Exercice 24 janvier 2004 Exercice système masse ressort en rotation uniforme : m a x Longueur initiale Coordonnée relative allongement M Y a +x Ω(t ) X 1°) En notant X et Y les coordonnée absolue, calculer la vitesse absolue de la masse 2°) Calculer les énergies potentiel et cinétique, et ses contributions d’entraînement (T 0 ) et relative (T 2 ). 3°)Calculer les positions d’équilibre et discuter de sa nature (stable, instable,…) écrire l’équation de la distance, la dériver par rapport au temps pour obtenir la vitesse : X = (a + x(t )) • cos(Ω • t ) Y = (a + x(t )) • sin(Ω • t ) r r OM = X (t ) • i + Y (t ) • i x= • r • r d OM = X (t ) • i + Y (t ) • i dt r r • 2 •2 V 2 = V •V = X + Y Jean-Michel BAËS [email protected] • 2 • 2 => (la distance(ou a+x)) 2 = X 2 + Y 2 => V 2 = X + Y Exercice 24 janvier 2004 faire les dérivés : • (U • V )' = U '•V + U • V ' => • X = x• cos(Ω • t ) − Ω • (a + x) • sin(Ω • t ) • • Y = x• sin(Ω • t ) − Ω • (a + x) • cos(Ω • t ) ⇓ • 2 • X = x• cos(Ω • t ) − Ω • (a + x) • sin(Ω • t ) • 2 • Y = x• sin(Ω • t ) − Ω • (a + x) • cos(Ω • t ) + 2 2 2 2 • • 2 2 x• sin(Ω • t ) + x• cos(Ω • t ) + ((Ω • (a + x) • sin(Ω • t ) )) + ((Ω • (a + x) • cos(Ω • t ) )) cos 2 x + sin 2 x = 1 d’où : •2 V 2 = x + Ω 2 • (a + x) 2 vitesse absolue La masse va intervenir dans l’énergie cinétique. Le ressort va intervenir dans l’énergie potentiel. Energie potentiel : 1 1 1 t V ({q}) = • q} • [K ] • {q} → V = • k • x 2 T = • m • v 2 2 2 2 { Energie cinétique : = 1 • m • v2 2 • 2 1 1 2 T = • m • v = • m • x + Ω 2 • (a + x) 2 2 2 • • T = T0 (q1 , t ) + T1 (q1 , q ) + T2 (q ) quadratique en q • de degré 1 Jean-Michel BAËS [email protected] Exercice 24 janvier 2004 Par identification : •2 1 1 T = • m • x + • m • Ω 2 • (a + x) 2 2 2 T0 T2 avec : 1 T0 = • m • Ω 2 • (a + x) 2 énergie cinétique d’entraînement 2 T1 = 0 T2 = •2 1 •m• x 2 énergie cinétique relative 3°) En équilibre, => ∂V * =0 , ∂q V * = V − T0 (énergie potentiel effective) 1 1 • k • x 2 − • m • Ω 2 • (a + x) 2 2 2 1 1 ∂ • k • x 2 − • m • Ω 2 • (a + x) 2 * 2 2 = (2 • k • x) − (2 • m • Ω 2 • (a + x) 0 = ∂V = ∂x ∂x 2 2 0 = (k − m • Ω ) • x − m • Ω • a V * = V − T0 => V * = => x = m • Ω2 • a k − m • Ω2 Le système est instable lorsque : k − m • Ω 2 = 0 (x tend vers ∞ ) => Ω 2 = k m ω 2 , ω : pulsation propre du système. Au voisinage de 0 : Etudions la dérivé : ∂ 2V * ∂V * = (k − m • Ω 2 ) • x − m • Ω 2 • a => = k − m • Ω2 2 ∂x ∂x si k − m • Ω 2 > 0 => k > m • Ω 2 => k > Ω 2 => x eq > 0 équilibre stable m si k − m • Ω 2 < 0 => k < m • Ω 2 => k < Ω 2 => x eq < 0 équilibre instable m Jean-Michel BAËS [email protected]