Exercices de dynamique, avec énergie - Jean

Exercices de dynamique du point, avec énergie
I81.
Départ arrêté, une automobile de masse m = 1000 kg parcourt A = 400 m en T = 16 s, avec une accélération
constante. L’air freine la voiture avec une force constante Ff = 700 N. Quelle est la force motrice Fm subie par
l’automobile ? Qui applique cette force motrice à l’automobile ? Quel est le travail produit par le moteur pendant T ?
II84.
α
1 2
h= 0,1 m
g = 9,8 m.s–2.
Les deux corps 1 et 2 de masses m1 = 1 kg et m2 = 2 kg sont liés par un fil qui
passe dans la gorge d'un poulie idéale de masse négligeable et d’axe fixe. Le corps
1 glisse sans frottement sur un plan incliné sur l'horizontale d'un angle α = 30°. On
lâche le système sans vitesse initiale.
1) Calculer les accélérations prises par les deux corps, la tension T du fil et la
force exercée par le plan incliné sur le corps 1.
2) Calculer les vitesses des deux corps lorsque le corps 2 heurte le sol.
3) Le corps 2 s'immobilise alors et le fil se détend. Quelle distance le corps 1 parcourt-il encore avant de s'arrêter ?
III38. Plan incliné et frottement.
Lancé sur un plan incliné de α = 30° à la vitesse v0 = 7 m/s, un corps parcourt A = 4 m avant de s'arrêter et de
redescendre.
1) A quelle vitesse repasse-t-il à son point de départ si le frottement obéit à la loi de Coulomb ?
2) Quel est le coefficient de frottement du corps sur le plan incliné ?
IV43. Chute freinée par l’air.
Pesanteur g = 10 m.s–2.
Un mobile pesant de masse m se meut verticalement ; on note z son altitude et v sa vitesse à l'instant t. L'air exerce
sur lui une force de freinage Ff de module kv2 , où k est une constante positive.
1) Ecrire l'équation différentielle satisfaite par v(t) pour une phase du mouvement :
a) ascendante ;
b) descendante.
2) Un des mouvements possibles a lieu à vitesse constante. Dans quel sens ? Quelle est l'expression de la valeur
absolue v1 de sa vitesse ? Pour un mouvement quelconque, que représente v1 ?
3) On suppose dorénavant v1 = 100 m/s. On lance à l'instant 0 le mobile depuis l'altitude 0 avec la vitesse v0 dirigée
vers le haut, et on ne s'intéresse qu'à la phase ascendante du mouvement. Ecrire l'équation différentielle satisfaite par
v(t) en fonction des seuls paramètres v1 et g.
4) En déduire une expression de t en fonction de v . On utilisera 2arctan
1
du u
u= +
∫
et un changement de variable
approprié.
5) Calculer le temps tM mis par le mobile pour atteindre son altitude maximale. AN : v0 = 100 m/s.
6) Ecrire le théorème de l'énergie cinétique pour une variation élémentaire dz de l'altitude.
7) En déduire la relation entre z et v. On utilisera un changement de variable approprié pour intégrer.
8) Calculer l'altitude maximale zM atteinte. AN : v0 = 50 m/s.
9) Calculer la fraction α d'énergie cinétique transformée en chaleur au cours de la montée. AN : v0 = 100 m/s.
V58. Pendule.
Un point matériel pesant de masse m est attaché par un fil de longueur L à un point fixe O. Soit θ l'angle du fil avec
la verticale. On lâche ce mobile alors que le fil est tendu et horizontal.
1) Exprimer d
dt
θ
θ=
 en fonction de θ , L et de la pesanteur g .
2) Exprimer la période T du mouvement en fonction de L et g . On donne : 2
02, 62
cos
dx
x
π
=
∫
.
VI24. Deux boules dans l’Espace (d’après mines de Douai 1974).
Deux boules homogènes ont même rayon a/4, même masse volumique ρ = 7800 kg m–3 et même masse m ; dans un
référentiel galiléen, leurs centres O, fixe et M, mobile, sont sur un axe Ox aux abscisses 0 et x > 0.
