Exercices sur les fluides non newtoniens

Exercices sur les fluides non newtoniens
IUT - GTE - Marseille
2012-13
1
Étude d’un réfrigérant d’huile
Un réfrigérant d’huile est composé d’un groupe de 100 tubes cylindriques en parallèle de diamètre
D = 0.01 m et de longueur l = 4 m. À la vitesse moyenne U = 2 m/s, on y fait circuler de l’huile
dont la masse volumique moyenne est égale à 900 kg/m3 mais dont la viscosité dynamique µ varie
linéairement de µ1 = 0.03 Pl à l’entrée jusqu’à µ2 = 0.1 Pl à la sortie en raison du refroidissement.
Calculer la puissance P qu’il faut fournir à l’huile pour lui faire traverser le réfrigérant. On négligera
les pertes de charge singulières à l’entrée et à la sortie des tubes.
Donner une formule pratique pour calculer P et dans laquelle n’intervient pas le diamètre D.
2
Fluide de Bingham dans un tube
Déterminer la contrainte critique τ0 d’un fluide de Bingham de masse volumique 1600 kg/m3 et
qui commence juste à s’écouler, sous l’effet de son propre poids, dans un tube vertical de 250 mm de
diamètre, ouvert aux extrémités. On cherchera ainsi la valeur τ0 qui satisfait l’équation Q = 0, où Q
est le débit volumique.
On rappelle la formule de Rabinovitch-Mooney donnant le débit volumique Q en fonction de la
contrainte τ et de la vitesse de cisaillement γ̇ :
∫
πR3 τp 2
Q= 3
τ γ̇(τ )dτ
(1)
τp τ0
où R est le rayon de la conduite et τp la contrainte à la paroi.
3
Écoulement en conduite d’un fluide de Bingham
On considère l’écoulement horizontal d’une peinture viscoplastique de loi rhéologique de Bingham,
qui s’écrit pour τ > τ0 , où τ0 est égal au seuil de contrainte à partir duquel le corps de Bingham
s’écoule : τ = τ0 + µγ̇.
Cette peinture de masse volumique ρ1 = 1, 25 g/cm3 , supposée étalée sur un mur vertical, ne
commence à couler que si son épaisseur a dépassé 0.2 mm. D’autre part, placée dans un viscosimètre
de Couette où le jeu radial vaut 0.5 cm et la vitesse tangentielle vaut 5 cm/s, elle présente une viscosité
apparente égale à 5 poises (on prendra g = 9.81 m/s2 ).
1. Donner la loi rhéologique de la peinture (τ0 et µ).
2. Étudier les variations de la tension tangentielle le long du rayon de la conduite. Pour cela on
écrira l’équilibre des forces de contraintes horizontales (contraintes de viscosité et pression) sur
un volume fluide défini sur l’axe de l’écoulement de rayon r, 0 < r < R et de longueur dx.
3. Donner l’expression du profil de vitesse en fonction du rayon R du tube, par intégration de la
contrainte tangentielle de r à r = R.
4. Calculer les débits de peinture lorsque le rayon R prend successivement les valeurs 2, 3, 4, 5 et
10 mm, pour un tube de longueur L = 10 m, sous une dénivellation à l’entrée de H = 2 m.
5. Comparer aux débits d’une huile newtonienne de même viscosité et de masse volumique ρ1 = 0.8
g/cm3 , pour les mêmes valeurs successives de R. Comparer les deux fluides.
6. Tracer les profils de vitesse pour les deux fluides avec R = 4 mm.
1
4
Mélange d’huile et d’éthylcellulose
On étudie un mélange d’huile minérale et d’éthylcellulose sous différentes vitesses de cisaillement.
Les relevés des mesures sont donnés dans le Tableau 1.
γ̇ (s−1 )
τ (P a)
50.4
2180
154
3080
268
3620
522
4340
1030
4820
2130
5480
Table 1 – Mesures de τ en fonction de γ̇.
