Matrices et Opérateurs de Toeplitz

Matrices et Opérateurs de Toeplitz
Edgar Tchoundja
Université de Yaoundé I
Ecole de Recherche CIMPA:
”Analyse et Probabilités”
Université Felix Houphouët-Boigny, 17 - 28 Mars 2014
Plan
1
Matrices de Toeplitz
2
Opérateurs de Toeplitz
3
Généralisations
Edgar Tchoundja (Univ Ydé I)
Matrices et Opérateurs de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
2 / 16
Définition de Matrices de Toeplitz
Definition
Ce sont les matrices de la forme:

a0
a−1 a−2 a−3 · · ·

..
.
 a1
a0
a−1 a−2

..

.
 a2
a1
a0
a−1

..

.
 a3
a2
a1
a0
 .
..
..
..
..
 .
.
.
.
.
T = .
 .
..
..
..
..
 .
.
.
.
.
 .

.
 a
 n−1 an−2 an−3 an−4 . .

.
 a
an−1 an−2 an−3 . .
n

..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
Edgar Tchoundja (Univ Ydé I)
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
a−(n−1)
a−n
···


a−(n−2) a−(n−1) · · · 


a−(n−3) a−(n−2) · · · 


a−(n−4) a−(n−3) · · · 

..
..

.
.
··· 

..
..