La seule force appliquée à la boule de centre M est la force gravitationnelle exercée par l’autre boule. Cette force est
la même que si l’on remplaçait les boules par deux points matériels O et M, chacun situé au centre de la boule
correspondante et de même masse que la boule.
1) Exprimer la mesure sur Ox de la force subie par M en fonction de m, x, et de la constante de la gravitation
G = 6,67 10–11 N m2 kg–2.
Exercices de dynamique, avec énergie, page 1

2) A l'instant 0, l'on abandonne avec une vitesse nulle la boule mobile, son centre M étant à l'abscisse a. Exprimer sa
vitesse quand M se trouve à l'abscisse x.
3) Calculer l'instant t pour lequel M se trouve à l'abscisse x. On donne :
()
()
3/2 1 arctan 1
11
dx x x a
fx a aa x
xa
⎡
⎤
==−−+−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
−
∫
4) Que vaut quand les boules se heurtent ? Exprimer l’instant du choc en fonction de G et ρ. x1 t
5) Calculer numériquement .
1
t
6) En réalité, il n’y a pas de raison que la boule de centre O reste immobile. Ecrire l'équation différentielle du second
ordre à laquelle obéit la distance x entre les centres des deux boules. Montrer que cette équation se déduit de celle qu'on
a étudié jusque maintenant en y remplaçant G par 2G. En déduire l’instant où ces deux boules se heurtent.
Application numérique : la même qu'en 5). 2
t
7) Le choc entre les boules est élastique. Décrire qualitativement leur mouvement ultérieur. Indiquer un temps
caractéristique de ce mouvement.
8) On suppose au contraire que le choc est mou, la moitié de l’énergie cinétique étant convertie en chaleur par le
choc. Décrire qualitativement le mouvement ultérieur.
VII52.
Un projectile P de masse m est lancé d’un point O vers le haut avec la vitesse . Il monte d’une hauteur , puis
retombe en O avec la vitesse . 0
v1 z
2
v
On note l’accélération de la pesanteur. Outre le poids, le projectile est soumis à la force de freinage par l’air g
2
f
kv= proportionnelle au carré de sa vitesse v.
1) Soit a et b deux constantes. Montrer que 1ln
dx ax b
ax b a
=+
+
∫
.
2) Si ce corps était en chute dans l’air depuis très longtemps, sa vitesse tendrait vers une vitesse limite v. Exprimer
la constante k en fonction de , et v. A
m g A
3) Soit zOP= l’abscisse de P pendant la montée sur un axe orienté vers le haut. Exprimer le théorème de l’énergie
cinétique pour un petit déplacement en fonction de dz , , v, v, g.
()
2
dv A
4) En déduire une expression de en fonction de v, g et .
1
zA0 v
5) Soit P1 le point le plus haut. Pendant la descente, on repère P par 1
xPP= mesuré sur un axe orienté vers le bas.
Exprimer le théorème de l’énergie cinétique pour un petit déplacement en fonction de dx , , , v, .
()
2
dv vAg
6) En déduire x en fonction de v, g et v.
A
7) En déduire la vitesse de retombée en O.
2
v
8) Justifier les limites de cette expression pour :
a) ;
0
vv
A
b) .
0
vv
A
9) Commenter l’inégalité entre et .
2
v0 v
VIII3.
Un mobile P coulisse dans un tube fin d’équation en coordonnées cylindriques r et zh, z étant l’altitude
et R et h deux constantes positives. Le tube exerce sur P une force dont la composante parallèle au tube est opposée
au mouvement et a une valeur déterminée
R==θ
f
s’il y a mouvement. On abandonne le mobile en A ( ). Au bout de
combien de temps parvient-il en B ( ) ? Discuter selon la valeur de 4θ=π
0θ=
f
.
IX39. Force de marée. P
OO
θ
On donne
() cos 54,74 1/ 3°= .
Soit G la constante de la gravitation, la masse du Soleil, O et S les
centres de la Terre et du Soleil, le point courant, D, r,
S
M
POS=OP=
(
,OS
)
OPθ=
J
JJGJJJG. La force massique
f
G
de marée due au Soleil au point dérive
de l’énergie potentielle massique
P
()
22
3
3cos 1
2
S
p
GM r
eD
θ−
=−.