Figure 1 – Rhéogramme du mélange d’huile et d’éthylcellulose.
1. À partir du rhéogramme τ = f (γ̇) de la Figure 1 (gauche), donnez le type de fluide non newtonien.
2. Ce fluide suit une loi de puissance de type τ = k γ̇ n (Fig.1 de droite). Déterminer l’indice
d’écoulement n et l’indice de consistance k.
5
Encre d’imprimerie
On étudie une encre d’imprimerie à l’aide d’un viscosimètre rotatif dont les caractéristiques sont
les suivantes :
−1
) : γ̇ = 7.5Ω, avec Ω la vitesse de rotation du mobile en rad/s.
– vitesse de cisaillement γ̇ = dγ
dt (s
– contrainte de cisaillement τ (P a) : τ = 16.2 × 103 C, où C est le couple résistant s’exerçant sur
le mobile en N.m.
On a relevé les valeurs données dans le Tableau 2. Le rhéogramme correspondant est donné à la
Figure 2.
1. On considère que lors de l’impression, le rouleau encreur exerce sur la surface de l’encre une
contrainte de cisaillement de l’ordre de 0.4 Pa. Évaluer graphiquement la viscosité de l’encre
sous cette contrainte.
2
Ω (tr/min)
105 C (N.m)
10
0.68
16
0.99
23.5
1.13
37.5
1.4
44
1.54
52
1.71
58
1.84
66
1.95
72
2.1
79
2.23
86
2.34
92.5
2.44
100
2.54
Table 2 – Mesures de C en fonction de Ω.
Figure 2 – Rhéogramme d’une encre d’imprimerie.
2. On considère que l’encre déposée sur une épaisseur de 1 µm sur du papier subit une contrainte
de cisaillement en surface, lorsque le papier est vertical, de l’ordre de 0.01 Pa. Évaluer graphiquement la viscosité de l’encre sous cette contrainte.
3. Trouver la nature de l’encre et déterminer sa loi rhéologique.
6
Étude graphique d’un fluide non newtonien
L’étude rhéologique d’un fluide a permis d’établir le graphique présenté sur la Figure 3.
Ce graphique montre l’évolution temporelle de la viscosité apparente, pour trois valeurs du taux
de cisaillement (γ̇ = 100, 150 et 200 s−1 ) et correspond au Tableau 3 de valeurs expérimentales de
viscosité apparente.
temps (s)
γ̇ = 100
γ̇ = 150
γ̇ = 200
0
30.43
20.62
15.715
1
18.028
12.352
9.514
2
13.465
9.310
7.233
3
11.787
8.191
6.393
4
11.169
7.78
6.085
5
10.942
7.628
5.971
6
10.859
7.572
5.929
7
10.828
7.552
5.914
8
10.817
7.544
5.908
9
10.812
7.542
5.906
Table 3 – Viscosité apparente (P a.s) en fonction du temps et pour 3 valeurs du taux de cisaillement
γ̇.
3
10
10.811
7.541
5.905
Figure 3 – Viscosité apparente en fonction du temps pour 3 valeurs du taux de cisaillement γ̇.
On observe par ailleurs que ce fluide ne s’écoule pas sous l’effet de son propre poids lorsqu’il est
placé dans un tube vertical ouvert aux extrémités.
Proposer un modèle rhéologique permettant de retrouver ces résultats expérimentaux et déterminer
les valeurs numériques des constantes qui y interviennent.
7
Étude graphique d’une solution d’hydroxyéthylcellulose
L’étude rhéologique d’une solution d’hydroxyéthylcellulose à 2% a permis d’établir le graphique
présenté sur la Figure 4.
Figure 4 – Frottement de paroi (P a) en fonction de la température pour 3 valeurs du taux de
cisaillement γ̇.