.
.
··· 

a0
a−1
··· 


a1
a0
··· 

..
..
..
.
.
.
Matrices et Opérateurs de Toeplitz
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Otto Toeplitz (1881 - 1940)
Toeplitz étudia ces matrices en 1911.
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Intérêts des matrices de Toeplitz
Une matrice de Toeplitz est déterminée par la donnée d’une suite
a = (an )n∈Z . Une matrice de Toeplitz T est donc donnée par:
T = Ti,j = ai−j i,j∈N∗ .
(1)
La tronquée d’ordre n est:
Tn = ai−j
1≤i,j≤n
(2)
.
Ces matrices interviennent dans:
Théorie de la prédiction
Edgar Tchoundja (Univ Ydé I)
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Intérêts des matrices de Toeplitz
Une matrice de Toeplitz est déterminée par la donnée d’une suite
a = (an )n∈Z . Une matrice de Toeplitz T est donc donnée par:
T = Ti,j = ai−j i,j∈N∗ .
(1)
La tronquée d’ordre n est:
Tn = ai−j
1≤i,j≤n
(2)
.
Ces matrices interviennent dans:
Théorie de la prédiction
Solutions numériques de certaines équations différentielles
Edgar Tchoundja (Univ Ydé I)
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5 / 16
Intérêts des matrices de Toeplitz
Une matrice de Toeplitz est déterminée par la donnée d’une suite
a = (an )n∈Z . Une matrice de Toeplitz T est donc donnée par:
T = Ti,j = ai−j i,j∈N∗ .
(1)
La tronquée d’ordre n est:
Tn = ai−j
1≤i,j≤n
(2)
.
Ces matrices interviennent dans:
Théorie de la prédiction
Solutions numériques de certaines équations différentielles
Traitement du signal et de l’image
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Intérêts des matrices de Toeplitz
Une matrice de Toeplitz est déterminée par la donnée d’une suite
a = (an )n∈Z . Une matrice de Toeplitz T est donc donnée par:
T = Ti,j = ai−j i,j∈N∗ .
(1)
La tronquée d’ordre n est:
Tn = ai−j
1≤i,j≤n
(2)
.
Ces matrices interviennent dans:
Théorie de la prédiction
Solutions numériques de certaines équations différentielles
Traitement du signal et de l’image
Etude des processus gaussiens stationnaires.
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Intérêts des matrices de Toeplitz
Une matrice de Toeplitz est déterminée par la donnée d’une suite
a = (an )n∈Z . Une matrice de Toeplitz T est donc donnée par:
T = Ti,j = ai−j i,j∈N∗ .
(1)
La tronquée d’ordre n est:
Tn = ai−j
1≤i,j≤n
(2)
.
Ces matrices interviennent dans:
Théorie de la prédiction
Solutions numériques de certaines équations différentielles
Traitement du signal et de l’image
Etude des processus gaussiens stationnaires.
···
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5 / 16
Structures algébriques matrices de Toeplitz
L’ensemble des matrices de Toeplitz est un espace vectoriel
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Structures algébriques matrices de Toeplitz
L’ensemble des matrices de Toeplitz est un espace vectoriel
Le produit de deux matrices de Toeplitz n’est pas nécessairement
de Toeplitz
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6 / 16
Structures algébriques matrices de Toeplitz
L’ensemble des matrices de Toeplitz est un espace vectoriel
Le produit de deux matrices de Toeplitz n’est pas nécessairement
de Toeplitz
Si T est inversible, l’inverse n’est pas nécessairement de Toeplitz.
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6 / 16
Structures algébriques matrices de Toeplitz
L’ensemble des matrices de Toeplitz est un espace vectoriel
Le produit de deux matrices de Toeplitz n’est pas nécessairement
de Toeplitz
Si T est inversible, l’inverse n’est pas nécessairement de Toeplitz.
Questions sur la matrice tronquée Tn ?
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Structures algébriques matrices de Toeplitz
L’ensemble des matrices de Toeplitz est un espace vectoriel
Le produit de deux matrices de Toeplitz n’est pas nécessairement
de Toeplitz
Si T est inversible, l’inverse n’est pas nécessairement de Toeplitz.
Questions sur la matrice tronquée Tn ?
Résoudre Tn X = Y ( Algorithmes efficaces, rapides et peu
coûteux?)
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6 / 16
Structures algébriques matrices de Toeplitz
L’ensemble des matrices de Toeplitz est un espace vectoriel
Le produit de deux matrices de Toeplitz n’est pas nécessairement
de Toeplitz
Si T est inversible, l’inverse n’est pas nécessairement de Toeplitz.
Questions sur la matrice tronquée Tn ?
Résoudre Tn X = Y ( Algorithmes efficaces, rapides et peu
coûteux?)
Critères d’inversibilité?
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6 / 16
Structures algébriques matrices de Toeplitz
L’ensemble des matrices de Toeplitz est un espace vectoriel
Le produit de deux matrices de Toeplitz n’est pas nécessairement
de Toeplitz
Si T est inversible, l’inverse n’est pas nécessairement de Toeplitz.
Questions sur la matrice tronquée Tn ?
Résoudre Tn X = Y ( Algorithmes efficaces, rapides et peu
coûteux?)
Critères d’inversibilité?
Déterminer les valeurs propres ?
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Structures algébriques matrices de Toeplitz
L’ensemble des matrices de Toeplitz est un espace vectoriel
Le produit de deux matrices de Toeplitz n’est pas nécessairement
de Toeplitz
Si T est inversible, l’inverse n’est pas nécessairement de Toeplitz.
Questions sur la matrice tronquée Tn ?
Résoudre Tn X = Y ( Algorithmes efficaces, rapides et peu
coûteux?)
Critères d’inversibilité?
Déterminer les valeurs propres ?
Comportement asympotique?
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Matrices circulantes
Ce sont les matrices de Toeplitz dans laquelle on passe d’une ligne à
la suivante par permutation circulaire (décalage vers la droite) des
coefficients.


c0 cn−1 cn−2 · · · c1
 c1
c0 cn−1
c2 


 c2
c1
c0
c3 
C = Cn = 

 ..
.. 
..
 .
. . 
cn−1 cn−2 cn−3 · · ·
c0
On note simplement par:
Cn = (c0 , c1 , c2 , · · · , cn−1 ) .
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(3)
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Diagonalisation de C
On pose:




U = Un = 


0 0 0 ···
1 0 0
0 1 0
..
..
.
.
0 0 0 ···
1
0
0
..
.




 = (e2 e3 · · · en−1 e1 ) ,


0
où ek = k -ième colonne de la matrice identité In .
Lemma
Soit Cn = (c0 , c1 , c2 , · · · , cn−1 ) une matrice
On a
P circulante.
k.
Cn = c0 In + c1 Un + · · · + cn−1 Unn−1 = kn−1
c
U
=0 k n
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Diagonalisation de C
Theorem
Soit n ∈ N∗ . Soit C = (c0 , c1 , c2 , · · · , cn−1 ) une matrice circulante. Elle
est diagonalisée par la matrice de transformation de Fourier discrète.
Précisement, on a
C =t Fn DFn ,
√
où la matrice diagonale D = Diag( nFn c) avec c la matrice colonne
donnée par la première colonne de C et


1
1
1
···
1

 1
wn
wn2
wnn−1



2(n−1)
1 
2
4
,
1
wn
wn
wn
Fn = √ 


n  ..
..
..

