Exercices sur la Turbulence

Exercices sur la Turbulence
Master 2 G´enie des Proc´ed´es - Marseille
7 d´ecembre 2011
1´ Ecoulement autour d’un train
Un train profil´e fait L= 85 m de longueur, h= 2.6 m de hauteur et l= 2.4 m de largeur. Calculer
la puissance requise pour vaincre la traˆın´ee due aux effets visqueux lorsque le train va `a U= 145 km/h
dans les conditions atmosph´eriques standard en supposant que la traˆın´ee sur les cˆot´es et en haut sont
´egales `a celle sur une plaque plane de largeur b= 7.6 m et de longueur L. On donne l’expression du
coefficient de traˆın´ee pour ce train profil´e dans le cas des nombres de Reynolds tr`es ´elev´es Re > 107:
CD=0.455
log10(Re)2.58 (1)
On prendra ρ= 1.2kg/m3et ν= 1.46 ×10−5m2/s.
2 Comparaison des pertes de charge en r´egimes turbulent et
laminaire
Soit l’´ecoulement d’un fluide visqueux (ν= 10−5m2/s) `a une vitesse moyenne Um= 10 m/s dans
une conduite de diam`etre D= 1 cm. La hauteur moyenne des rugosit´es hvaut 10−5m.
– Calculer le coefficient de pertes de charge en r´egime turbulent `a l’aide du diagramme de Niku-
radze (Fig.1).
– Quelle serait sa valeur si le r´egime pouvait ˆetre maintenu laminaire ?
Fig. 1 – Coefficient de perte de charge en fonction du nombre de Reynolds et de la rugosit´e relative
R/h en conduite de section circulaire, d’apr`es Nikuradze (1933).
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3 Diffusion en jet libre plan
Un jet libre plan est ´emis d’une fente de demi-largeur D0dans une atmosph`ere initialement au
repos. On suppose que le profil de vitesses est uniforme `a l’´emission et de valeur U0. En r´egime
laminaire, la diffusion de quantit´e de mouvement est enti`erement contrˆol´ee par la viscosit´e mol´eculaire
du fluide ν. En r´egime turbulent, l’exp´erience montre qu’`a une certaine distance en aval de la source
o`u les approximations de couche limite s’appliquent, l’expansion du jet est lin´eaire, avec un demi-angle
de l’ordre d’une dizaine de degr´es.
– On d´esigne par UA(x) une ´echelle de vitesse caract´eristique du transport advectif dans le jet et
par νTune viscosit´e cin´ematique repr´esentative de la diffusion par agitation turbulente. ´ Etablir
que le nombre de Reynolds UA(x)×x/νT(xd´esigne la coordonn´ee longitudinale de l’´ecoulement)
est constant dans le jet.
– L’exp´erience montre que l’expansion du jet s’accompagne, en r´egime turbulent, d’une d´ecroissance
hyperbolique de la vitesse sur l’axe. Qu’en concluez vous pour la viscosit´e cin´ematique de tur-
bulence νT?
– D´eduire que sous les conditions de la question pr´ec´edente, le rapport entre les viscosit´es cin´ematiques
par agitation turbulente νTet mol´eculaire νest directement proportionnel au nombre de Rey-
nolds `a l’´emission Re0=U0D0/ν. Commentez ce r´esultat.
4 Diffusion mol´eculaire ou diffusion turbulente
On consid`ere un volume cubique rempli d’air de cˆot´e L= 3 m(Fig.2). Une portion de l’une des
facettes du cube est constitu´ee par une surface chauffante de hauteur h= 0.1m. La temp´erature de
la plaque diff`ere de la temp´erature de l’air Tair = 293 K contenu dans le volume de ∆T= 10 K.
La diffusivit´e thermique du fluide est α= 2 ×10−5m2/s. Estimer le temps n´ecessaire `a la diffusion
de la chaleur dans cette enceinte. On envisagera successivement un processus de diffusion mol´eculaire
en l’absence de tout ´ecoulement, puis un processus de diffusion turbulente, associ´e `a la convection
naturelle sur la plaque.
Fig. 2 – Pi`ece cubique de cˆot´e Lchauff´ee par une plaque de hauteur h.
5 Autour du diagramme de Moody
Le profil de vitesse pour un ´ecoulement turbulent dans une conduite lisse est donn´e en fonction
des grandeurs u+et y+par :
u+=y+0≤y+≤5 (2)
u+= 5 ln y+−3.05 5 ≤y+≤30 (3)
u+= 2.5 ln y++ 5.5y+≥30 (4)
avec u+=u/pτp/ρ et y+=ypτp/ρ/ν.
