Sens de variation d`une fonction Faire plus tard une leçon sens de

S
SS
S ens de variation d'une fonction
Faire plus tard une leçon sens de variation (et y intégrer les cas somme et composée)
I Définition
Déf Une fonction f est dite croissante sur I si pour tous a et b dans I tels que a ≤ b,
on a : f(a) ≤ f(b).
Une fonction f est dite décroissante sur I si pour tous a et b dans I tels que a ≤ b,
on a : f(a) ≥ f(b).
f
(a)
≤
f(b)
b
a
f
(a)
f
(b)
b
a
f
(b)
f
(a)
f
(a)
≥
f(b)
Rem * Fonction « strictement » croissante : même définition avec < au lieu de ≤ .
* Lorsqu’on fait agir une fonction f sur une inégalité : on obtient une égalité de
même sens si f est croissante et de sens contraire si f est décroissante.
Exple Justifier les inégalités suivantes :
a) Pour tout x ≥ 1 :
1
x
2
+1
≤
1
2
.
x ≥ 1.
On fait agir la fonction carrée qui est croissante sur [0 ; +∞[, on obtient : x
2
≥ 1.
On ajoute 1, on obtient : x
2
+ 1 ≥ 2
On fait agir la fonction inverse qui est décroissante sur ]0 ; +∞[ :
1
x
2
+1
≤
1
2
b) Pour tout x ≥ 4 : 5 −x ≤ 3. x ≥ 4
On fait agir la fonction racine carrée qui est croissante : x ≥ 2
On multiplie par (−1) négatif : −x ≤ −2
On ajoute 5 : 5 − x ≤ 3.
II Lien avec le signe de la dérivée
Rem Si pour une courbe c
f
donnée, les pentes f’(x) sont toutes négatives, alors la
fonction f est décroissante.
Th Etant donné une fonction f dérivable sur un intervalle I :
(1) f est croissante sur I si et seulement si f’(x) ≥ 0 pour tout x ∈ I.
(2) f est décroissante sur I si et seulement si f’(x) ≤ 0 pour tout x ∈ I.
(3) f est constante sur I si et seulement si f’(x) = 0 pour tout x ∈ I.
Exple a) Déterminer le tableau de variations sur [0 ; 2] de f : x
è
4 − x + x
2
.
b) Étudier le sens de variations de la fonction f : x
è
2x − 1 +
8
x + 3
.
a) * f est une fonction polynôme (de degré 2)
donc f est dérivable sur I R et f’(x) = 2x −1
* Signe de f’(x) :
a = 2 > 0
2x −1 = 0 ⇔ x = 1/2
* On observe que la fonction admet un minimum de
3,75 atteint en 1/2.
x 0 1/2 1
f’(x) − 0 +
f
4
3,75
6
b) * f est une somme de fonctions dérivables donc f est dérivable
f = u + 8 ×
1
v
avec u(x) = 2x −1 ; u’(x) = 2 ; v(x) = x + 3 ; v’(x) = 1
f’ = u’ + 8 × −v’
v
2
donc f’(x) = 2 + 8 ×
−1
(x + 3)
2
= 2 −
8
(x+3)
2
=
2(x+3)
2
− 8
(x+3)
2
=
2x
2
+12x +10
(x+3)
2
* Signe de (x+3)
2
: un carré
est toujours positif ou nul
* Signe de 2x
2
+12x +10 :
a = 2 > 0
∆ = 64 > 0
x
1
= −5 ; x
2
= −1
* f(−5) = −15 et f(−1) = 1
* f est croissante sur ]−∞ ; −5] et [−1 ; +∞[
f est décroissante sur [−5 ; −3[ et]−3 ;−1[.
x −∞ −5 −3 −1 +∞
2
x
2
+12x+10
+ 0 − − 0 +
(x+3)
2
+ + 0 + +
f’(x) + 0 − − 0 +
f
?
−
15
?
?
1
?
Rem ( Méthode pour étudier le sens de variation de f )
* Calculer f’(x)
* Mettre f’(x) sous une forme qui permette d’étudier son signe.
. si f’(x) = A × B ou A
B , on étudie le signe de A et B et on fait un tableau de signe
. si f’(x) = (+) + (+), alors f’(x) ≥ 0 ; si f’(x) = (−) + (−), alors f’(x) ≤ 0
. si f’(x) = (−) + (+), alors rien ! on met f’(x) sous la forme d’un produit ou quotient
* A partir du signe de f’(x), on détermine les variations de f (conclure par une phrase).
+
−3
−
+
1/2
−
+ +
−1
−
5

Rem Il ne faut pas confondre signe et variations !
Lorsque f est croissante, f’ est positive mais f n’est pas nécessairement positive.
Contre-exemple : …
Exple On donne la courbe cf d’une fonction f. Laquelle des courbes Г
1,
Г
2 représente f’ ?
Justifier.
Courbe c
f
Courbe Г
1
Courbe Г
2
c
f
Г
1
Г
2