.
.
.


(n−1)
2(n−1)
(n−1)(n−1)
1 wn
wn
· · · wn
avec wn = e
−2π i
n
.
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Comportement Asymptotique
Theorem (Szegö)
Soit T une matrice de Toeplitz Hermitienne. Soit (Tn ) la suite des
tronquées d’ordre n de T . Soit f la fonction densité spectrale de T . On
suppose que F est une fonction continue sur l’image de f . On pose
(λn,k ) les valeurs propres associées à Tn . On a
n−1
1X
1
lim
F (λn,k ) =
n→+∞ n
2π
k=0
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Z
2π
F (f (x))dx.
0
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Matrices de Toeplitz comme Opérateurs dans l 2 (N)
.
(
l 2 (N) =
u = (un ) ⊂ C :
∞
X
)
|un |2 < ∞ .
k=0
Soit T une matrice de Toeplitz donnée par la suite a = (an )n∈Z . Pour
les estimations, T peut être considérée comme un opérateur sur l 2 (N)
défini par:
T : l 2 (N) →
l 2 (N)
P
u
7→ v = Tu = vn = +∞
k=0 an−k uk n∈N .
Questions sur T?
Edgar Tchoundja (Univ Ydé I)
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Matrices de Toeplitz comme Opérateurs dans l 2 (N)
.
(
l 2 (N) =
u = (un ) ⊂ C :
∞
X
)
|un |2 < ∞ .
k=0
Soit T une matrice de Toeplitz donnée par la suite a = (an )n∈Z . Pour
les estimations, T peut être considérée comme un opérateur sur l 2 (N)
défini par:
T : l 2 (N) →
l 2 (N)
P
u
7→ v = Tu = vn = +∞
k=0 an−k uk n∈N .
Questions sur T?
Etudes des propriétés spectrales (Continuité, compacité, trace,
Hilbert Schmidt)
Edgar Tchoundja (Univ Ydé I)
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Matrices de Toeplitz comme Opérateurs dans l 2 (N)
.
(
l 2 (N) =
u = (un ) ⊂ C :
∞
X
)
|un |2 < ∞ .
k=0
Soit T une matrice de Toeplitz donnée par la suite a = (an )n∈Z . Pour
les estimations, T peut être considérée comme un opérateur sur l 2 (N)
défini par:
T : l 2 (N) →
l 2 (N)
P
u
7→ v = Tu = vn = +∞
k=0 an−k uk n∈N .
Questions sur T?
Etudes des propriétés spectrales (Continuité, compacité, trace,
Hilbert Schmidt)
Propriétés algébriques: rang fini, inversibilité, produit
d’opérateurs, spectre et spectre essentiel,...
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Espaces de Hardy
D = {z ∈ C : |z| < 1} :
Edgar Tchoundja (Univ Ydé I)
Disque unité de C;
Matrices et Opérateurs de Toeplitz
T = ∂D.
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12 / 16
Espaces de Hardy
D = {z ∈ C : |z| < 1} :
Disque unité de C;
p
Soit p ∈ (0, ∞), H (D) Espace de Hardy.
(
Z
H p (D) =
f ∈ Hol(D);
Edgar Tchoundja (Univ Ydé I)
||f ||pH p
2π
:= sup
T = ∂D.
)
|f (reiθ )|p dθ < ∞ .
0≤r <1 0
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Espaces de Hardy
D = {z ∈ C : |z| < 1} :
Disque unité de C;
p
Soit p ∈ (0, ∞), H (D) Espace de Hardy.
(
Z
H p (D) =
f ∈ Hol(D);
||f ||pH p
2π
:= sup
T = ∂D.
)
|f (reiθ )|p dθ < ∞ .
0≤r <1 0
Soit f ∈ H p (D), alors
f ∗ (θ) = lim f (reiθ )
r →1
existe p.p
<
.
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Espaces de Hardy
D = {z ∈ C : |z| < 1} :
