Polarisation et formalisme de Jones

Lumière polarisée
Dans la représentation de Jones
S.Ayrinhac (2012)
[email protected]
25/07/13.v5
I. Représentation de Jones
II. Éléments d’optique
III. Interférométrie
Cas d’une lumière monochromatique
purement polarisée

- champ électrique E ( z , t )
- longueur d’onde , fréquence , pulsation =2
- varie dans le temps comme exp(-it)
- se propage suivant l’axe z
- polarisation dans le plan (x,y)
  i ( kz t  )
E  E0 e


 i ( kz t  )
E  ( E0 x u x  E 0 y u y ) e


i 
E  ( E0 x ei x u x  E0 y e y u y )ei ( kz t )
le terme ei(kz-t) est appelé propagateur
Champ électrique et vecteur de Jones (noté J)
  E0 x ei x  
E0 x
  Ep 



  J
E0 

 E ei y   E0 y ei ( y  x )   Es 
  
 0y
 
p : parallèle au plan d’incidence, dans le plan de la table optique
s : perpendiculaire (du mot allemand senkrecht), perpendiculaire au plan de la table
- Linéaire (ou rectiligne) : si y- x=k avec kN, si Ex=0 ou Ey=0
 E0 x ei x   1 
   
LH  
 0
0

  
 0   0

LV  
i y   


 E0 y e   1 
 cos  

L  
 sin  
1 1
 
L 45 
2 1
- elliptique
E
 E0 cos ei x  
cos 






i y 

2
2 
E x  E y  E0 sin e   sin  exp(i) 
1
- circulaire droit (right-handed RH), y- x=/2
1 1
 
RH 
2 i
réel par convention
- circulaire gauche (left-handed LH), y- x=-/2
1 1
 
LH 
2 i 
- Quel est l’état de polarisation du vecteur J suivant ?
1  i 

J  
1  i 
1  i   ei / 4  i / 4  1  i / 4  1 
   i / 4   e  i / 2   e    RH
J  
1  i   e
e

i

Superposition
- les équations de Maxwell sont linéaires, les champs peuvent donc être superposés
(sommés)
 1   0  1
H  V           L45
 0   1  1
1  1  1 1 2  1 
  
  
   H
RH  LH 
2 i
2 i 
2  0
- attention à ce cas particulier :
 1    1  0 
       
 0  0   0
cache le phénomène d’interférences
de 2 ondes en opposition de phase
Le formalisme de Jones
- cas de la lumière purement polarisée uniquement
- si lumière non purement polarisée : formalisme de Stokes ou de Mueller
- adapté au cas où les faisceaux sont interdépendants : cas d’un interféromètre,
propagation à travers plusieurs composants
- un élément d’optique est caractérisé par sa matrice M
- le produit matriciel se fait en sens inverse des éléments (notés 1 à n)
M ( n)  M n M n1...M 2 M1
J f  M (n) J i
- exemple simple : un faisceau polarisé H traverse une lame demi-onde puis un
polariseur
res  POL  HWP  H
Calcul de l’intensité I
- quantité mesurée par un détecteur (photodiode par exemple)
- le symbole * note le complexe conjugué
I  Ex Ex*  E y E *y  1
condition de normalisation
Formules pour l’ellipse
angle auxiliaire 
demi grand-axe a
demi petit-axe b
angle de rotation 
angle d’ellipticité 
Ey
E0x
E0y
a
b
  arctan( E0 y / E0 x )
a  E02x cos 2   E02y sin 2   2 E0 x E0 y cos sin cos 
b  E02x cos 2   E02y sin 2   2 E0 x E0 y cos sin cos 
  arctan tan 2 cos  
 b/a

Ex
Polarisation orthogonale

e

e est le vecteur de Jones support

 
e  u z  e*
T *
e e  0
complexe conjugué
produit vectoriel
transposée
Rappels sur les complexes conjugués (notés avec une *)
- symétrique de z par rapport à l’axe des réels
 z  a  ib
forme cartésienne  *
 z  a  ib
 z  rei
forme polaire  *
 z  rei
Rappels sur le produit vectoriel (noté avec ^)
 x1   x2   y1 z2  z1 y2 
    

y

y

z
x

x
z
 1  2   1 2 1 2 
z  z  x y  y x 
 1  2  1 2 1 2
Exemple : calcul de la polarisation orthogonale de LH


e  u z  LH *
0
1
i
 1 
1
   1   1  
i  
i  
e   0  
i 
1 
1 / i  
  i   RH
2 
2 
2 
2 
1
 
0
 0
 0 
0
Conclusion : RH et LH sont orthogonaux ! Il en est de même pour :
- H et V
- 1  i   1  i 

 et 

1

i
1

i

 