S
1) Calculer les coordonnées sphériques
(
)
,,
r
f
ff
θϕ de
f
G
.
2) Pour quelle valeur, en degrés, de comprise entre 0 et
0
θθ90°
f
G
est-il horizontal ?
Exercices de dynamique, avec énergie, page 2

3) Compléter le tableau qui suit par les expressions des composantes de la force massique de marée :
θ 0 0
θ /2π 0 π−θ π
()
3
//
rs
f
GM r D
()
3
//
s
f
GM r D
θ
4) Reproduire la figure ci-dessus et y dessiner
f
G
aux cinq positions correspondantes.
X39. Projectile freiné par l’air, d’après ENAC pilotes 1981.
L'espace est repéré par rapport à un trièdre fixe Oxyz de vecteurs unitaires kji
G
G
G
,, (Oz axe vertical ascendant). Le
champ de gravitation terrestre est considéré comme uniforme et noté gg=−k
G
G
.
Soit trois constantes positives. On considère un mobile de masse , que l'on assimilera à un point matériel,
lancé du sommet d’une montagne O au temps
,,bch m
0
=
t avec une vitesse initiale 0
vbic=+k
G
G
G
. On admet que la force de
résistance de l'air, dans le domaine considéré, est de la forme −hv
G
où v
G
est la vitesse du mobile.
1) Montrer que le mouvement est plan.
2) Déterminer en fonction de b, c, g, du temps t et des quantités um et τ les composantes de /gh= = /mh
v
G
.
3) Exprimer en fonction des mêmes grandeurs les coordonnées du mobile.
4) Donner une signification aux quantités um et τ. /gh= = /mh
5) Montrer que la trajectoire admet une asymptote. On suppose la montagne assez élevée et escarpée pour que la
retombée au sol ne se produise que quand le mobile est très proche de cette asymptote.
6) On appelle hodographe le lieu du point P tel que OP v=
J
JJG
G
. Déterminer la forme de l’hodographe et ses deux
extrémités, A correspondant au lancer et B au mouvement asymptotique.
7) A quel point de l’hodographe correspond le sommet de la trajectoire ? Exprimer la vitesse v à ce sommet en
fonction de b, c et u. s
8) A quel point de l’hodographe correspond le minimum v de la norme de la vitesse ? Exprimer ven fonction
de b, c et u. min min
9) A présent, on suppose que la force de résistance de l’air, toujours opposée à la vitesse, est fonction croissante,
mais non nécessairement linéaire, de cette vitesse. Montrer, en utilisant le théorème de la puissance cinétique, que le
minimum de la vitesse a lieu après le sommet de la trajectoire.
Exercices de dynamique, avec énergie, page 3
XI29.
O1O2 est un segment vertical de longueur 2. Soit I son milieu. Un petit corps, de masse
, qu’on assimile à un point matériel M, glisse sur une piste située dans un plan vertical et
formée de deux arcs de cercle de même rayon r, de centres O
r
m
1 et O2 et se raccordant en I.
On lâche M sans vitesse au point M0 situé à l'altitude au-dessus de I. On repère la position
de M par son altitude z par rapport à I ou par h
xIH=
<
>
2=
1−
=
=dt
compté positivement vers le bas, H
étant la projection de M sur O1O2, ou par l’angle que fait la normale à la piste avec la
verticale. θ
O1
M1
h
M0I
O2
h
r
r
1) M glisse sans frottement et décolle au point M1 d'altitude −. h
1.a) Exprimer la vitesse de M en fonction de . x
1.b) Exprimer la réaction R de la piste sur M si x en fonction de θ, vet des constantes du problème. 0
1.c) Exprimer la réaction de la piste sur M si x en fonction de et des constantes du problème. R0x
1.d) Calculer . /hr
2) M glisse avec frottement et décolle à l'altitude −. Montrer que, si hr , alors hh. h′/0, ′>
XII28. Variation de la masse du Soleil.
Vitesse de la lumière : c ; masse initiale du Soleil : ; durée initiale de l’année :
; masse de la Terre : m.
