Exercice système masse ressort en rotation uniforme :

Exercice 24 janvier 2004
Exercice système masse ressort en rotation uniforme :
M
a +x
)(t
Ω
m
x
a
L
ongueur initiale Coordonnée relative allongement
Y
X
1°) En notant X et Y les coordonnée absolue, calculer la vitesse absolue de la masse
2°) Calculer les énergies potentiel et cinétique, et ses contributions d’entraînement (T ) et
relative (T ).
0
2
3°)Calculer les positions d’équilibre et discuter de sa nature (stable, instable,…)
écrire l’équation de la distance, la dériver par rapport au temps pour obtenir la vitesse :
)cos())(( ttxaX
•
Ω•+=
)sin())(( ttxaY
•
Ω•+= => (la distance(ou a+x)) 222
Y
X
+
=
=> V
22
2•• += YX
itYitXOM
r
r•+•= )()(
itYitX
dt
OMd
x
rr •+•== •• )()(
22
2•• +=•= YXVVV
rr
Jean-Michel BAËS
[email protected]

Exercice 24 janvier 2004
faire les dérivés :
=>•+•=• '')'( VUVUVU )sin()()cos( txatxX •Ω•+•Ω−•Ω•= ••
)cos()()sin( txatxY •Ω•+•Ω−•Ω•= ••
⇓
2
2
)sin()()cos( 
•Ω•+•Ω−•Ω•= ••
txatxX
+
2
2
)cos()()sin( 
•Ω•+•Ω−•Ω•= ••
txatxY
()()(()
22
22
)cos()()sin()()cos()sin( txatxatxtx •Ω•+•Ω+•Ω•+•Ω+
•Ω•+ •• ••
)
Ω
1sincos 22 =+ xx d’où :
22
2
2)( xaxV +•Ω+= • vitesse absolue
La masse va intervenir dans l’énergie cinétique.
Le ressort va intervenir dans l’énergie potentiel.
Energie potentiel :
}{ } [] }{
{
qKqqV t•••= 2
1
)( →2
2
1xk ••=V 2
2
1vm ••=T
Energie cinétique :
2
2
1vm ••=
+•Ω+••=••= •22
2
2)(
2
1
2
1xaxmvmT
)(),(),( 21110
•• ++= qTqqTtqTT
quadratique en •q
de degré 1
Jean-Michel BAËS
[email protected]

Exercice 24 janvier 2004
Jean-Michel BAËS
[email protected]
Par identification :
22
2
)(
2
1
2
1xamxmT +•Ω••+••= •
T T
2 0
avec :
22
0)(
2
1xamT +•Ω••= énergie cinétique d’entraînement
0
1=T
2
22
1•
••= xmT énergie cinétique relative
3°) En équilibre, => 0
*
=
∂
∂
q
V , V (énergie potentiel effective)
0
*TV −=
0
*TVV −= => 222* )(
2
1
2
1xamxk +•Ω••−••=V
amxmk
xamxk
x
xamxk
x
V
•Ω•−•Ω•−=
+•Ω••−••=
∂
+•Ω••−••∂
=
∂
∂
=
22
2
222
*
)(0
)(2()2(
)(
2
1
2
1
0
=> 2
2
Ω•−
•Ω•
=m
k
am
x
Le système est instable lorsque :
0
2=Ω•− mk (x tend vers ) =>∞m
k
=
2
Ω : pulsation propre du système. ωω ,
2
Au voisinage de 0 :
Etudions la dérivé :
amxmk
x
V•Ω•−•Ω•−=
∂
∂22
*
)( =>
2
2
*2
Ω•−=
∂
∂mk
x
V
si > 0 => k > =>
2
Ω•− mk 2 Ω•m2 Ω>
m
k => x > 0 équilibre stable
eq
si < 0 => k < =>
2
Ω•− mk 2 Ω•m2 Ω<
m
k => x < 0 équilibre instable
eq