Projet : Rentrée atmosphérique d`une navette spatiale.

Projet :
Rentrée atmosphérique d’une navette spatiale.
L’objectif est d’analyser le problème de contrôle optimal de l’arc atmosphérique d’une navette spatiale où le
contrôle est l’angle de gîte, et le coût est l’intégrale du flux thermique (facteur d’usure de la navette), de déterminer
une trajectoire optimale reliant une cible donnée, sachant que la navette est soumise à des contraintes sur l’état.
1 Modélisation du problème
1.1 Le repère
Pour modéliser le problème, on utilise les lois de la mécanique classique, un modèle de densité atmosphérique
et un modèle pour les forces s’exerçant sur la navette, la force gravitationnelle et la force aérodynamique qui se
décompose en une composante dite de traînée et une composante dite de portance. Le système est mono-entrée et
le contrôle est la gîte cinématique (l’angle d’attaque est fixé).
On donne un modèle général tenant compte de la rotation (uniforme) de la Terre autour le l’axe K=NS,
à vitesse angulaire de module Ω. On note E= (e1, e2, e3)un repère galiléen dont l’origine est le centre Ode la
Terre, R1= (I, J, K)un repère d’origine Oen rotation à la vitesse Ωautour de l’axe K, et Il’intersection avec le
méridien de Greenwich.
Soit Rle rayon de la Terre et Gle centre de masse de la navette. On note R′
1= (er, el, eL)le repère associé aux
coordonnées sphériques de G= (r, l, L),r≥Rétant la distance OG,lla longitude et Lla latitude, voir fig. 1, (i).
-
6
/
I
J
K
>
]
6
L
er
eLel
G
(i)
6
9
~
~v
er
eL
el
γ < 0χ < 0
(ii)
Figure 1:
Le système de coordonnées sphériques présente une singularité au pôle Nord et au pôle Sud. Pour écrire la
dynamique sous forme plus simple on introduit le repère mobile R2= (i, j, k)dont l’origine est Gde la manière
suivante. Soit ζ:t7→ (x(t), y(t), z(t)) la trajectoire de Gmesurée dans le repère R1et ~v la vitesse relative
~v = ˙xI + ˙yJ + ˙zK. Pour définir ion pose : ~v =|v|i. Le vecteur jest un vecteur unitaire du plan (i, er)
perpendiculaire à iet orienté par j.er>0. On pose k=i∧j. La direction de la vitesse est paramétrisée dans le
repère R′
1= (er, el, eL)par deux angles, voir fig. 1, (ii) :
•la pente γ,
•l’azimut χ.
L’équation fondamentale de la mécanique, qui est une équation différentielle du second ordre sur IR3, se traduit
par un système dans les coordonnées (r, l, L, v, γ, χ).
Par ailleurs on fait les hypothèses suivantes, le long de l’arc atmosphérique :
Hypothèse 1 : la navette est un planeur, c’est-à-dire que la poussée de la navette est nulle.
Hypothèse 2 : on suppose que la vitesse de l’atmosphère est la vitesse de la Terre. La vitesse relative de la
navette par rapport à la Terre est donc la vitesse relative ~v.
1.2 Les forces
Les forces agissant sur la navette sont de deux types :

•force de gravité : pour simplifier on suppose que la Terre est sphérique et que la force de gravité est orientée
selon er. Dans le repère R2elle s’écrit :
~
P=−mg(isin γ+jcos γ)
où g=g0/r2.
•force aérodynamique : la force fluide due à l’atmosphère est une force ~ Fqui se décompose en :
–une composante dite de traînée opposée à la vitesse de la forme :
~
D= (1
2ρSCDv2)i(1)
–une force dite de portance perpendiculaire à ~v donnée par :
~
L=1
2ρSCLv2(jcos µ+ksin µ)(2)
où µest l’angle de gîte, ρ=ρ(r)est la densité de l’atmosphère, et CD, CLsont respectivement les
coefficients de traînée et de portance.
Hypothèse 3 : les coefficients CDet CLdépendent de l’angle d’attaque αqui est l’angle entre l’axe du planeur
et le vecteur vitesse. C’est a priori un contrôle mais on suppose que durant l’arc atmosphérique il est fixé.
Notre seul contrôle est donc l’angle de gîte µdont l’effet est double : modifier l’altitude mais aussi tourner à
droite ou à gauche.
On choisit pour la densité atmosphérique un modèle exponentiel :
ρ(r) = ρ0e−βr,(3)
et par ailleurs on suppose que :
g(r) = g0
r2.(4)
1.3 Les équations
L’arc atmosphérique est décrit par le système suivant :
dr
dt =vsin γ
dv
dt =−gsin γ−1 2ρSCD mv2+ Ω2rcos L(sin γcos L−cos γsin Lcos χ)
dγ
dt = cos γ(−g v+v r) + 1 2ρSCL mvcos µ+ 2Ω cos Lsin χ+ Ω2r vcos L(cos γcos L+ sin γsin Lcos χ)
dL
dt =v rcos γcos χ
dl
dt =−v r
cos γsin χ
cos L
dχ
dt =1 2ρSCL m
v
cos γsin µ+v rcos γtan Lsin χ+ 2Ω(sin L−tan γcos Lcos χ) + Ω2r v
sin Lcos Lsin χ
cos γ
(5)
où l’état est q= (r, v, γ, l, L, χ)et le contrôle est l’angle de gîte µ.