Le graphique 4 montre l’influence de la température sur le frottement visqueux, pour trois valeurs
du taux de cisaillement (γ̇ = 100, 150 et 200 s−1 ), en régime stationnaire, et correspond au Tableau
4 de valeurs expérimentales.
1. Dans quelle catégorie classeriez-vous ce fluide ? Proposez un modèle rhéologique permettant de
retrouver ces résultats expérimentaux.
4
température (◦ C)
γ̇ = 100 s−1
γ̇ = 150 s−1
γ̇ = 200 s−1
20
223.26
241.04
254.51
30
205.23
223.04
236.6
40
183.04
200.24
213.41
50
156.17
171.97
184.14
60
124.01
137.46
147.88
Table 4 – Frottement de paroi en fonction de la température pour 3 valeurs du taux de cisaillement
γ̇.
2. Déterminez le gradient de pression associé à un écoulement de 5 × 10−5 m3 /s dans une conduite
de section circulaire (diamètre D = 1 cm) à 20◦ C et 60◦ C. On donne ρ = 1000 kg/m3 .
8
Solution d’hydroxyéthylcellulose
Une solution d’hydroxyéthylcellulose à 2% présente une loi de comportement du type loi de puissance. À 20◦ C, l’indice de consistance K vaut 93.5 N.s0.189 /m2 et l’indice d’écoulement n vaut 0.189.
À 60◦ C, on a K = 38.5 N.s0.254 /m2 et n = 0.254.
Déterminer dans les deux cas, le gradient de perte de pression ∆P/L associé à un écoulement
de Q = 5 × 10−5 m3 /s dans un conduit de section circulaire de D = 1 cm de diamètre. On donne
ρ = 1000 kg/m3 .
Pour cela, on rappelle les formules suivantes pour le coefficient de frottement Cf , la contrainte
pariétale τp et le nombre de Reynolds Re′ :
Cf
τp
Re′
τp
16
=
2
0.5ρVm
Re′
D ∆P
=
4 L
4n n Dn 2−n
= 81−n ρ(
)
V
3n + 1 K m
=
(2)
(3)
(4)
où Vm est la vitesse moyenne.
9
Chute de pression en conduite rectiligne
On considère l’écoulement stationnaire et laminaire d’un fluide incompressible de masse volumique
ρ = 1200 kg/m3 dans une conduite rectiligne de section circulaire (diamètre D = 10 cm) à parois
lisses. Une série de mesures de la chute de pression ∆P sur une longueur de conduite L = 1 m, en
fonction du débit volumique Q, a produit le Tableau 5.
Q (l/min)
∆P (Pa)
1
0.0067
2
0.013
3
0.02
4
0.0245
5
0.0286
Table 5 – Mesures de ∆P en fonction de Q.
1. Jusqu’à quelle valeur du nombre de Reynolds, le fluide peut il être considéré comme newtonien ?
2. À partir de cette valeur du nombre de Reynolds, le fluide présente-t-il un comportement rhéofluidifiant
ou rhéoépaississant ?
3. Comment peut-on modéliser le comportement du fluide au-delà du régime newtonien ? Déterminer
les valeurs numériques des paramètres du modèle.
4. Quelle erreur sur la chute de pression commet-on, si on utilise ce modèle pour les trois premières
valeurs du débit ? Conclure.
5
10
Écoulement de Poiseuille entre deux plaques planes
On considère un écoulement permanent laminaire de fluide incompressible entre deux plaques
planes horizontales distantes de H (Fig.5).
Figure 5 – Écoulement de Poiseuille plan entre deux plaques parallèles.
1. Expliquer pourquoi l’écoulement peut être considéré comme unidirectionnel tel que : U = U (y),
V = 0, W = 0, et ∂P/∂x = dP/dx = Cste.