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Fig. 3 – Diagramme de Moody donnant le coefficient de frottement en fonction du nombre de Reynolds
pour des ´ecoulements en conduite (Moody, 1944).
1. R´e´ecrire ces profils en terme de facteur de frottement f= 2gDh/(LV 2) (avec h= ∆P/(ρg)) et
de nombre de Reynolds Re =V D/ν pour pouvoir utiliser facilement le diagramme de Moody
(Fig.3). On rappelle que la contrainte pari´etale est donn´ee par τp=D
4
∆P
L.
2. On consid`ere un ´ecoulement d’eau (ρ= 103kg/m3,ν= 10−6m2/s) avec une vitesse moyenne
de V= 10 m/s dans une conduite lisse de diam`etre D= 10 cm.
– Trouver l’´epaisseur de la sous-couche visqueuse.
– Quand commence la zone logarithmique ?
–´ Ecrire le profil de vitesse uen fonction de la distance `a la paroi y.
– Quelles sont les valeurs de la vitesse `a la fin de la sous-couche visqueuse, au d´ebut de la zone
logarithmique et au centre de la conduite ?
3. Il a ´et´e montr´e exp´erimentalement que l’´ecoulement turbulent dans une conduite rugueuse n’est
pas affect´e par les rugosit´es si celles-ci ont une taille qui n’exc`ede pas la taille de la sous-couche
visqueuse. Ainsi, les parois sont dites hydrodynamiquement lisses pour :
ε+=εu∗
ν≤5 (5)
o`u εest la taille moyenne des rugosit´es. Pour un ´ecoulement turbulent dans une conduite de
5cm de diam`etre et un nombre de Reynolds de Re = 50000, trouver la hauteur maximale des
rugosit´es pour que le r´egime soit hydrodynamiquement lisse.
6´ Echelles caract´eristiques d’un ´ecoulement turbulent
On consid`ere un ´ecoulement turbulent ayant pour vitesse et ´echelle caract´eristiques U= 30 m/s,
L= 12.5cm. Les fluctuations de vitesse sont de l’ordre de 20% de la vitesse moyenne. La viscosit´e
cin´ematique est ν= 1.5×10−5m2/s. Estimer les vitesses et les ´echelles caract´eristiques de cet
´ecoulement `a l’aide de la cascade de Kolmogorov.
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7´ Estimation d’ordres de grandeur en ´ecoulement turbulent
On consid`ere l’´ecoulement dans le sillage d’un objet, de dimension typique L= 1 m, se d´epla¸cant
`a la vitesse V= 10 m/s dans de l’eau.
1. Est-il n´ecessaire de tenir compte de la turbulence pour mod´eliser cet ´ecoulement ?
2. On estime que la macro-´echelle de la turbulence, dans une zone situ´ee dans le sillage de l’objet,
est de l’ordre de 10% de la taille de l’objet. Calculez l’´echelle la plus fine autoris´ee par la viscosit´e
du fluide (l’´echelle de Kolmogorov) dans cette zone.
3. Estimez la dissipation massique dans cette zone. Commentez.
4. On veut simuler cet ´ecoulement en r´esolvant correctement les ´echelles dissipatives. Combien
de points de grille seraient n´ecessaires sur un cube de volume L3seulement ? Quelle m´emoire
vive devrait ˆetre utilis´ee pour stocker les champs aux points de grille ? Ce calcul vous paraˆıt-il
faisable ? Si non, quelle(s) autres(s) solution(s) proposez-vous ?
8 Moyenne et moments d’une variable al´eatoire gaussienne
Soit la variable al´eatoire absolument continue Xdont la densit´e de probabilit´e f(x) est donn´ee
par la loi de Laplace-Gauss :
f(x) = 1
σ√2πe−(x−m)2
2σ2(6)
– Que vaut la moyenne de cette variable al´eatoire ?
– Montrer que tous les moments d’ordre impair de cette variable al´eatoire sont nuls.
– Calculer la variance de cette variable al´eatoire.
– Quelles sont les valeurs des facteurs d’aplatissement et de dissym´etrie ?
