x1 x2 x3 . . . xn
pi = P (X = xi ) p1 p2 p3 . . . pn
n
X
pi = 1
i=1
II.3 Espérance, variance et écart type
Dénition 4
Soit X une variable aléatoire dénie sur Ω, prenant les valeurs x1 , x2 , . . . , xn avec
les probabilités p1 , p2 , . . . , pn .
• l'espérance mathématique de X est le réel noté E(X) déni par : E(X) =
n
X
pi xi
i=1
• la variance de X est le réel positif noté V (X) déni par : V (X) =
n
X
pi (xi − E(X))2
i=1
• l'écart type de X est le réel positif noté σ(X) déni par : σ(X) =
p
V (X)
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Proposition 4
Soit X une variable aléatoire dénie sur Ω. Alors pour tous réels a et b,
E(aX + b) = aE(X) + b
V (X) = E (X − E(X))2
V (aX + b) = a2 V (X)
III Probabilités conditionnelles
III.1 Généralités
Dénition 5 Soit B un événement de probabilité non nulle. Pour tout événement A, on appelle
probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé, le nombre noté PB (A) déni par :
PB (A) =
P (A ∩ B)
P (B)
PB (A) se lit : probabilité de A sachant B .
Proposition 5
(admise)
Soit B un événement de probabilité non nulle. Alors PB est une probabilité sur Ω.
Donc pour tout événement A, 0 ≤ PB (A) ≤ 1 et PB (A) = 1 − PB (A)
III.2 Formule des probabilités composées
Proposition 6
Exemple :
Si P (B) 6= 0 alors
P (A ∩ B) = P (B) PB (A)