2. Écrire l’équation fondamentale en projection sur l’axe horizontal avec pour loi de comportement
du fluide, une écriture généralisée sous la forme :
µa = k(dU/dy)n
τxy = µa dU/dy
(5)
où µa est la viscosité apparente, k est une constante, n > 0 pour un fluide dilatant, n = 0 pour
un fluide newtonien et n < 0 pour un fluide pseudoplastique.
3. Intégrer cette équation dans le cas général avec µa (y), compte tenu de la symétrie et des conditions aux limites (on intégrera de la paroi inférieure y = 0 jusqu’à une position quelconque dans
l’écoulement, y, avec 0 < y < H).
4. On calculera pour comparaison les cas d’un fluide newtonien n = 0, d’un fluide dilatant n = 2
et d’un fluide pseudoplastique n = −2/3.
– Donner les profils de vitesse, par intégration de τxy de la paroi inférieure (y = −h) à un point
quelconque dans l’écoulement (−h < y < +h). On les notera respectivement U new (y), U dil (y)
et U pse (y).
– Calculer les vitesses de débit∫ correspondantes (pour un fluide incompressible la vitesse de
débit est donnée par : Ud S = A U dS où S est la section droite de l’écoulement, ici S = H × 1
∫h
alors Ud H = −h U (y)dy). On les notera Udnew (y), Uddil (y) et Udpse (y).
– En posant dP/dx = −λρUd2 /(2D), retrouver la loi donnant λ en fonction du nombre de Reynolds, pour le fluide newtonien. On généralisera ensuite la définition du coefficient de perte
de charge linéique par dP/dx = −λρ(Udnon−newtonien )2 /(2D). Définir un nombre de Reynolds
pour chacun des deux fluides non-newtoniens, puis donner la loi λ = f (Re) en écoulement laminaire unidirectionnel plan des fluides incompressibles dilatant et pseudoplastique considérés.
11
Écoulement bidimensionnel d’un fluide non-newtonien en
canal
On considère l’écoulement laminaire et stationnaire d’un liquide entre deux parois parallèles (Fig.6).
On note x la coordonnée dans la direction de l’écoulement et y la coordonnée dans la direction
perpendiculaire à l’écoulement et aux parois. Les parois correspondent aux plans d’équations y = e/2
et y = −e/2. La dimension du canal dans la troisième direction est notée H, supposée suffisamment
grande pour que l’écoulement puisse être assimilé à l’écoulement entre deux plans infinis parallèles.
6
Figure 6 – Écoulement bidimensionnel d’un fluide non-newtonien en canal.
1. Trouver l’expression équivalente à la formule de Rabinovich-Mooney pour cette configuration 2D
de l’écoulement dans une conduite. Pour le calcul du débit volumique, on exploitera la symétrie
du profil de vitesse par rapport au plan médian d’équation y = 0.
2. En déduire les expressions du débit volumique et du coefficient de frottement dans le cas d’un
fluide newtonien. Retrouver également l’expression du profil de vitesse V (y). On exprimera (1)
le débit volumique en fonction du gradient de pression, (2) la vitesse en fonction du gradient de
pression et de la vitesse maximale dont on donnera l’expression, (3) le coefficient de frottement
en fonction du nombre de Reynolds basé sur la vitesse moyenne et la largeur du canal.
3. Donner de même les expressions du débit volumique et du coefficient de frottement pour un
fluide d’Ostwald.
12
Écoulement d’une solution de polymère sur un plan incliné
On cherche à déterminer l’épaisseur h d’une couche de solution de polymère qui s’écoule sur un
plan incliné sous l’effet de la gravité (Fig.7). Le plan incliné fait un angle θ par rapport à l’horizontale.
La solution est caractérisée par un comportement rhéologique en loi de puissance : τxz = m(∂u/∂z)n .
Les solutions de polymère sont en général rhéofluidifiantes et n est alors inférieur à 1. L’écoulement est
laminaire et stationnaire et le fluide est considéré comme incompressible. L’épaisseur h est supposée
constante.
Figure 7 – Écoulement d’un polymère sur un plan incliné.