1.4 Les contraintes sur l’état
La navette est, au cours de la phase de rentrée atmosphérique, soumise à trois contraintes :
•Contrainte sur le flux thermique :
ϕ=Cq√ρv3≤ϕmax,(6)
•Contrainte sur l’accélération normale :
γn=γn0(α)ρv2≤γmax
n,(7)
•Contrainte sur la pression dynamique : 1
2ρv2≤Pmax.(8)

1.5 Le coût
Concernant le critère d’optimisation, plusieurs choix sont possibles et les critères à prendre en compte sont le
facteur d’usure lié à l’intégrale du flux thermique et le confort de vol lié à l’intégrale de l’accélération normale. On
choisit le premier critère, et le problème est de minimiser :
C(µ) = ZT
0
Cq√ρv3dt,
le temps final Tétant libre.
1.6 Données numériques
•Données générales :
Rayon de la Terre : rT= 6378139 m.
Vitesse de rotation de la Terre : Ω = 7.292115853608596.10−5rad.s−1.
Modèle de gravité : g(r) = g0
r2avec g0= 3.9800047.1014 m3.s−2.
•Modèle de densité atmosphérique : ρ(r) = ρ0exp−1
hs
(r−rT)avec ρ0= 1.225 kg.m−3et hs= 7143 m.
•Modèle de vitesse du son : vson (r) =
5
X
i=0
airi, with
a5=−1.880235969632294.10−22, a4= 6.074073670669046.10−15,
a3=−7.848681398343154.10−8, a2= 5.070751841994340.10−1,
a1=−1.637974278710277.106, a0= 2.116366606415128.1012.
•Nombre de Mach : Mach(v, r) = v/vson (r).
•Données sur la navette :
Masse: m= 7169.602 kg.
Surface de référence : S= 15.05 m2.
Coefficient de traînée : k=1
2
SCD
m.
Coefficient de portance : k′=1
2
SCL
m.
•Coefficients aérodynamiques :
Table de CD(Mach, incidence)
0.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00 50.00 55.00 deg
0.00 0.231 0.231 0.269 0.326 0.404 0.500 0.613 0.738 0.868 0.994 1.245
2.00 0.231 0.231 0.269 0.326 0.404 0.500 0.613 0.738 0.868 0.994 1.245
2.30 0.199 0.199 0.236 0.292 0.366 0.458 0.566 0.688 0.818 0.948 1.220
2.96 0.159 0.159 0.195 0.248 0.318 0.405 0.509 0.628 0.757 0.892 1.019
3.95 0.133 0.133 0.169 0.220 0.288 0.373 0.475 0.592 0.721 0.857 0.990
4.62 0.125 0.125 0.160 0.211 0.279 0.363 0.465 0.581 0.710 0.846 0.981
10.00 0.105 0.105 0.148 0.200 0.269 0.355 0.458 0.576 0.704 0.838 0.968
20.00 0.101 0.101 0.144 0.205 0.275 0.363 0.467 0.586 0.714 0.846 0.970
30.00 0.101 0.101 0.144 0.208 0.278 0.367 0.472 0.591 0.719 0.849 0.972
50.00 0.101 0.101 0.144 0.208 0.278 0.367 0.472 0.591 0.719 0.849 0.972
Mach
Table de CL(Mach, incidence)
0.00 0.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00 50.00 55.00 deg
0.00 0.000 0.185 0.291 0.394 0.491 0.578 0.649 0.700 0.729 0.734 0.756
2.00 0.000 0.185 0.291 0.394 0.491 0.578 0.649 0.700 0.729 0.734 0.756
2.30 0.000 0.172 0.269 0.363 0.454 0.535 0.604 0.657 0.689 0.698 0.723
2.96 0.000 0.154 0.238 0.322 0.404 0.481 0.549 0.603 0.639 0.655 0.649
3.95 0.000 0.139 0.215 0.292 0.370 0.445 0.513 0.569 0.609 0.628 0.626
4.62 0.000 0.133 0.206 0.281 0.358 0.433 0.502 0.559 0.600 0.620 0.618
10.00 0.000 0.103 0.184 0.259 0.337 0.414 0.487 0.547 0.591 0.612 0.609
20.00 0.000 0.091 0.172 0.257 0.336 0.416 0.490 0.552 0.596 0.616 0.612
30.00 0.000 0.087 0.169 0.258 0.338 0.418 0.493 0.555 0.598 0.619 0.613
50.00 0.000 0.087 0.169 0.258 0.338 0.418 0.493 0.555 0.598 0.619 0.613
Mach
•Profil d’incidence imposé : Si le nombre de Mach est plus grand que 10 alors l’incidence est égale à 40. Si
le nombre de Mach est compris entre 2 et 10 alors l’incidence est une fonction linéaire du nombre de Mach,
entre les valeurs 12 et 40. Si le nombre de Mach est plus petit que 2 alors l’incidence est égale à 12 (voir fig.
