Sens de variation d`une fonction Faire plus tard une leçon sens de

II
Sens de variation d'une fonction
Lien avec le signe de la dérivée
Faire plus tard une leçon sens de variation (et y intégrer les cas somme et composée)
I
Rem
Définition
Si pour une courbe cf donnée, les pentes f’(x) sont toutes négatives, alors la
fonction f est décroissante.
Déf
Une fonction f est dite croissante sur I si pour tous a et b dans I tels que a ≤ b,
Th
Etant donné une fonction f dérivable sur un intervalle I :
on a : f(a) ≤ f(b).
Une fonction f est dite décroissante sur I si pour tous a et b dans I tels que a ≤ b,
on a : f(a) ≥ f(b).
f(a) ≤ f(b)
f(a) ≥ f(b)
(1) f est
(2) f est
(3) f est
croissante sur I si et seulement si
décroissante sur I si et seulement si
constante sur I si et seulement si
f’(x) ≥ 0
f’(x) ≤ 0
f’(x) = 0
pour tout x ∈ I.
pour tout x ∈ I.
pour tout x ∈ I.
Déterminer le tableau de variations sur [0 ; 2] de f : x è 4 − x + x2 .
Exple a)
8
a)
* f est une fonction polynôme (de degré 2)
donc f est dérivable sur IR et f’(x) = 2x −1
* Signe de f’(x) :
+
a=2>0
− 1/2
2x −1 = 0 ⇔ x = 1/2
* On observe que la fonction admet un minimum de
3,75 atteint en 1/2.
f(b)
f(a)
a
Rem
b) Étudier le sens de variations de la fonction f : x è 2x − 1 + x + 3 .
f(a)
f(b)
b
a
b
* Fonction « strictement » croissante : même définition avec < au lieu de ≤ .
* Lorsqu’on fait agir une fonction f sur une inégalité : on obtient une égalité de
même sens si f est croissante et de sens contraire si f est décroissante.
Exple Justifier les inégalités suivantes :
1
1
a) Pour tout x ≥ 1 : x2+1 ≤ 2 .
x ≥ 1.
On fait agir la fonction carrée qui est croissante sur [0 ; +∞[, on obtient : x2 ≥ 1.
On ajoute 1, on obtient :
x2 + 1 ≥ 2
On fait agir la fonction inverse qui est décroissante sur ]0 ; +∞[ :
b) Pour tout x ≥ 4 : 5 − x ≤ 3.
On fait agir la fonction racine carrée qui est croissante :
On multiplie par (−1) négatif :
On ajoute 5 :
1
1
x2+1 ≤ 2
0
1/2
− 0 +
4
1
6
f
3,75
b) * f est une somme de fonctions dérivables donc f est dérivable
1
f = u + 8 × v avec u(x) = 2x −1 ; u’(x) = 2 ; v(x) = x + 3 ; v’(x) = 1
−v’
−1
8
2(x+3)2 − 8 2x2 +12x +10
f’ = u’ + 8 × 2
donc
f’(x) = 2 + 8 × (x + 3)2 = 2 − (x+3)2 = (x+3)2 = (x+3)2
v
* Signe de (x+3)2 : un carré
x
+
−5
−3
−1
+∞
−∞
est toujours positif ou nul
2x2+12x+10
−3
+
0
0
+
−
−
* Signe de 2x2 +12x +10 :
(x+3)2
+
+ 0 +
+
a=2>0
+
+
f ’(x)
+ 0 −
0 +
−
−5 − −1
∆ = 64 > 0
?
?
−15
x = −5 ; x = −1
1
2
* f(−5) = −15 et f(−1) = 1
* f est croissante sur ]−∞ ; −5] et [−1 ; +∞[
f est décroissante sur [−5 ; −3[ et]−3 ;−1[.
Rem
x≥4
x≥2
− x ≤ −2
5 − x ≤ 3.
x
f’(x)
f
?
?
1
( Méthode pour étudier le sens de variation de f )
* Calculer f’(x)
* Mettre f’(x) sous une forme qui permette d’étudier son signe.
A
. si f’(x) = A × B ou , on étudie le signe de A et B et on fait un tableau de signe
B
. si f’(x) = (+) + (+), alors f’(x) ≥ 0
;
si f’(x) = (−) + (−), alors f’(x) ≤ 0
. si f’(x) = (−) + (+), alors rien ! on met f’(x) sous la forme d’un produit ou quotient
* A partir du signe de f’(x), on détermine les variations de f (conclure par une phrase).
Rem
Il ne faut pas confondre signe et variations !
Lorsque f est croissante, f’ est positive mais f n’est pas nécessairement positive.
Contre-exemple : …
Exple On donne la courbe cf d’une fonction f. Laquelle des courbes Г1, Г2 représente f ’ ?
Justifier.
Г2
cf
Г1
Courbe cf
Courbe Г1
Courbe Г2