TD3

Licence Sciences Physiques et Chimiques Ann´ee universitaire 2005–2006
Licence Math´ematiques et Informatique Facult´e des Sciences de Luminy
Unit´e d’Enseignement PHY7 Universit´e de la M´editerran´ee
M´ ecanique du solide & M´ ecanique analytique
TD.3
1) Un vaisseau spatial poss`ede une acc´el´eration ¨ bet une vitesse angulaire ω= 0 par rap-
port `a la terre. Une particule test est en chute libre dans le champ de gravitation terrestre g.
(i) Trouver sa vitesse vrel et son acc´el´eration arel par rapport au vaisseau.
(ii) D´eterminer arel dans le cas particulier, ¨ b=g, o`u le vaisseau est lui-mˆeme en chute
libre. Commentaire ?
2) Un changement de r´ef´erentiel est donn´e par la matrice
A(t) = 
cos θ(t)−sin θ(t) 0
sin θ(t) cos θ(t) 0
0 0 1
o`u θ(t) d´epend diff´erentiablement du temps.
(i) Donner les composantes du vecteur instantan´e de rotation ω(t).
(ii) V´erifier que A(t) = exp j(θ(t)e3).
(iii) En d´eduire l’expression des composantes de la vitesse vrel et de l’acc´el´eration arel
relatives en fonction de celles de la vitesse v, de l’acc´el´eration aabsolues et de θ(t).
3) La position d’un compas gyroscopique par rapport `a un r´ef´erentiel “fixe” est d´etermin´ee
par la matrice de rotation (suspension `a la Cardan)
A(t) = A3(t)A2(t)
o`u Ai(t) = exp j(θi(t)ei)est une matrice de rotation autour de la direction ei, d’un
angle θi(t), pour i= 1,2,3.
(i) D´eterminer les composantes ω(t) du vecteur instantan´e de rotation du compas dans
le rep`ere fixe.
(ii) En d´eduire les composantes Ω(t) du vecteur instantan´e de rotation du compas dans
le rep`ere mobile.
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4) Le lagrangien d’une particule de masse men chute libre dans le champ de gravitation
newtonien cr´e´e par un astre `a sym´etrie sph´erique admet l’expression suivante
`(r,˙ r) = m
2k˙
rk2+GMm
krk(r6= 0)
dans un r´ef´erentiel “fixe” de Copernic ; ici Gest la constante de Newton et Mla masse
de l’astre. Cet astre est anim´e d’un mouvement de rotation caract´eris´e par une matrice de
rotation Ad´ependant du temps. On d´esigne par R=A−1rla position d’un point mat´eriel
relativement `a cet astre.
(i) Donner l’expression de la vitesse absolue ˙ rde ce point en fonction de A,R,˙ Ret de
la vitesse instantan´ee de rotation Ωexprim´ee dans le rep`ere mobile.
(ii) En d´eduire l’expression du lagrangien L(R,˙ R) = `(r,˙ r) du point mat´eriel dans le
rep`ere mobile.
(iii) Ecrire les ´equations de Lagrange pour le lagrangien L(R,˙ R) ainsi trouv´e. En d´eduire
les ´equations du mouvement m¨ R=F(R,˙ R,Ω) du point mat´eriel en chute libre exprim´ees
dans le r´ef´erentiel de l’astre. Commentaires ?
5) On utilise un fil `a plomb pour d´eterminer, en principe, la “verticale” en un point
donn´e de la terre. Il faut cependant tenir compte d’une correction due `a la rotation diurne
de la terre. Utiliser l’expression des forces d’inertie dans un r´ef´erentiel li´e `a la terre pour
d´eterminer l’angle αentre la verticale vraie et la direction du fil `a plomb en un point de
latitude λdonn´ee. A.N.Evaluer l’ordre de grandeur de αsi λ= 45 deg (on prendra pour
rayon de la terre R∼
=6400 km et g∼ =10 m s−2pour l’acc´el´eration de la pesanteur au sol).
6) On consid`ere une courbe M(s) de l’espace euclidien tridimensionnel, param´etr´ee par
l’abscisse curviligne s. Si t=dM/ds d´esigne la tangente unitaire, la normale unitaire est
d´efinie par n=%−1dt/ds o`u %est la courbure de cette courbe ; la binormale unitaire est
alors b=t×n.
(i) Montrer que A(s) = (t n b) d´efinit un rep`ere orthonorm´e direct en tout point M(s) ;
on appelle A(s)rep`ere de Fr´enet.
(ii) La torsion τde la courbe est introduite par db/ds =−τn; d´eterminer la vitesse
instantan´ee de rotation ω(s) du rep`ere de Fr´enet. En d´eduire et l’expression de dn/ds.
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