Exercices sur les fluides non newtoniens

Exercices sur les fluides non newtoniens
IUT - GTE - Marseille
2012-13
1´ Etude d’un r´efrig´erant d’huile
Un r´efrig´erant d’huile est compos´e d’un groupe de 100 tubes cylindriques en parall`ele de diam`etre
D= 0.01 m et de longueur l= 4 m. ` A la vitesse moyenne U= 2 m/s, on y fait circuler de l’huile
dont la masse volumique moyenne est ´egale `a 900 kg/m3mais dont la viscosit´e dynamique µvarie
lin´eairement de µ1= 0.03 Pl `a l’entr´ee jusqu’`a µ2= 0.1 Pl `a la sortie en raison du refroidissement.
Calculer la puissance P qu’il faut fournir `a l’huile pour lui faire traverser le r´efrig´erant. On n´egligera
les pertes de charge singuli`eres `a l’entr´ee et `a la sortie des tubes.
Donner une formule pratique pour calculer P et dans laquelle n’intervient pas le diam`etre D.
2 Fluide de Bingham dans un tube
D´eterminer la contrainte critique τ0d’un fluide de Bingham de masse volumique 1600 kg/m3et
qui commence juste `a s’´ecouler, sous l’effet de son propre poids, dans un tube vertical de 250 mm de
diam`etre, ouvert aux extr´emit´es. On cherchera ainsi la valeur τ0qui satisfait l’´equation Q= 0, o`u Q
est le d´ebit volumique.
On rappelle la formule de Rabinovitch-Mooney donnant le d´ebit volumique Qen fonction de la
contrainte τet de la vitesse de cisaillement ˙γ:
Q=πR3
τ3
pτp
τ0
τ2˙γ(τ)dτ (1)
o`u Rest le rayon de la conduite et τpla contrainte `a la paroi.
3´ Ecoulement en conduite d’un fluide de Bingham
On consid`ere l’´ecoulement horizontal d’une peinture viscoplastique de loi rh´eologique de Bingham,
qui s’´ecrit pour τ > τ0, o`u τ0est ´egal au seuil de contrainte `a partir duquel le corps de Bingham
s’´ecoule : τ=τ0+µ˙γ.
Cette peinture de masse volumique ρ1= 1,25 g/cm3, suppos´ee ´etal´ee sur un mur vertical, ne
commence `a couler que si son ´epaisseur a d´epass´e 0.2mm. D’autre part, plac´ee dans un viscosim`etre
de Couette o`u le jeu radial vaut 0.5cm et la vitesse tangentielle vaut 5 cm/s, elle pr´esente une viscosit´e
apparente ´egale `a 5 poises (on prendra g= 9.81 m/s2).
1. Donner la loi rh´eologique de la peinture (τ0et µ).
2. ´ Etudier les variations de la tension tangentielle le long du rayon de la conduite. Pour cela on
´ecrira l’´equilibre des forces de contraintes horizontales (contraintes de viscosit´e et pression) sur
un volume fluide d´efini sur l’axe de l’´ecoulement de rayon r, 0 < r < R et de longueur dx.
3. Donner l’expression du profil de vitesse en fonction du rayon Rdu tube, par int´egration de la
contrainte tangentielle de r`a r=R.
4. Calculer les d´ebits de peinture lorsque le rayon Rprend successivement les valeurs 2,3,4,5 et
10 mm, pour un tube de longueur L= 10 m, sous une d´enivellation `a l’entr´ee de H= 2 m.
5. Comparer aux d´ebits d’une huile newtonienne de mˆeme viscosit´e et de masse volumique ρ1= 0.8
g/cm3, pour les mˆemes valeurs successives de R. Comparer les deux fluides.
6. Tracer les profils de vitesse pour les deux fluides avec R= 4 mm.
1