8
3.10 m.s 30
02.10 kgM=
7
03, 16.10 sT=
1) La masse m d’un corps est liée à son énergie E par la formule . Par conséquent, le Soleil, qui rayonne
avec la puissance , voit sa masse M varier au cours du temps t. Exprimer dM .
2
Emc=
26
4.10 wattsP/
2) Cette variation est assez lente pour qu’on puisse considérer l’orbite de la Terre comme un cercle dont le centre est
le Soleil et dont le rayon r ne varie que très lentement. Déduire de la loi fondamentale de la dynamique une relation
entre M, r, la constante de la gravitation G et la vitesse v de la Terre.
3) Pourquoi ne peut-on pas écrire à priori que la somme de l’énergie cinétique de la Terre et de son énergie
potentielle de gravitation reste constante au cours du temps ?
4) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à un petit déplacement, écrire une relation entre dr et dv .
5) En déduire que rv reste constant au cours du temps.

6) Justifier autrement cette conservation en appliquant le théorème du moment cinétique.
7) Exprimer v en fonction de sa valeur initiale , de M et de la valeur initiale de M.
0
v0 M
8) Exprimer r en fonction de sa valeur initiale , de M et de .
0
r0 M
9) Exprimer la durée de l’année T en fonction de sa valeur initiale , de M et de .
0
T0 M
10) Calculer la différence entre la durée d’une année et celle de la précédente ? T∆
11) Quel autre motif fait décroître la masse du Soleil ?
12) En pratique, pourquoi la durée de l’année varie ?
XIII49.
Rayon de la Terre ; pesanteur à sa surface .
6
6, 4.10 mR=2 9, 8 m . sg− =
On considère que tout point matériel de masse situé à l'intérieur de la Terre, à une distance r du centre C de la
Terre supérieure à , est attiré par le centre de la Terre avec une force dirigée vers le centre de la
Terre et de valeur constante en module mg .
m
/2R
1) Quelle est l'énergie potentielle associée à cette force, en la prenant nulle à la surface de la
Terre ?
2) On considère (cf. fig. 5) un tunnel rectiligne ne passant pas par C et traversant la Terre. La
distance du tunnel au centre de la Terre est et on note la longueur du
tunnel. Un corps de masse m s’y meut sous la seule action de la pesanteur et en l’absence de
frottement. Décrire qualitativement son mouvement dans le tunnel, s’il est abandonné sans vitesse
initiale à la surface de la Terre.
6
6,2.10 mCH d== 0 2x
3) Calculer sa vitesse maximum dans ce mouvement.
4) Quel est l’ordre de grandeur (le calcul rigoureux est difficile) de la durée d’un voyage entre les deux extrémités du
tunnel s’il est effectué de la sorte ?
5) Quel est l’intérêt de ce mode de transport ? Quelle est sa plus grande difficulté de réalisation ?
Réponses
I. 2
23825 N
mf
m
FF
T
=+ =
A appliquée par le sol ; .
6
1, 5 3 . 1 0 J
mm
WF==A
II. 1) ,
1cos 8, 49 NRmg=α=21 2
21
sin 4, 9 m . s mm
ag
mm
−
−α
==
+ et ;
2) ; 3)
()
29, 8 NTmga=−=
1
0, 99 m . sv− =
2
0, 1 m
2sin
v
xg ==
α.
III. 2
10
4sin 5,4m/svg v=−=Aα ; 2
0tan 0,144
2cos
v
fg =−=
Aα α.
IV. 1) a) 2
dv
mmg
dt =−−kv
; b) 2
dv
mm ; 2) vers le bas ; gkv
dt =−+1
mg
v est la limite de la vitesse quand
le temps t tend vers l’infini ; 3)
k
=
2
2
1
1
dv ; 4) v
g
dt v
⎛⎞
⎟
⎜
=−+⎟
⎜⎟
⎟
⎜
⎝⎠
10
11
arctan arctan
vv v
gv v
⎛⎞
⎟
⎜
=−⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
t ; 5) 17, 85 s
4
M
v
t ;
6)
g
π
==
22
1
2
()( )v mg kvdz=−+dm ; 7) 22
11
2
1
ln
2
vvv
2
0
2
gv v
+
=+
z ; 8) 2
1ln 2 347 m
2
M
v
z ; 9)
g
==
2
0
2
0
230,7 %
M
vgz
v
−
==α.