1. Traduire toutes les hypothèses puis réduire les équations de continuité et de quantité de mouvement.
2. Quelles sont les conditions aux limites sur le plan incliné (y = 0) et sur la surface libre du film
liquide (y = h) ?
7
3. Montrer que l’équation de quantité de mouvement se réduit à :
−
∂u
ρgh
y
=(
sin θ(1 − ))1/n
∂y
m
h
(6)
4. Déterminer le champ de vitesse u(y). Quelle est l’allure du champ de vitesse ? Comment variet-elle avec l’indice n ?
5. Montrer que le débit q (par unité de longueur dans la direction z) et l’épaisseur h sont reliés
par :
ρgh
h2
q=
(
sin θ)1/n
(7)
2 + 1/n m
En déduire l’expression de h en fonction de (m, n, q, ρ, θ).
6. Quelle relation existe-t-il entre le débit et l’épaisseur pour une solution aqueuse d’hydroxyéthylcellulose
à 0.5% en masse avec m = 0.84 P a.sn et n = 0.51 ?
13
Écoulement d’un fluide en loi de puissance dans un tube
de rayon variable
On considère l’écoulement laminaire, stationnaire et unidirectionnel d’un fluide non newtonien de
type “loi de puissance” dans une conduite de rayon R(z) variable (Fig.8). Le vecteur vitesse se réduit
−
→
ainsi à V = (vz (r, z), 0, 0). Le gradient de pression axial −∂p/∂z est constant et noté ∆p/L.
Figure 8 – Schéma du tube de rayon variable R(z).
1.
2.
3.
4.
5.
14
Déterminez la loi de variation du rayon R en fonction de la position z.
Déterminez le profil radial de la composante τrz du tenseur des contraintes.
En déduire le profil suivant r de la vitesse vz .
Donnez l’expression de la vitesse vz maximale.
À partir du débit volumique, établir l’expression du gradient de pression ∆p en fonction de
m, n, L, Q, RL , R0 .
Écoulement d’un fluide de type Bingham dans un système
de Couette cylindrique
On considère deux cylindres concentriques de longueur L et de rayons respectifs κR et R (Fig.9).
Le cylindre extérieur est en rotation à la vitesse angulaire ω0 , alors que le cylindre intérieur est fixe.
L’écoulement est laminaire et stationnaire. On peut montrer aisément que le vecteur vitesse se réduit
−
→
à : V = (0, vθ (r), 0) et qu’il n’y a pas de gradient de pression. Le fluide est incompressible et de type
Bingham.
1. Après avoir simplifié l’équation de quantité de mouvement selon θ, déterminez le profil selon r
de la contrainte τrθ . On pourra l’exprimer en fonction du couple T défini par : τp = T /(2πLR2 ),
où τp est la contrainte pariétale.
8
Figure 9 – Dispositif de Couette cylindrique.
2. Établir le profil de vitesse vθ (r) pour un fluide de Bingham.
3. Montrer finalement que le couple T est donné par :
T =
4πLµ0 (κR)2
τ0
[ω0 −
ln κ]
1 − κ2
µ0
(8)
Cette dernière relation est connue sous le nom d’équation de Reiner-Rivlin.
Équations en coordonnées cartésiennes et cylindriques En coordonnées cartésiennes (x, y, z),
l’équation de continuité s’écrit, pour un matériau incompressible :
∂vi
∂vx
∂vy
∂vz
=
+
+
=0
∂xi
∂x
∂y
∂z
Les équations de quantité de mouvement s’écrivent :
∂vx
∂vx
∂vx
∂vx
1 ∂P
∂ 2 vx
∂ 2 vx
∂ 2 vx
+ vx
+ vy
+ vz
=−
+ gx + ν( 2 +
+
)
2
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂x
∂x
∂y
∂z 2
∂vy
∂vy
∂vy
1 ∂P
∂ 2 vy
∂ 2 vy
∂ 2 vy
∂vy
+ vx
+ vy
+ vz
=−
+ gy + ν( 2 +
+
)
2
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂y
∂x
∂y
∂z 2
∂vz
∂vz
∂vz
∂vz
1 ∂P
∂ 2 vz
∂ 2 vz
∂ 2 vz
+ vx
+ vy
+ vz
=−
+ gz + ν( 2 +
+
)
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂z
∂x
∂y 2
∂z 2
(9)
(10)
(11)
(12)
−
où →
g = (gx , gy , gz ) est la force de gravité.
