1 Fonctions usuelles 2 Équations du second degré 3

Rappels de 1
ère ES
1Fonctions usuelles
Fonctions à connaître affine : x!→ ax +b
carré : x!→ x2cube : x!→ x3
inverse : x!→ 1
xracine carrée : x!→ √x
Application.
Dans un même repère orthonormé, tracer les fonctions sui-
vantes : a(x)=2x−3,
f(x)=x2,c(x)=x3,i(x)= 1
x,r(x)=√x.
2Équations du second degré
Équation : ax2+bx +c=0aveca̸=0
Discriminant : ∆=b2−4ac
•∆>0=⇒x1=−b−√∆
2aet x2=−b+√∆ 2a
ax2+bx +c=a(x−x1)(x−x2)
x−∞ x1x2+∞
f(x)signe de a0|signe de −a0|signe de a
•∆=0=⇒x0=−b
2aet ax2+bx +c=a(x−x0)2
•∆<0=⇒pas de solution dans R
Application.
On considère les trois équations suivantes :
•(E):−3x2+4x+4=0;
•(F):2x2+x+5=0;
•(G):4x2−20x+25.
Pour chacune de ces équations :
1. Résoudre l’équation.
2. Factoriser l’équation.
3. Dresser son tableau de signes.
3Dérivation
fest dérivable en asi f′(a)=lim
h→0
f(a+h)−f(a)
hexiste
f(x)f′(x)
u+vu
′+v′
k×uk×u′
u×vu
′×v+u×v′
u
v
u′×v−u×v′
v2
f(x)f′(x)
k0
ax +ba
xnnxn−1
√x−1
2√x
1
x−1 x2
•fcroissante ⇐⇒ f′(x)!0
•fdécroissante ⇐⇒ f′(x)"0
•fconstante ⇐⇒ f′(x)=0
Application.
1. Démontrer la formule de la dérivée de x2.
2. Déterminer la dérivée de x2;x3;x4;x2015 ,
x3+2x2−5x+π;10(−4x+1)
(2x+3)(1−x)et x−5
2x+7.
3. Le bénéfice obtenu pour la vente de qobjets est défini
par B(q)=−0,2q2+58q−1200.
Combien faut-il vendre d’objets pour avoir un bénéfice
maximal ?
4Pourcentages
Taux d’évolution : vfinale −vdépart
vdépart
Coefficient multiplicateur : 1 ±t
100
Évolutions successives : !1+ t1
100"!1+ t2 100"
Application.
1. Un article passe de 150 eà180e.Quelestsontaux
d’évolution ?
2. Un loyer de 600 eaugment de 1,5%. Quel est le mon-
tant après augmentation ?
3. Une production baisse de 10 % pour atteindre 5 tonnes.
Quelle était la production avant ?
4. Un article est soldé a 20%, puis on lui applique une
démarque supplémentaire de 30%. De quel pourcentage
le prix a-t-il globalement baissé ?
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Rappels de 1
ère ES
5Suites
Suite explicite : un=f(n)
Suite récurrente : un+1 =f(un)
Suite croissante : un+1 >u
nou un+1
un
>1
Suite décroissante : un+1 <u
nou un+1
un
<1
Suite arithmétique : un+1 =un+ret un=u0+n×r
Suite géométrique : un+1 =q×unet un=u0×qn
Application.
Antoine place 10 000 eau 1er janvier 2015 pendant 5 ans.
Son banquier lui propose deux placements :
•A:tauxmensuelde0,15 % à intérêts simples ;
•B:tauxannuelde1,75 % à intérêts composés.
Soit an[bn]lecapitalacquisauboutdenmois [années]
avec le placement A [B]. Pour chacun des placements :
1. Déterminer une relation de récurrence.
2. Déterminer une relation explicite.
3. Calculer le capital au bout de 5 ans.
6Statistique
Variance : V=1
n
N
#
i=1
(xi−m)2
Écart type : σ=√V
Médiane : valeur qui partage une liste ordonnée en deux
listes de même effectif
Quartiles : valeurs Q1,Q
2,Q 3qui partagent une liste or-
donnée en quatre listes de même effectif
Diagramme en boite :
min
Q1Med =Q2Q3
Max
Application.
On donne dans le tableau suivant le relevé des âges des
enfants d’un centre aéré :
âge 5 6 7 8 9 10 11 12 13
effectif 2 3 2 4 2 1 3 1 1
1. Déterminer la moyenne, la variance et l’écart-type de la
série.
2. Construire le diagramme en boite de la série.
7Probabilités
Équiprobabilité : P=nombre d’issues réalisées
nombre d’issues possibles
Loi de proba de X:ensembledesprobabilitésdesissues
Espérance : E(X)=x1P(X=x1)+···+xnP(X=xn)
Loi de Bernoulli B(p):expérienceàdeuxissues
P(succès)=pet P(échec)=1−p
La variable Xassociée au nombre de succès dans la répéti-
tion de manière indépendante de népreuves de Bernoulli
B(p)suituneloibinomialeB(n, p)d’espérancen×p
P(X=k)=!n
k"pk(1 −p)n−k
Application.
Un menuisier propose un escalier composé de 14 marches
présentant un défaut dans 4 % des cas. Elles sont choisies
indépendamment dans un stock important. Le prix varie
suivant le nombre de défauts :
•Aucun ou un : 2 300 e.
•De deux à quatre : 1 150 e.
•Cinq ou plus : 1 000 e.
Xest la variable aléatoire qui compte le nombre de marches
ayant un défaut dans un tel escalier.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par X?
2. Calculer la probabilité que l’escalier soit vendu au prix
de 2 300 e.
8Échantillonnage
Intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence
d’une variable aléatoire X∼B(n, p):$a
n,b n%où
•aest le plus petit entier tel que P(X"a)>0,025
•best le plus petit entier tel que P(X"b)≥0,975
Application.
Le directeur d’une marque pense que 90 % des consomma-
teurs sont satisfaits de sa marque. Il interroge 500 consom-
mateurs au hasard. Parmi ceux-ci, 425 sont satisfaites.
L’hypothèse est-elle acceptable, au seuil de 95 % ?
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