Disque unité de C;
p
Soit p ∈ (0, ∞), H (D) Espace de Hardy.
(
Z
H p (D) =
f ∈ Hol(D);
||f ||pH p
2π
:= sup
T = ∂D.
)
|f (reiθ )|p dθ < ∞ .
0≤r <1 0
Soit f ∈ H p (D), alors
f ∗ (θ) = lim f (reiθ )
existe p.p
r →1
<
.
La fonction f ∗ ∈ Lp (T , dθ) et on a
Edgar Tchoundja (Univ Ydé I)
1
2π
R 2π
0
|f ∗ (θ)|p dθ = ||f ||pH p .
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Espaces de Hardy
D = {z ∈ C : |z| < 1} :
Disque unité de C;
p
Soit p ∈ (0, ∞), H (D) Espace de Hardy.
(
Z
H p (D) =
f ∈ Hol(D);
||f ||pH p
2π
:= sup
T = ∂D.
)
|f (reiθ )|p dθ < ∞ .
0≤r <1 0
Soit f ∈ H p (D), alors
f ∗ (θ) = lim f (reiθ )
existe p.p
r →1
<
.
La fonction f ∗ ∈ Lp (T , dθ) et on a
On a H p (D) ,→ Lp (T ).
Edgar Tchoundja (Univ Ydé I)
1
2π
R 2π
0
|f ∗ (θ)|p dθ = ||f ||pH p .
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12 / 16
Espaces de Hardy
D = {z ∈ C : |z| < 1} :
Disque unité de C;
p
Soit p ∈ (0, ∞), H (D) Espace de Hardy.
(
Z
H p (D) =
f ∈ Hol(D);
||f ||pH p
2π
:= sup
T = ∂D.
)
|f (reiθ )|p dθ < ∞ .
0≤r <1 0
Soit f ∈ H p (D), alors
f ∗ (θ) = lim f (reiθ )
r →1
existe p.p
<
.
R 2π ∗
p
1
p
La fonction f ∗ ∈ Lp (T , dθ) et on a 2π
0 |f (θ)| dθ = ||f ||H p .
On a H p (D) ,→ Lp (T ).
R 2π
1
p=2:
Espace de Hilbert: hf , gi = 2π
0 f (θ)g(θ)dθ.
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Espaces de Hardy
D = {z ∈ C : |z| < 1} :
Disque unité de C;
p
Soit p ∈ (0, ∞), H (D) Espace de Hardy.
(
Z
H p (D) =
f ∈ Hol(D);
||f ||pH p
2π
:= sup
T = ∂D.
)
|f (reiθ )|p dθ < ∞ .
0≤r <1 0
Soit f ∈ H p (D), alors
f ∗ (θ) = lim f (reiθ )
r →1
existe p.p
<
.
R 2π ∗
p
1
p
La fonction f ∗ ∈ Lp (T , dθ) et on a 2π
0 |f (θ)| dθ = ||f ||H p .
On a H p (D) ,→ Lp (T ).
R 2π
1
p=2:
Espace de Hilbert: hf , gi = 2π
0 f (θ)g(θ)dθ.
2
2
P : L (T ) → H (D)
Projecteur de Szegö.
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12 / 16
Espaces de Hardy
D = {z ∈ C : |z| < 1} :
Disque unité de C;
p
Soit p ∈ (0, ∞), H (D) Espace de Hardy.
(
Z
H p (D) =
f ∈ Hol(D);
||f ||pH p
2π
:= sup
T = ∂D.
)
|f (reiθ )|p dθ < ∞ .
0≤r <1 0
Soit f ∈ H p (D), alors
f ∗ (θ) = lim f (reiθ )
r →1
existe p.p
<
.
R 2π ∗
p
1
p
La fonction f ∗ ∈ Lp (T , dθ) et on a 2π
0 |f (θ)| dθ = ||f ||H p .
On a H p (D) ,→ Lp (T ).
R 2π
1
p=2:
Espace de Hilbert: hf , gi = 2π
0 f (θ)g(θ)dθ.
2
2
P : L (T ) → H (D)
Projecteur de Szegö.
Ce projecteur est donné par
Z 2π
1
f (θ)
P(f )(z) =
dθ.
2π 0 1 − z e−iθ
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Relation Matrice et Opérateur de Toeplitz
Proposition
Soit T une matrice de Toeplitz définie par la suite (an )n∈Z . On pose
+∞
P
ϕ(θ) =
an einθ Le diagramme suivant est commutatif.
n∈Z
T
l 2 (N)
−→
x=(xn )n≥0
l 2 (N)
y=Tx=(yn )n≥0
i↓
i↓
Tϕ
H 2 (D)
−→
P
n
f (z)= +∞
n≥0 xn z
où: Tϕ f (z) = P(ϕ f )(z) =
1
2π
R 2π
0
H 2 (D)
F (z)=
P+∞
n≥0 yn
,
zn
ϕ(θ)f (θ)
dθ.
1−z e−iθ
Cette proposition permet de traduire les estimations avec la matrice de
Toeplitz en des estimations sur les opérateurs de Toeplitz.
