P15 - UTC

UTC PS91
Examen Partiel P15
Dur´ee : 1h, documents autoris´es : AUCUN
Exercice 1. Questions de cours (6 points)
Etant donn´es deux vecteurs ~ Aet ~ Bfaisant un angle θ.
a. D´efinir le produit scalaire de ces deux vecteurs (en fonction de θ).
b. D´efinir le produit vectoriel de ces deux vecteurs (en fonction de θ). Faire un dessin si n´ecessaire
c. Dans le rep`ere cart´esien (O, ~ex, ~ey, ~ez), on pose
~
A= 1~ex+ 2~ey+ 3~ezet ~ B= 3~ex+ 2~ey+ 1~ez
Calculez le produit scalaire et vectoriel.
d. Dans le rep`ere cylindrique (O, ~eρ, ~eθ, ~ez), on pose
~
A= 3~eρ+ 2~eθ+ 1~ezet ~ B= 1~eρ+ 2~eθ+ 3~ez
Calculez le produit scalaire et vectoriel.
e. Dans le cadre du changement de r´ef´erentiel, on consid`ere un r´ef´erentiel fixe Ret un r´ef´erentiel
en mouvement R′. Rappeler la loi de composition des vitesses (faire un sch´ema explicatif). Donnez
son expression dans le cas o`u le r´ef´erentiel R′est en rotation autour de l’axe Oz.
Exercice 2. Etude d’une trajectoire (14 points)
Soit Run r´ef´erentiel et (O, ~ex, ~ey)le rep`ere cart´esien associ´e. Un point Md´ecrit dans le plan Oxy
une spirale d’´equations
x=bθ cos θet y=bθ sin θ
avec bune constante positive et on note (ρ, θ), les coordonn´ees polaires classiques. De plus on note
~eρ,~eθles vecteurs de la base polaire. On consid`ere que le mouvement est tel que
dθ
dt=ω
o`u ωest une constante et `a l’origine des temps t= 0, nous avons θ= 0.
a. D´eterminer l’expression du vecteur position −−→ OM et du vecteur vitesse en coordonn´ees polaires.
b. D´eterminer l’expression du vecteur acc´el´eration en coordonn´ees polaires.
c. D´eterminer l’acc´el´eration tangentielle `a partir du vecteur tangent unitaire ~ T.
d. Retrouver ce r´esultat en utilisant une autre m´ethode.
e. D´eterminer l’acc´el´eration normale.
f. Montrer que le rayon de courbure s’´ecrit :
R=b(1 + θ2)p
2 + θ2
ou pest un exposant `a d´eterminer.
g. Indiquer comment calculer la longueur de la trajectoire lorsque le point Ma fait un tour complet
(de 0 `a 2π). Montrer que cette longueur ne d´epend pas de la vitesse angulaire ω. Expliquer pourquoi.
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