Opération de rotation sur une matrice de Jones M
 cos 
rot  
  sin 
sin  

cos  
M  rot  M  rot
matrice de rotation d’un angle 
I. Représentation de Jones
II. Éléments d’optique
III. Interférométrie
Miroir R de réflectance r (ou miroir parfait m)
- en incidence normale (i=0)
- à la réflexion, z change de direction et x devient –x
- une onde polarisée RH devient LH, et inversement
 1 0 

m  
 0 1
  r 0

R  
 0 r
- les miroirs dépolarisent légèrement la lumière polarisée
- les miroirs d’argent servent pour le rouge et l’infrarouge, l’aluminium
sert pour le bleu et l’ultraviolet (jusqu’à une certaine limite)
Miroir vibrant
- utile en interférométrie
- miroir monté sur une platine piézoélectrique
- compense les changements de chemin optique via un asservissement
dynamique
  e i
M   
 0
0

i 
e 
Miroir R, en incidence quelconque i, taillé dans un matériau d’indice n
  rp
R  
 0
0

rs 
rp et rs sont les coefficients de Fresnel
rp 
cos  t  n cos  i
cos  t  n cos  i
dans le plan d’incidence
rs 
cos  i  n cos  t
cos  i  n cos  t
parallèle au plan de la surface réfléchissante
où t est donné par la loi de Snell-Descartes :
sin i  n sin t
Exemple : performance des miroirs Thorlabs en argent (protected silver), à
i=45° d’angle d’incidence, pour une longueur d’onde de 800 nm
R moy=98.333 %
2
Rp=98.70 %
R p  rp
Rs=97.65 %
Polariseur
- appelé aussi film polaroïd
- formé d’une grille (ou de polymères étirés) suivant un certain axe, seule la
composante perpendiculaire à cet axe est transmise
- obtenu naturellement avec un cristal dichroïque (ex.: tourmaline)
- transforme une lumière naturelle (non polarisée) en lumière polarisée
- aussi appelé analyseur juste après un autre polariseur
- la rotation du polariseur n’affecte pas l’intensité dans le cas d’une pola. circulaire
incidente
- les écrans plats ou de téléphone émettent une lumière polarisée
- certaines lunettes 3D ont des verres avec une polar. différente pour chaque œil
1 0

POLH  
 0 0
 0 0

POLV  
0 1
 cos 2 
POL  
 cos  sin 
POL45
POL135
1 1 1

 
2 1 1
1  1  1

 
2  1 1 
cos  sin  

2
sin  
Cube polarisant (polarizing beam splitter, PBS)
- travaille en réflexion (r) ou en transmission (t)
- réfléchit V à 90° ou transmet H
 0 0

PBS r  
0 1
1 0

PBS t  
 0 0
V, s
H,p
- le prisme de Glan-Taylor est le plus commun, il est fabriqué à base de calcite
- il existe des cubes en verre, c’est le traitement de séparation entre 2 demiprismes qui polarise (exemple avec les cubes PBS de Thorlabs)
- les cubes ont généralement un Rp non nul (dans la gamme 600-1000 nm)
Rs=100%
Rp=5%
Tp=95%
Ts=0%
source : catalogue Thorlabs
Cube non polarisant (nonpolarizing beam splitter NPBS)
1  1 0 


NPBS r 
2  0 1
1 1 0


NPBS t 
2 0 1
Ir 
1
I0
2
équivaut à un miroir (avec i=/4)
I0
matrice identité I2
Filtre neutre (neutral density filter ND) de transmission t
- la densité optique (DO) est définie dans le facteur de transmission t=I/I0=10DO
(exemple : un filtre de densité 1 atténue d’un facteur 10)
1 0

ND  t 
0 1
It 
1
I0
2
Lame d’onde (wave plate, WP)
- ligne neutre tournée d’un angle  par rapport à l’axe x
- une lame d’épaisseur L introduit un retard  = y-x = 2L/
1 0 

WP  
i 
0 e 
WP,  rot WP  rot
WP ,
 cos 
 
 sin 
 sin   1
0
 cos 


cos   0 exp( i)   sin 
sin  

cos  
Lame demi-onde (half-wave plate, HWP)
- épaisseur L= /2, retard  = 
- possède deux lignes neutres à 90° l’une de l’autre
1 0 

HWP0  
 0  1
1 1 1 


HWP22.5 
2 1  1
0 1

HWP45  
1 0
1   1 1


HWP67.5 
2  1 1
 1 0 

HWP90  
 0 1
HWP45  H  V
HWP22.5 V  L45
- transforme une pola. rect. incidente en son symétrique par rapport à la
ligne neutre. Autrement dit : une pola. rect. tournée de  par rapport
aux lignes neutres tourne de 2. Exemple : pour =45° la pola.
émergente est perpendiculaire à la pola. incidente
2