L’opérateur Tϕ est appélé opérateur de Toeplitz et la fonction ϕ
est appélée symbole de l’opérateur de Toeplitz.
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Opérateurs de Toeplitz
Questions sur Tϕ ?
Déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur le symbole ϕ
pour les questions suivantes:
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Opérateurs de Toeplitz
Questions sur Tϕ ?
Déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur le symbole ϕ
pour les questions suivantes:
Etudes des propriétés spectrales (Continuité, compacité, trace,
Hilbert Schmidt)
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14 / 16
Opérateurs de Toeplitz
Questions sur Tϕ ?
Déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur le symbole ϕ
pour les questions suivantes:
Etudes des propriétés spectrales (Continuité, compacité, trace,
Hilbert Schmidt)
Propriétés algébriques: rang fini, inversibilité, produit
d’opérateurs, spectre et spectre essentiel,...
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Propriétés spectrales
Theorem (Brown-Halmos, 64’)
Soit ϕ ∈ L2 (T ).
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Propriétés spectrales
Theorem (Brown-Halmos, 64’)
Soit ϕ ∈ L2 (T ).
Tϕ est borné sur H 2 (D) si et seulement si ϕ est borné. De plus,
||Tϕ || = ||ϕ||∞ .
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Propriétés spectrales
Theorem (Brown-Halmos, 64’)
Soit ϕ ∈ L2 (T ).
Tϕ est borné sur H 2 (D) si et seulement si ϕ est borné. De plus,
||Tϕ || = ||ϕ||∞ .
Tϕ est compact sur H 2 (D) si et seulement si ϕ ≡ 0.
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Propriétés spectrales
Theorem (Brown-Halmos, 64’)
Soit ϕ ∈ L2 (T ).
Tϕ est borné sur H 2 (D) si et seulement si ϕ est borné. De plus,
||Tϕ || = ||ϕ||∞ .
Tϕ est compact sur H 2 (D) si et seulement si ϕ ≡ 0.
Proposition
Soit f , g ∈ L∞ (T ) et λ ∈ C. On a
Si f ∈ H ∞ , alors
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Propriétés spectrales
Theorem (Brown-Halmos, 64’)
Soit ϕ ∈ L2 (T ).
Tϕ est borné sur H 2 (D) si et seulement si ϕ est borné. De plus,
||Tϕ || = ||ϕ||∞ .
Tϕ est compact sur H 2 (D) si et seulement si ϕ ≡ 0.
Proposition
Soit f , g ∈ L∞ (T ) et λ ∈ C. On a
Tf +λg = Tf + λTg
Si f ∈ H ∞ , alors
Edgar Tchoundja (Univ Ydé I)
Matrices et Opérateurs de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
15 / 16
Propriétés spectrales
Theorem (Brown-Halmos, 64’)
Soit ϕ ∈ L2 (T ).
Tϕ est borné sur H 2 (D) si et seulement si ϕ est borné. De plus,
||Tϕ || = ||ϕ||∞ .
Tϕ est compact sur H 2 (D) si et seulement si ϕ ≡ 0.
Proposition
Soit f , g ∈ L∞ (T ) et λ ∈ C. On a
Tf +λg = Tf + λTg
(Tf )∗ = Tf .
Si f ∈ H ∞ , alors
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Abidjan, 24 Mars 2014
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Propriétés spectrales
Theorem (Brown-Halmos, 64’)
Soit ϕ ∈ L2 (T ).
Tϕ est borné sur H 2 (D) si et seulement si ϕ est borné. De plus,