Les composantes du tenseur des contraintes sont données par :
∂vx
2 ∂vx
∂vy
∂vz
+ µ[
+
+
]
∂x
3 ∂x
∂y
∂z
∂vy
2 ∂vx
∂vy
∂vz
−2µ
+ µ[
+
+
]
∂y
3 ∂x
∂y
∂z
2 ∂vx
∂vy
∂vz
∂vz
+ µ[
+
+
]
−2µ
∂z
3 ∂x
∂y
∂z
∂vx
∂vy
−µ(
+
)
∂y
∂x
∂vy
∂vz
−µ(
+
)
∂z
∂y
∂vz
∂vx
−µ(
+
)
∂x
∂z
τxx
= −2µ
(13)
τyy
=
(14)
τzz
=
τxy = τyx
=
τzy = τyz
=
τzx = τxz
=
(15)
(16)
(17)
(18)
En coordonnées cylindriques (r, θ, z), l’équation de continuité s’écrit, pour un matériau incompressible :
9
1 ∂
1 ∂vθ
∂vz
(rvr ) +
+
=0
r ∂r
r ∂θ
∂z
Sur chaque coordonnée, les équations de quantité de mouvement s’écrivent :
∂
∂
vθ ∂
∂
v2
∂τrr
1 ∂τrθ
∂τrz
τrr − τθθ
+ vr
+
+ vz )vr − θ ] = ρgr +
+
+
+
∂t
∂r
r ∂θ
∂z
r
∂r
r ∂θ
∂z
r
∂
∂
vθ ∂
∂
vr vθ
∂τθr
1 ∂τθθ
∂τθz
2τrθ
ρ[( + vr
+
+ vz )vθ +
] = ρgθ +
+
+
+
∂t
∂r
r ∂θ
∂z
r
∂r
r ∂θ
∂z
r
∂
∂
∂
vθ ∂
∂τzr
1 ∂τzθ
∂τzz
τzr
ρ( + vr
+
+ vz )vz = ρgz +
+
+
+
∂t
∂r
r ∂θ
∂z
∂r
r ∂θ
∂z
r
ρ[(
(19)
(20)
(21)
(22)
−
où →
g = (gr , gθ , gz ) est la force de gravité.
Les composantes du tenseur des contraintes sont données par :
∂vr
2 1 ∂
1 ∂vθ
∂vz
+ µ[
(rvr ) +
+
]
∂r
3 r ∂r
r ∂θ
∂z
1 ∂vθ
vr
2 1 ∂
1 ∂vθ
∂vz
−2µ(
+ ) + µ[
(rvr ) +
+
]
r ∂θ
r
3 r ∂r
r ∂θ
∂z
∂vz
2 1 ∂
1 ∂vθ
∂vz
−2µ
+ µ[
(rvr ) +
+
]
∂z
3 r ∂r
r ∂θ
∂z
∂ vθ
1 ∂vr
−µ(r ( ) +
)
∂r r
r ∂θ
∂vθ
1 ∂vz
−µ(
+
)
∂z
r ∂θ
∂vz
∂vr
−µ(
+
)
∂r
∂z
τrr
= −2µ
(23)
τθθ
=
(24)
τzz
=
τrθ = τθr
=
τzθ = τθz
=
τrz = τzr
=
10
(25)
(26)
(27)
(28)