On rappelle que :
Z+∞
−∞
e−x2dx =√πZ+∞
−∞
x2e−x2dx =√π/2Z+∞
−∞
x4e−x2dx = 3√π/4 (7)
9 Dur´ee d’int´egration pour l’estimation d’une moyenne
Un ´ecoulement turbulent stationnaire pr´esente une intensit´e turbulente Iude 5%, pour une macro
´echelle temporelle Λ de l’ordre de 2 secondes. Quelle doit ˆetre la dur´ee d’int´egration temporelle du
signal Tpour esp´erer obtenir la vitesse moyenne avec une pr´ecision de 1% ? On donne la formule de
Tennekes et Lumley (1974) sur l’erreur quadratique moyenne pour une moyenne temporelle :
q(UT−U)
2
U∼√2Iu
Λ
T(8)
10 Bilans de masse en canal plan
On consid`ere l’´ecoulement turbulent, permanent, en r´egime ´etabli, d’un fluide visqueux isovolume
et non pesant entre deux plans parall`eles, fixes, distants d’une largeur 2h. On suppose que le champ
est bidimensionnel plan.
– Montrer que le champ du vecteur vitesse moyenne se r´eduit `a la seule composante U(y) suivant
la direction de l’´ecoulement. La coordonn´ee transversale est d´esign´ee par y.
– Que devient sous les mˆemes hypoth`eses l’´equation de continuit´e du mouvement d’agitation ?
– Le r´egime est maintenant ´etabli au second ordre. ´ Ecrire, en projections, les ´equations de la
dynamique du mouvement moyen (´equations de Reynolds).
– Montrer que, dans cet ´ecoulement, les fluctuations de vitesse radiale et azimutale sont d´ecorr´el´ees.
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11 ´ Equations du champ moyen en ´ecoulement de jet libre plan
On s’int´eresse `a un ´ecoulement turbulent cisaill´e mince libre de type jet bidimensionnel plan. On
suppose le mouvement permanent et le fluide isovolume non pesant. On se limite `a la r´egion du jet
o`u les hypoth`eses suivantes sont v´erifi´ees :
– les tensions normales de Reynolds sont du mˆeme ordre de grandeur.
– cet ordre de grandeur u0(L) = pu2en x=Ldu jet est proportionnel `a la diff´erence des
vitesses moyennes `a cette mˆeme abscisse (∆U(L)) entre l’axe du jet et l’´ecoulement ext´erieur,
soit u0=α∆U.
– les fluctuations crois´ees longitudinale et transversale sont corr´el´ees :
uv
pu2pv2'1 (9)
L’exp´erience donne pour la loi d’expansion du jet δ(x)'0.1x, o`u δest l’´epaisseur du jet, distance
caract´eristique de la diffusion transversale de cet ´ecoulement.
– D´eduire de l’´equation de continuit´e du mouvement moyen la r´ef´erence Vref (L) de la vitesse
moyenne transversale en x=Len fonction de ∆U(L).
– Estimer les termes d’advection, diffusions mol´eculaire et turbulente du bilan moyen de quantit´e
de mouvement longitudinale.
– En d´eduire que lorsque le nombre de Reynolds local ReL= ∆U×L/ν est grand, la contribution
des termes visqueux est n´egligeable dans ce bilan.
– En partant de l’estimation des termes de l’´equation de la dynamique du mouvement moyen en
projection transversale, d´eduire de l’´equivalence entre termes pr´epond´erants d’advection et de
diffusion turbulente l’ordre de grandeur du coefficient α.
12 ´ Ecoulement pleinement turbulent en canal
On consid`ere un ´ecoulement turbulent en canal pour Rem=Umd/ν = 105. Le fluide est de l’eau
de viscosit´e cin´ematique ν= 1.14 ×10−6m2/s et la largeur du canal est d= 4 cm. Le coefficient de
frottement est ´egal `a Cf= 4.4×10−3.
D´eterminer Um,u∗/Umand Re∗. Quelle est l’´epaisseur 5δνde la sous-couche visqueuse en fonction
de det en mm ?
13 Couche limite sur une paroi
T. Von K´arm´an a sugg´er´e que la longueur de m´elange lvariait comme :
l=χ|(d¯
Ux
dy )/(d2¯
Ux
dy2)|(10)
En utilisant cette relation, d´eterminer le profil de vitesse pr`es d’une paroi d’un ´ecoulement de couche
limite sur une plaque plane.
14 Couche limite turbulente
Lors d’un ´ecoulement sur une plaque plane, la couche limite laminaire subit une transition en une
couche limite turbulente lorsque cet ´ecoulement va de l’amont `a l’aval de la plaque plane. On observe
que le profil initialement parabolique dans le cas laminaire change en un profil en loi de puissance
1/7e dans le r´egime turbulent. Trouver l’´epaisseur de la couche limite turbulente si le flux de quantit´e
de mouvement dans la couche limite A=Rρuxuxady (ala largeur de la couche limite) reste constant.
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