||Tϕ || = ||ϕ||∞ .
Tϕ est compact sur H 2 (D) si et seulement si ϕ ≡ 0.
Proposition
Soit f , g ∈ L∞ (T ) et λ ∈ C. On a
Tf +λg = Tf + λTg
(Tf )∗ = Tf .
Si f ∈ H ∞ , alors
Tg Tf = Tfg
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Abidjan, 24 Mars 2014
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Propriétés spectrales
Theorem (Brown-Halmos, 64’)
Soit ϕ ∈ L2 (T ).
Tϕ est borné sur H 2 (D) si et seulement si ϕ est borné. De plus,
||Tϕ || = ||ϕ||∞ .
Tϕ est compact sur H 2 (D) si et seulement si ϕ ≡ 0.
Proposition
Soit f , g ∈ L∞ (T ) et λ ∈ C. On a
Tf +λg = Tf + λTg
(Tf )∗ = Tf .
Si f ∈ H ∞ , alors
Tg Tf = Tfg
Tg Tf = Tf g .
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Généralisations
L’étude des opérateurs de Toeplitz s’est étendue dans plusieurs
directions:
Les espaces de Bergman (à poids):
Z
p
p
p
2 β
|f (z)| (1 − |z| ) dν(z) < ∞ .
Aβ (D) = f ∈ H(D); ||f ||p,β :=
D
Tϕβ (f )(z) = cβ
(1−|w|2 )β
D (1−hz,wi)2+β f (w)ϕ(w)dν(w).
R
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Généralisations
L’étude des opérateurs de Toeplitz s’est étendue dans plusieurs
directions:
Les espaces de Bergman (à poids):
Z
p
p
p
2 β
|f (z)| (1 − |z| ) dν(z) < ∞ .
Aβ (D) = f ∈ H(D); ||f ||p,β :=
D
Tϕβ (f )(z) = cβ
(1−|w|2 )β
D (1−hz,wi)2+β f (w)ϕ(w)dν(w).
R
Les espaces de Fock, les espaces de Dirichlet et de Besov etc.
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Généralisations
L’étude des opérateurs de Toeplitz s’est étendue dans plusieurs
directions:
Les espaces de Bergman (à poids):
Z
p
p
p
2 β
|f (z)| (1 − |z| ) dν(z) < ∞ .
Aβ (D) = f ∈ H(D); ||f ||p,β :=
D
Tϕβ (f )(z) = cβ
(1−|w|2 )β
D (1−hz,wi)2+β f (w)ϕ(w)dν(w).
R
Les espaces de Fock, les espaces de Dirichlet et de Besov etc.
Dans d’autres domaines de C et en dimension supérieure (la
boule unité, les domaines symétriques etc.)
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Généralisations
L’étude des opérateurs de Toeplitz s’est étendue dans plusieurs
directions:
Les espaces de Bergman (à poids):
Z
p
p
p
2 β
|f (z)| (1 − |z| ) dν(z) < ∞ .
Aβ (D) = f ∈ H(D); ||f ||p,β :=
D
Tϕβ (f )(z) = cβ
(1−|w|2 )β
D (1−hz,wi)2+β f (w)ϕ(w)dν(w).
R
Les espaces de Fock, les espaces de Dirichlet et de Besov etc.
Dans d’autres domaines de C et en dimension supérieure (la
boule unité, les domaines symétriques etc.)
Aux symboles qui sont des mesures.
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Généralisations
L’étude des opérateurs de Toeplitz s’est étendue dans plusieurs
directions:
Les espaces de Bergman (à poids):
Z
p
p
p
2 β
|f (z)| (1 − |z| ) dν(z) < ∞ .
Aβ (D) = f ∈ H(D); ||f ||p,β :=
D
Tϕβ (f )(z) = cβ
(1−|w|2 )β
D (1−hz,wi)2+β f (w)ϕ(w)dν(w).
R
Les espaces de Fock, les espaces de Dirichlet et de Besov etc.
Dans d’autres domaines de C et en dimension supérieure (la
boule unité, les domaines symétriques etc.)
Aux symboles qui sont des mesures.
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