4 M´elange d’huile et d’´ethylcellulose
On ´etudie un m´elange d’huile min´erale et d’´ethylcellulose sous diff´erentes vitesses de cisaillement.
Les relev´es des mesures sont donn´es dans le Tableau 1.
˙γ(s−1) 50.4 154 268 522 1030 2130
τ(P a) 2180 3080 3620 4340 4820 5480
Table 1 – Mesures de τen fonction de ˙γ.
Figure 1 – Rh´eogramme du m´elange d’huile et d’´ethylcellulose.
1. ` A partir du rh´eogramme τ=f( ˙γ) de la Figure 1 (gauche), donnez le type de fluide non newto-
nien.
2. Ce fluide suit une loi de puissance de type τ=k˙γn(Fig.1 de droite). D´eterminer l’indice
d’´ecoulement net l’indice de consistance k.
5 Encre d’imprimerie
On ´etudie une encre d’imprimerie `a l’aide d’un viscosim`etre rotatif dont les caract´eristiques sont
les suivantes :
– vitesse de cisaillement ˙γ=dγ
dt (s−1) : ˙γ= 7.5Ω, avec Ω la vitesse de rotation du mobile en rad/s.
– contrainte de cisaillement τ(P a) : τ= 16.2×103C, o`u Cest le couple r´esistant s’exer¸cant sur
le mobile en N.m.
On a relev´e les valeurs donn´ees dans le Tableau 2. Le rh´eogramme correspondant est donn´e `a la
Figure 2.
1. On consid`ere que lors de l’impression, le rouleau encreur exerce sur la surface de l’encre une
contrainte de cisaillement de l’ordre de 0.4 Pa. ´ Evaluer graphiquement la viscosit´e de l’encre
sous cette contrainte.
2

Ω (tr/min) 10 16 23.5 37.5 44 52 58 66 72 79 86 92.5 100
105C(N.m) 0.68 0.99 1.13 1.4 1.54 1.71 1.84 1.95 2.1 2.23 2.34 2.44 2.54
Table 2 – Mesures de Cen fonction de Ω.
Figure 2 – Rh´eogramme d’une encre d’imprimerie.
2. On consid`ere que l’encre d´epos´ee sur une ´epaisseur de 1 µm sur du papier subit une contrainte
de cisaillement en surface, lorsque le papier est vertical, de l’ordre de 0.01 Pa. ´ Evaluer graphi-
quement la viscosit´e de l’encre sous cette contrainte.
3. Trouver la nature de l’encre et d´eterminer sa loi rh´eologique.
6´ Etude graphique d’un fluide non newtonien
L’´etude rh´eologique d’un fluide a permis d’´etablir le graphique pr´esent´e sur la Figure 3.
Ce graphique montre l’´evolution temporelle de la viscosit´e apparente, pour trois valeurs du taux
de cisaillement ( ˙γ= 100, 150 et 200 s−1) et correspond au Tableau 3 de valeurs exp´erimentales de
viscosit´e apparente.
temps (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
˙γ= 100 30.43 18.028 13.465 11.787 11.169 10.942 10.859 10.828 10.817 10.812 10.811
˙γ= 150 20.62 12.352 9.310 8.191 7.78 7.628 7.572 7.552 7.544 7.542 7.541
˙γ= 200 15.715 9.514 7.233 6.393 6.085 5.971 5.929 5.914 5.908 5.906 5.905
Table 3 – Viscosit´e apparente (P a.s) en fonction du temps et pour 3 valeurs du taux de cisaillement
˙γ.
3