2).

Mach number
incidence
2 10
40
12
Figure 2: Profil d’incidence imposé en fonction du nombre de Mach.
•Contraintes sur l’état :
Contrainte sur le flux thermique : ϕ=Cq√ρv3≤ϕmax , où
Cq= 1.705.10−4S.I. et ϕmax = 717300 W.m−2.
Contrainte sur l’accélération normale :
γn=S
2mρv2CDs1 + CL CD2
≤γmax
n= 29.34 m.s−2.
Contrainte sur la pression dynamique : P=1
2ρv2≤Pmax = 25000 kPa.
•Conditions initiale et terminale :
Conditions initiales Conditions terminales
altitude h119.82 km 15 km
vitesse v7404.95 m.s−1445 m.s−1
angle de vol γ−1.84 deg libre
latitude L010.99 deg
longitude llibre ou fixée à 116.59 deg 166.48 deg
azimut χlibre libre
2 Questions
2.1 Modèle simplifié en dimension 3
On étudie tout d’abord le problème simplifié en (r, v, γ), où le contrôle est u= cos µ, et où on suppose la force de
Coriolis constante, ce qui conduit au modèle suivant :
dr
dt =vsin γ
dv
dt =−gsin γ−kρv2
dγ
dt = cos γ(−g v+v r) + k′ρvu + 2Ω
(9)
où le contrôle uvérifie la contrainte |u| ≤ 1.
Par ailleurs on prendra comme coefficients CDet CLles modèles simplifiés suivants, en fonction de la vitesse
v:
CD(v) = 
0.585 si v > 3000,
0.075 + 1.7.10−4vsi 1000 < v ≤3000,
0.245 si v≤1000,
CL(v) = 0.55 si v > 3000,
0.1732 + 1.256.10−4vsi v≤3000,
voir fig. 3.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
v
Coefficient Cd en fonction de v
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
v
Coefficient Cl en fonction de v
Figure 3: Modèle simplifié des coefficients aérodynamiques
2.1.1 Le problème sans contraintes
On résout d’abord le problème en ne tenant pas compte des contraintes sur l’état.
En admettant que la trajectoire optimale satisfaisant les conditions initiale et finale de l’énoncé est constituée
des deux arcs consécutifs u=−1puis u= +1, déterminer numériquement le temps de commutation tc, i.e. le
temps où le contrôle u(t)passe de la valeur −1à la valeur +1.
Représenter en fonction du temps l’allure de la trajectoire optimale obtenue (altitude, vitesse et angle de vol
γ), ainsi que les contraintes d’état. Sont-elles respectées ?
2.1.2 Le problème avec contraintes
On tient maintenant compte des contraintes sur l’état.
On admet que la trajectoire optimale satisfaisant les conditions initiale et finale de l’énoncé est constituée des
quatre arcs consécutifs : u=−1,u= +1,u=ub(arc frontière correspondant à un flux thermique maximal), puis
u= +1.
1. On admettra les formules de calcul suivantes (que l’on peut établir par exemple à l’aide de Maple) :
˙ϕ(t)
ϕ(t)=−v(t) sin γ(t) 2hs−3g0
sin γ(t)
r(t)2v(t)−3kρ(r(t))v(t),
et
¨ϕ(t) = A(t) + B(t)u(t),
où A(t)et B(t)sont certaines fonctions. En particulier le long de l’arc frontière iso-flux, on doit avoir :
ϕ(t) = ϕmax,˙ϕ(t) = ¨ϕ(t) = 0,
d’où l’on déduit
ub(t) = −A(t)
B(t).
L’expression obtenue pour ub(t)est la suivante :
ub=g0r2v2+ 7kρv4r4sinγ −r3v4cos2γ−2Ωr4v3cos γ−18g0hsrv2cos2γ
−6g2
0hs + 12g2 0hscos2γ+ 12g0hsrv2−12Ωg0hsr2vcos γ+ 6k2hsρ2r4v4/(k′r2v2ρ(r2v2+ 6g0hs) cos γ).
2. Déterminer numériquement le premier temps de commutation.
(indication : à l’entrée de la phase iso-flux on doit avoir ϕ=ϕmax et ˙ϕ= 0)
3. Déterminer numériquement le temps de sortie de la phase iso-flux, et représenter la trajectoire optimale satis-
faisant les conditions initiale et finale de l’énoncé, ainsi que les contraintes sur l’état et le contrôle.
Les contraintes sur le facteur de charge et sur la pression dynamique sont-elles respectées ?
2.2 Partie libre
Voici des suggestions pour la partie libre :
1. étude du problème complet (en dimension 6).
2. étude du problème avec coefficients CDet CLnon simplifiés.