Une série Un opérateur sur les polynômes

MP 933 &934 Devoir Libre no2☞ septembre 
Ce sujet est composé de deux exercices et d’un problème. Le premier exercice, issu d’un écrit de concours, propose de
calculer la somme d’une série de terme général défini par récurrence. Le second exercice permet de réviser un peu
l’algèbre linéaire de première année. Le problème étudie le lien entre une suite et sa transformée de Toeplitz,
généralisation de celle de Cesàro.
Une série
On considère deux réels a, b tels que 0< a < b. On définit la suite (un)n>0par la donnée de u0>0et la relation
de récurrence, valable pour tout n∈N:un+1
un
=n+a
n+b.
1. On pose wn=nb−aunpour tout n∈N.
a) Montrer que ln wn+1 −ln wn= O 1
n2.
b) En déduire que la suite (ln wn)n∈Nconverge.
c) En déduire qu’il existe un réel L>0tel que un∼
n→∞
L
nb−a.
d) En déduire la nature de la série Punen fonction de aet b.
2. On suppose que la série Punconverge. On note vn=n(un−un+1).
a) En considérant les sommes partielles, montrer que la série Pvnconverge.
b) Relier
∞
P
n=0
vnà
∞
P
n=0
un.
c) Montrer que vn=bun+1 −aunpour tout n∈N.
d) En déduire
∞
P
n=0
unen fonction de u0,aet buniquement.
Un opérateur sur les polynômes
Dans cet exercice, Edésigne R[X] et pour n∈N,En=Rn[X]. On définit l’application :
Φ: E −→ E,
P7−→ P(X) −P(X −1).
1. Vérifier que Φest linéaire.
2. Déterminer le degré de Φ(Xp)pour tout p∈N.
3. Montrer que Φinduit un endomorphisme de En(noté Φn) ; déterminer le noyau et l’image de Φn.
4. Montrer que pour tout p∈N, il existe un unique P∈Ep+1 tel que pour tout n∈N∗,
n
P
k=1
kp= P(n).
On pourra s’intéresser à l’équation Φ(Q) = Xp...
5. Application : exprimer
n
P
k=1
k3sous la forme d’un polynôme en n.
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Devoir Libre no2Mathématiques, MP 933 &934
Transformation de Toeplitz
Soit (cn,k)n,k∈Nune suite, à double indices, de réels ou de complexes, appelée matrice de Toeplitz.
Si (un)n>0est une suite réelle ou complexe, on définit la transformée de Toeplitz de (un)n>0, qu’on notera
Tu= (Tun)n∈N, par
Tun=
∞
X
k=0
cn,k uk.
Remarque 1 Ainsi, à chaque (cn,k )n,k∈Non associe une transformation de Toeplitz particulière. Par exemple, en définissant
cn,k =
1
n+ 1 si k6n,
0sinon,
la transformation de Toeplitz associée est l’application qui, à une suite (un)n>0, associe la suite de ses moyennes de Cesàro.
On dit qu’une transformée de Toeplitz est régulière si, pour tout ℓ∈Cet pour toute suite (un)n>0convergente et
de limite ℓ, la suite (Tun)n∈Nest bien définie, convergente et de limite ℓ.
Enfin, on dira que Tvérifie (TR) si et seulement si elle vérifie les trois conditions suivantes :
❶il existe une constante réelle A>0telle que, pour tout entier n, la série P
k
cn,k converge absolument et
Cn
déf.
=
∞
P
k=0 
cn,k 6A.
❷pour tout k∈N, la suite (cn,k)n∈Nconverge et lim
n→∞ cn,k = 0.
❸lim
n→∞
∞
P
k=0
cn,k = 1.
Le but de ce problème est de montrer que Test régulière si et seulement si elle vérifie (TR).
1. Nous allons d’abord montrer que, si Tvérifie (TR), alors elle est régulière. On suppose donc dans toute cette question
que Tvérifie (TR).
a) Montrer que, pour toute suite (un)n>0convergente, Tuest bien définie, c’est-à-dire que Tunexiste pour toute
valeur de n.
b) Montrer que si la suite (un)n>0est constante, de valeur ℓ, alors lim
n→∞ Tun=ℓ.
c) Montrer que, si lim
n→∞ un= 0, alors lim n→∞ Tun= 0.
Indication : On découpera, à la Cesàro, la somme définissant Tunen deux :
Tun=
K
P
k=0
cn,k uk+
∞
P
k=K+1
cn,k uk,
où l’entier Ksera judicieusement choisi.
d) Conclure.
2. On suppose dans cette question que Test régulière.
a) Montrer que la propriété ❸est vérifiée.
b) Montrer que la propriété ❷est vérifiée.
c) Avant de montrer la propriété ❶, on va d’abord vérifier que la suite (Cn)n>0, définie par
Cn=
∞
P
k=0 
cn,k ,
est correctement définie, c’est-à-dire que la série définissant Cnest convergente pour tout n∈N. On procède par
l’absurde en supposant qu’il existe un entier n0tel que la série P
k
cn0,k est divergente.
c–i) On pose, pour tout K∈N:wK= 1 +
K−1
P
k=0 
cn0,k et vK=1
wK
.
Que peut-on dire de la suite (wk)k>0?
c–ii) Montrer que, si 1< x < y, alors y−x
x>ln y−ln x.
Transformation de Toeplitz DM02.tex

Devoir Libre no2Mathématiques, MP 933 &934
c–iii) En déduire que, pour tout K∈N,
K
P
k=0 
cn0,k vk >ln wK; puis conclure en utilisant la suite de terme général
un=
vn
cn0,n
cn0,n
si cn0,n 6= 0,
vnsinon.
d) Nous allons terminer la démonstration en raisonnant par l’absurde et en supposant que la condition ❶n’est pas
vérifiée — ce qui revient à dire que la suite (Cn)n>0n’est pas bornée.
d–i) On pose n0=k0= 0. Montrer par récurrence qu’il existe deux suites (np)p>0et (kp)p>0, toutes deux croissantes,
vérifiant pour tout p∈N:
kp−1
X
k=0
cnp,k <1
kp
X
k=kp−1+1 
cnp,k > p2+ 2pet
∞
X
k=kp+1 
cnp,k <1.
Indication : On fera une récurrence sur les deux suites en même temps. Une fois connus np−1et kp−1, on commencera par
chercher nptel que
Cnp> p2+ 2p+ 2 et
kp−1
X
k=0 
cnp,k <1.
d–ii) Pour tout k∈N, il existe un entier ptel que k∈[[kp−1+ 1 ; kp]].
On pose uk= 0 pour tout k∈[[0 ; k1]] ; et si k∈[[kp−1+ 1 ; kp]], on pose
uk=1
p
cnp,k
cnp,k
.
Montrer que lim
n→∞ un= 0 mais que la suite Tun’est pas bornée.
3. Application : on reprend l’exemple de la remarque au début de l’énoncé ; la matrice (bi-infinie) T = (cnk)n,k par
T =
1
1
/
21
/
2
1
/
31
/
31
/
3
1
/
41
/
41
/
41
/
4
.
.
..
.
..
.
....
,(les cases vides contiennent 0)
c’est-à-dire Tn,k = 1/(n+ 1) si k6net Tn,k = 0 sinon.
Montrer que la transformation de Toeplitz associée est régulière.
Transformation de Toeplitz DM02.tex