Figure 3 – Viscosit´e apparente en fonction du temps pour 3 valeurs du taux de cisaillement ˙γ.
On observe par ailleurs que ce fluide ne s’´ecoule pas sous l’effet de son propre poids lorsqu’il est
plac´e dans un tube vertical ouvert aux extr´emit´es.
Proposer un mod`ele rh´eologique permettant de retrouver ces r´esultats exp´erimentaux et d´eterminer
les valeurs num´eriques des constantes qui y interviennent.
7´ Etude graphique d’une solution d’hydroxy´ethylcellulose
L’´etude rh´eologique d’une solution d’hydroxy´ethylcellulose `a 2% a permis d’´etablir le graphique
pr´esent´e sur la Figure 4.
Figure 4 – Frottement de paroi (P a) en fonction de la temp´erature pour 3 valeurs du taux de
cisaillement ˙γ.
Le graphique 4 montre l’influence de la temp´erature sur le frottement visqueux, pour trois valeurs
du taux de cisaillement ( ˙γ= 100, 150 et 200 s−1), en r´egime stationnaire, et correspond au Tableau
4 de valeurs exp´erimentales.
1. Dans quelle cat´egorie classeriez-vous ce fluide ? Proposez un mod`ele rh´eologique permettant de
retrouver ces r´esultats exp´erimentaux.
4

temp´erature (◦C) 20 30 40 50 60
˙γ= 100 s−1223.26 205.23 183.04 156.17 124.01
˙γ= 150 s−1241.04 223.04 200.24 171.97 137.46
˙γ= 200 s−1254.51 236.6 213.41 184.14 147.88
Table 4 – Frottement de paroi en fonction de la temp´erature pour 3 valeurs du taux de cisaillement
˙γ.
2. D´eterminez le gradient de pression associ´e `a un ´ecoulement de 5 ×10−5m3/s dans une conduite
de section circulaire (diam`etre D= 1 cm) `a 20◦Cet 60◦C. On donne ρ= 1000 kg/m3.
8 Solution d’hydroxy´ethylcellulose
Une solution d’hydroxy´ethylcellulose `a 2% pr´esente une loi de comportement du type loi de puis-
sance. ` A 20◦C, l’indice de consistance Kvaut 93.5N.s0.189/m2et l’indice d’´ecoulement nvaut 0.189.
`
A 60◦C, on a K= 38.5N.s0.254 /m2et n= 0.254.
D´eterminer dans les deux cas, le gradient de perte de pression ∆P/L associ´e `a un ´ecoulement
de Q= 5 ×10−5m3/s dans un conduit de section circulaire de D= 1 cm de diam`etre. On donne
ρ= 1000 kg/m3.
Pour cela, on rappelle les formules suivantes pour le coefficient de frottement Cf, la contrainte
pari´etale τpet le nombre de Reynolds Re′:
Cf=τp
0.5ρV 2
m
=16
Re′(2)
τp=D
4
∆P
L(3)
Re′= 81−nρ(4n
3n+ 1)nDn KV2−n
m(4)
o`u Vmest la vitesse moyenne.
9 Chute de pression en conduite rectiligne
On consid`ere l’´ecoulement stationnaire et laminaire d’un fluide incompressible de masse volumique
ρ= 1200 kg/m3dans une conduite rectiligne de section circulaire (diam`etre D= 10 cm) `a parois
lisses. Une s´erie de mesures de la chute de pression ∆Psur une longueur de conduite L= 1 m, en
fonction du d´ebit volumique Q, a produit le Tableau 5.
Q(l/min) 1 2 3 4 5
∆P(Pa) 0.0067 0.013 0.02 0.0245 0.0286
Table 5 – Mesures de ∆Pen fonction de Q.
1. Jusqu’`a quelle valeur du nombre de Reynolds, le fluide peut il ˆetre consid´er´e comme newtonien ?
2. ` A partir de cette valeur du nombre de Reynolds, le fluide pr´esente-t-il un comportement rh´eofluidifiant
ou rh´eo´epaississant ?
3. Comment peut-on mod´eliser le comportement du fluide au-del`a du r´egime newtonien ? D´eterminer
les valeurs num´eriques des param`etres du mod`ele.
4. Quelle erreur sur la chute de pression commet-on, si on utilise ce mod`ele pour les trois premi`eres
valeurs du d´ebit ? Conclure.
5