HWP
ligne neutre
Lame quart-d’onde (quarter-wave plate QWP)
- épaissseur L= /4, retard  = /2
- possède 2 lignes neutres : un axe lent et un axe rapide
- l’axe lent déphase la composante associée à cet axe de /2
- transforme une pola. rectiligne en pola. elliptique dans le cas général.
- transforme une pola. rectiligne en pola. circulaire si =45°.
- transforme une pola. circulaire incidente en pola. rectiligne à 45° des lignes neutres.
- une pola. linéaire tombant sur une ligne neutre reste inchangée
1 0 

QWP0  
0  i
1 1  i 1  i 

QWP45  
2 1  i 1  i 
  i 0

QWP90  
 0 1
1  1  i 1  i 

QWP135  
2  1  i 1  i 
- deux lames quart d’onde à 45° tournent la pola. de H en V (et inversement)
QWP45
H
circulaire
QWP45
V
I. Représentation de Jones
II. Éléments d’optique
III. Interférométrie
Interférences
y
E1
La formule essentielle est la suivante :



E  E1ei1 u1  E2 ei2 u2
I  EE  E1  E2
*
2
2
1

 2 E1 E2 cos 2  1 u1u 2
2
x
I  I1  I 2  2 I1 I 2 cos  2  1  cos( 2  1 )
- 2 champs  n’interférent pas : H et V, RH et LH, etc.
E2

u1u 2  0
Les lois d'interférences de Fresnel et Arago (livre E.Collett p.255-277)
1. Deux ondes PL dans le même plan interfèrent.
2. Deux ondes PL avec des pola perpendiculaires n'interfèrent pas.
3. Deux ondes PL avec des pola. perp. , si elles dérivent des composantes d'une lumière
non polarisée et sont amenées dans le même plan, n'interfèrent pas.
4. Deux ondes PL avec des pola. perp. , si elles dérivent des composantes d'une même
onde PL et sont amenées dans le même plan, interfèrent.
Etude de cas : interféromètre de Michelson
détecteur A
les faisceaux interfèrent après PBS2
grâce à la /4 (ou /2)
EA
détecteur B
PBS2

EB
/4 (ou /2)
ER
ES
/2

PBS1
L45
/4


/4
RH LH
M2 (miroir de référence)
RH
LH
M1 (échantillon, signal)
pour un faisceau pulsé les deux bras
doivent avoir la même longueur
Utilisation du formalisme de Jones
pour déterminer l’intensité reçue sur chaque photodiode
1
3
(1)
ES  PBS 1,r  QWP135  m  QWP45  PBS 1,t  HWP22.5  V
(2)
ER  PBS 1,t  QWP45  M   QWP135  PBS 1,r  HWP22.5  V
(3)
E A  PBS 2,t  QWP45  ER  PBS 2,t  QWP45  ES
(4)
EB  PBS 2,r  QWP45  ER  PBS 2,r  QWP45  ES
(5)
I A  E A E A*
(6)
I B  EB EB*
4
5
2
5
Notes : S pour signal, R pour référence, M1 est m, M2 est M
1) QWP45 et QWP135 sont permutables
2) le produit HWP22.5 V équivaut à L45
3) la lame demi-onde permet d’envoyer 50%/50% dans les 2 bras si M1 et M2 sont
parfaits
4) ER est rectiligne H, ES est rectiligne V
5) HWP22.5 peut être remplacé par QWP45 (le réglage de la /2 en rotation est plus
sensible)
Références
Formalisme de Jones :
- T. Tachizaki et al, Rev. Sci. Instrum. 043713 77 (2006)
- E.Collett, Polarized light (Dekker, 1993) ISBN 0-8247-8729-3
- cours de F. Goudail et N. Westbrook de l’Institut d’Optique
(sur les lumières partiellement et non polarisées)
http://paristech.iota.u-psud.fr/site.php?id=18
- cours de Kevin Hewitt (Dalhouse University, Halifax)
Lecture 34: Polarization: Jones matricies and vectors.
http://fizz.phys.dal.ca/~hewitt/Web/PHYC3540/Lecture34.ppt
- polarization with Interferometry (Michael Ireland)
Michelson Summer Workshop, July 27, 2006
http://nexsci.caltech.edu/workshop/2006/talks/Ireland.pdf
- Orthogonalité (Cantrell, 2004, University of Texas at Dallas)
http://www.utdallas.edu/~cantrell/ee6334/polarization.pdf
- Interféromètre de Michelson homodyne (optique pour l’ingénieur)
http://www.optique-ingenieur.org/fr/cours/OPI_fr_M02_C07/co/Contenu_06.html