V. 1) 2cos
d ; 2) D’où g
dt =± A
θθ10, 48 2
T.
g
=A
VI. 1) 2
2
Gm
F ; 2)
x
=−
()
11
2vG ; 3) m
xa
=−−
()
2
f
x
t ; 4)
Gm
=−2
a
x ; =
()
1
32
2
t ;
5) t ; 6)
G
=π+
πρ
=
14926 s
()
22
22
2
dx Gm
m ;
dt x
=−21
/ 2 3483 stt ; 7) période 2 ; 8) au bout d’un certain temps les
boules s’immobilisent au contact l’une de l’autre.
== t2
VII. 2) 2
mg
kv =
A
; 3)
()
2
2
2
21
dv
dz ; 4)
v
gv
=−⎛⎞
⎟
⎜⎟
+
⎜⎟
⎜⎟
⎟⎜
⎝⎠
A
22
0
12
ln 1
2
vv
z ; 5)
gv
⎛⎞
⎟
⎜⎟
=+
⎜⎟
⎜⎟
⎟⎜
⎝⎠
A
A
()
2
2
2
21
dv
dx ;
v
gv
=⎛⎞
⎟
⎜⎟
−
⎜⎟
⎜⎟
⎟⎜
⎝⎠
A
6) 22
2
ln 1
2
vv
x ; 7)
gv
⎛⎞
⎟
⎜⎟
=−−
⎜⎟
⎜⎟
⎟⎜
⎝⎠
A
A
2
22
0
1
11
v ; 8.a) v ; 8.b) ; 9) vv.
vv
=
+
A
v
A
0<
22
vv20
Exercices de dynamique, avec énergie, page 4

VIII.
22 22
8
tgh f
RhmR h
π
=
−
++
si 2
mgh
f
Rh
<+2
, sinon le mobile reste immobile.
Exercices de dynamique, avec énergie, page 5
IX. 1)
()
2
3
3cos 1
s
r
GM r
fD
θ−
= ; 3
3cossin
s
GM r
fD
θθθ
=− ;
0
f
ϕ= ; 2) . 54, 74θ=°
X. 2) ;
() exp /xb t=−τ
()
(
)
exp /zucu t=−++ −τ
 ;
3)
(
)
(
)
1exp /xb t=τ− −τ ;
()
(
)
(
)
1exp /zutcu t=−++τ− −τ ; 4) durée d’évolution de la vitesse ; u vitesse limite ;
5) lim ; 6) segment AB ; A
(
; B
(
; 7) S ;
τ
txb →∞ =τ
))
,bc 0, u−S
bu
vcu =+ ; 8) H ;
()
min 22
bu
vbcu =++ ; 9) voir corrigé .
θ
S
x
H
S
A
B
O
XI.. 1.a) La conservation de l’énergie s’écrit :
()
2vghx=+ ; 1.b) 2 cos
v
Rm mg
r
=+ θ ;
1.c)
()
23mg r h x
Rr
−−
= ; 1.d) 5
r
h=.
XII. 1) 2
dM P
dt c
=− ; 2) 2GM
vr = ; 3) l'énergie potentielle doit être une fonction de la seule position ;
4) dr dv
rv
−= ; 7) 00
M
vv
M
= ; 8) 0
0
M
rr
M
= ; 9) 2
0
02
M
TT
M
= ; 10) 26
2
24, 4.10 s PT
TMc
−
∆= ; 11) Le vent
solaire ; 12) actions exercées sur la Terre par les astres autres que le Soleil.
XIII. 1) ; 2) il oscille entre les deux extrémités du tunnel ;
3)
(
p
EmgrR=−
)
()
1
max 2 1980 m.svgRd −
=−= ; 4) 0
max
23200 s
/2
x
tv ≈= ; 5) très rapide ; mais pression trop grande.