1 Fonctions usuelles 2 Équations du second degré 3

Rappels de 1ère ES
1 Fonctions usuelles
Fonctions à connaître
affine : x !→ ax + b
carré : x !→ x
cube : x !→ x
2
Application.
Dans un même repère orthonormé, tracer les fonctions suivantes : a(x) = 2x − 3,
√
1
f (x) = x2 , c(x) = x3 , i(x) = , r(x) = x.
x
3
1
inverse : x !→
x
racine carrée : x !→
√
x
2 Équations du second degré
Équation : ax2 + bx + c = 0 avec a ̸= 0
Discriminant : ∆ = b2 − 4ac
√
√
−b − ∆
−b + ∆
• ∆ > 0 =⇒ x1 =
et x2 =
2a
2a
2
ax + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
x
f (x)
−∞
signe de a
x1
0|
signe de −a
x2
0|
Application.
On considère les trois équations suivantes :
• (E) : −3x2 + 4x + 4 = 0 ;
• (F ) : 2x2 + x + 5 = 0 ;
• (G) : 4x2 − 20x + 25.
+∞
Pour chacune de ces équations :
1. Résoudre l’équation.
signe de a
−b
et ax2 + bx + c = a(x − x0 )2
2a
• ∆ < 0 =⇒ pas de solution dans R
2. Factoriser l’équation.
• ∆ = 0 =⇒ x0 =
3. Dresser son tableau de signes.
3 Dérivation
f est dérivable en a si f ′ (a) = lim
h→0
f (x)
u+v
k×u
u×v
u
v
f (x)
u′ + v ′
k × u′
′
u × v + u × v′
u′ × v − u × v ′
v2
′
• f croissante ⇐⇒ f ′ (x) ! 0
• f décroissante ⇐⇒ f ′ (x) " 0
• f constante ⇐⇒ f ′ (x) = 0
f (a+h)−f (a)
h
f (x)
k
ax + b
xn
√
x
1
x
existe
f ′ (x)
0
a
nxn−1
−1
√
2 x
1
− 2
x
Application.
1. Démontrer la formule de la dérivée de x2 .
2. Déterminer la dérivée de x2 ; x3 ; x4 ; x2015 ,
x3 + 2x2 − 5x + π ; 10(−4x + 1)
x−5
(2x + 3)(1 − x) et
.
2x + 7
3. Le bénéfice obtenu pour la vente de q objets est défini
par B(q) = −0, 2q 2 + 58q − 1200.
Combien faut-il vendre d’objets pour avoir un bénéfice
maximal ?
4 Pourcentages
Application.
1. Un article passe de 150 e à 180 e. Quel est son taux
d’évolution ?
vf inale − vdépart
vdépart
t
Coefficient multiplicateur : 1 ±
100
"!
"
!
t2
t1
1+
Évolutions successives : 1 +
100
100
Taux d’évolution :
N. Daval - mathematiques.daval.free.fr
2. Un loyer de 600 e augment de 1, 5 %. Quel est le montant après augmentation ?
3. Une production baisse de 10 % pour atteindre 5 tonnes.
Quelle était la production avant ?
4. Un article est soldé a 20%, puis on lui applique une
démarque supplémentaire de 30%. De quel pourcentage
le prix a-t-il globalement baissé ?
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Lycée G. Brassens
Rappels de 1ère ES
5 Suites
Application.
Antoine place 10 000 e au 1er janvier 2015 pendant 5 ans.
Son banquier lui propose deux placements :
• A : taux mensuel de 0, 15 % à intérêts simples ;
• B : taux annuel de 1, 75 % à intérêts composés.
Soit an [bn ] le capital acquis au bout de n mois [années]
avec le placement A [B]. Pour chacun des placements :
1. Déterminer une relation de récurrence.
Suite explicite : un = f (n)
Suite récurrente : un+1 = f (un )
un+1
>1
un
un+1
<1
Suite décroissante : un+1 < un ou
un
Suite arithmétique : un+1 = un + r et un = u0 + n × r
Suite croissante : un+1 > un ou
2. Déterminer une relation explicite.
Suite géométrique : un+1 = q × un et un = u0 × q n
3. Calculer le capital au bout de 5 ans.
6 Statistique
N
1 #
(xi − m)2
n√
i=1
Écart type : σ = V
Médiane : valeur qui partage une liste ordonnée en deux
listes de même effectif
Quartiles : valeurs Q1 , Q2 , Q3 qui partagent une liste ordonnée en quatre listes de même effectif
Q1
Q3
Diagramme en boite :
M ed = Q2
Variance : V =
min
Max
Application.
On donne dans le tableau suivant le relevé des âges des
enfants d’un centre aéré :
âge
effectif
5
2
6
3
7
2
8
4
9
2
10
1
11
3
12
1
13
1
1. Déterminer la moyenne, la variance et l’écart-type de la
série.
2. Construire le diagramme en boite de la série.
7 Probabilités
nombre d’issues réalisées
nombre d’issues possibles
Loi de proba de X : ensemble des probabilités des issues
Espérance : E(X) = x1 P (X = x1 ) + · · · + xn P (X = xn )
Loi de Bernoulli B(p) : expérience à deux issues
P (succès) = p et P (échec) = 1 − p
La variable X associée au nombre de succès dans la répétition de manière indépendante de n épreuves de Bernoulli
B(p) suit une!loi"binomiale B(n, p) d’espérance n × p
n k
P (X = k) =
p (1 − p)n−k
k
Équiprobabilité : P =
Application.
Un menuisier propose un escalier composé de 14 marches
présentant un défaut dans 4 % des cas. Elles sont choisies
indépendamment dans un stock important. Le prix varie
suivant le nombre de défauts :
• Aucun ou un : 2 300 e.
• De deux à quatre : 1 150 e.
• Cinq ou plus : 1 000 e.
X est la variable aléatoire qui compte le nombre de marches
ayant un défaut dans un tel escalier.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?
2. Calculer la probabilité que l’escalier soit vendu au prix
de 2 300 e.
8 Échantillonnage
Intervalle de fluctuation au seuil de 95$% de%la fréquence
a b
d’une variable aléatoire X ∼ B(n, p) :
où
,
n n
• a est le plus petit entier tel que P (X " a) > 0, 025
• b est le plus petit entier tel que P (X " b) ≥ 0, 975
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Application.
Le directeur d’une marque pense que 90 % des consommateurs sont satisfaits de sa marque. Il interroge 500 consommateurs au hasard. Parmi ceux-ci, 425 sont satisfaites.
L’hypothèse est-elle acceptable, au seuil de 95 % ?
Lycée G. Brassens