Une série Un opérateur sur les polynômes

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MP 933 & 934
☞  septembre 
Ce sujet est composé de deux exercices et d’un problème. Le premier exercice, issu d’un écrit de concours, propose de
calculer la somme d’une série de terme général défini par récurrence. Le second exercice permet de réviser un peu
l’algèbre linéaire de première année. Le problème étudie le lien entre une suite et sa transformée de Toeplitz,
généralisation de celle de Cesàro.
Une série
On considère deux réels a, b tels que 0 < a < b. On définit la suite (un )n>0 par la donnée de u0 > 0 et la relation
de récurrence, valable pour tout n ∈ N :
un+1
n+a
=
.
un
n+b
1. On pose wn = nb−a un pour tout n ∈N. 1
.
a) Montrer que ln wn+1 − ln wn = O
n2
b) En déduire que la suite (ln wn )n∈N converge.
L
c) En déduire qu’il existe un réel L > 0 tel que un ∼
.
n→∞ nb−a
P
d) En déduire la nature de la série
un en fonction de a et b.
P
2. On suppose que la série
un converge. On note vn = n(un − P
un+1 ).
a) En considérant les sommes partielles, montrer que la série
vn converge.
∞
∞
P
P
b) Relier
vn à
un .
n=0
n=0
c) Montrer que vn = bun+1 − aun pour tout n ∈ N.
∞
P
d) En déduire
un en fonction de u0 , a et b uniquement.
n=0
Un opérateur sur les polynômes
Dans cet exercice, E désigne R[X] et pour n ∈ N, En = Rn [X]. On définit l’application :
Φ : E −→ E,
P 7−→ P(X) − P(X − 1).
1. Vérifier que Φ est linéaire.
2. Déterminer le degré de Φ(Xp ) pour tout p ∈ N.
3. Montrer que Φ induit un endomorphisme de En (noté Φn ) ; déterminer le noyau et l’image de Φn .
4. Montrer que pour tout p ∈ N, il existe un unique P ∈ Ep+1 tel que pour tout n ∈ N∗ ,
On pourra s’intéresser à l’équation Φ(Q) = Xp ...
5. Application : exprimer
n
P
n
P
k p = P(n).
k=1
k 3 sous la forme d’un polynôme en n.
k=1
samedi  septembre  —  fructidor 
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
Transformation de Toeplitz
Soit (cn,k )n,k∈N une suite, à double indices, de réels ou de complexes, appelée matrice de Toeplitz.
Si (un )n>0 est une suite réelle ou complexe, on définit la transformée de Toeplitz de (un )n>0 , qu’on notera
Tu = (Tun )n∈N , par
∞
X
Tun =
cn,k uk .
k=0
Remarque 1 Ainsi, à chaque (cn,k )n,k∈N on associe une transformation de Toeplitz particulière. Par exemple, en définissant

 1
si k 6 n,
cn,k = n + 1
0
sinon,
la transformation de Toeplitz associée est l’application qui, à une suite (un )n>0 , associe la suite de ses moyennes de Cesàro.
On dit qu’une transformée de Toeplitz est régulière si, pour tout ℓ ∈ C et pour toute suite (un )n>0 convergente et
de limite ℓ, la suite (Tun )n∈N est bien définie, convergente et de limite ℓ.
Enfin, on dira que T vérifie (TR) si et seulement si elle vérifie les trois conditions suivantes :
P
❶ il existe une constante réelle A > 0 telle que, pour tout entier n, la série
cn,k converge absolument et
k
∞ P
cn,k 6 A.
déf.
Cn =
k=0
❷ pour tout k ∈ N, la suite (cn,k )n∈N converge et lim cn,k = 0.
n→∞
❸ lim
∞
P
n→∞ k=0
cn,k = 1.
Le but de ce problème est de montrer que T est régulière si et seulement si elle vérifie (TR).
1. Nous allons d’abord montrer que, si T vérifie (TR), alors elle est régulière. On suppose donc dans toute cette question
que T vérifie (TR).
a) Montrer que, pour toute suite (un )n>0 convergente, Tu est bien définie, c’est-à-dire que Tun existe pour toute
valeur de n.
b) Montrer que si la suite (un )n>0 est constante, de valeur ℓ, alors lim Tun = ℓ.
n→∞
c) Montrer que, si lim un = 0, alors lim Tun = 0.
n→∞
n→∞
Indication : On découpera, à la Cesàro, la somme définissant Tun en deux :
Tun =
K
P
cn,k uk +
k=0
∞
P
cn,k uk ,
k=K+1
où l’entier K sera judicieusement choisi.
d) Conclure.
2. On suppose dans cette question que T est régulière.
a) Montrer que la propriété ❸ est vérifiée.
b) Montrer que la propriété ❷ est vérifiée.
c) Avant de montrer la propriété ❶, on va d’abord vérifier que la suite (Cn )n>0 , définie par
Cn =
∞ P
cn,k ,
k=0
est correctement définie, c’est-à-dire que la série définissant CP
pour tout n ∈ N. On procède par
n est
convergente
cn0 ,k est divergente.
l’absurde en supposant qu’il existe un entier n0 tel que la série
k
c–i)
On pose, pour tout K ∈ N : wK = 1 +
K−1
P k=0
Que peut-on dire de la suite (wk )k>0 ?
c–ii)
Montrer que, si 1 < x < y, alors
Transformation de Toeplitz
cn0 ,k et
vK =
1
.
wK
y−x
> ln y − ln x.
x
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c–iii)
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
En déduire que, pour tout K ∈ N,
K P
cn0 ,k vk > ln wK ; puis conclure en utilisant la suite de terme général
k=0

vn cn0 ,n cn0 ,n un =

vn
si cn0 ,n 6= 0,
sinon.
d) Nous allons terminer la démonstration en raisonnant par l’absurde et en supposant que la condition ❶ n’est pas
vérifiée — ce qui revient à dire que la suite (Cn )n>0 n’est pas bornée.
d–i)
On pose n0 = k0 = 0. Montrer par récurrence qu’il existe deux suites (np )p>0 et (kp )p>0 , toutes deux croissantes,
vérifiant pour tout p ∈ N :
kp −1
X
cnp ,k < 1
k=0
kp
X
k=kp−1 +1
cnp ,k > p2 + 2p
∞
X
cnp ,k < 1.
et
k=kp +1
Indication : On fera une récurrence sur les deux suites en même temps. Une fois connus np−1 et kp−1 , on commencera par
chercher np tel que
kp−1
Cnp > p2 + 2p + 2
et
X cn
p ,k
k=0
< 1.
d–ii)
Pour tout k ∈ N, il existe un entier p tel que k ∈ [ kp−1 + 1 ; kp ] .
On pose uk = 0 pour tout k ∈ [ 0 ; k1 ] ; et si k ∈ [ kp−1 + 1 ; kp ] , on pose
uk =
1 cnp ,k
.
p cnp ,k
Montrer que lim un = 0 mais que la suite Tu n’est pas bornée.
n→∞
3. Application : on reprend l’exemple de la remarque au début de l’énoncé ; la matrice (bi-infinie) T = (cnk )n,k par


1

1/2 1/2



1/3 1/3 1/3
(les cases vides contiennent 0)
T=
,

1/4 1/4 1/4 1/4


..
..
..
..
.
.
.
.
c’est-à-dire Tn,k = 1/(n + 1) si k 6 n et Tn,k = 0 sinon.
Montrer que la transformation de Toeplitz associée est régulière.
Transformation de Toeplitz
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