MECA 338 Mécanique des fluides (incompressible) Sixi`eme

MECA 338 M´ecanique des fluides (incompressible)
Sixi`eme s´eance d’exercices
Exercice 1 : Diffusion du tourbillon ”ω” (Fluide incompressible)
Supposons avoir `a l’instant t= 0 un tourbillon lin´eaire concentr´e de circulation Γ
et dirig´e selon l’axe Oz d’un syst`eme Oxyz.
x
y
z
1. Supposons que le tourbillon soit immerg´e dans un fluide visqueux, d´eterminer
en fonction du temps tet de la coordonn´ee radiale rle champ de vitesse
r´esultant
2. Calculer le flux de tourbillon `a travers le plan Oxy. Que peut- on conclure.
Exercice 2
On consid`ere l’´ecoulement d’un fluide incompressible au voisinage d’un point d’arrˆet
(´ecoulement plan et permanent). Le fluide occupe la r´egion y > 0 et baigne la paroi
y= 0
y
x
1. Le fluide ´etant suppos´e non-visqueux, calculer les composantes de la vitesse.

2. Le fluide est visqueux. Le champ des vitesses est de la forme suivante
(u=xf0(y)
v=−f(y)
Former l’´equation diff´erentielle (E) `a laquelle satisfait la fonction f(y).
3. Comment calculer la pression si l’on suppose qu’elle est fonction d´ecroissante
de x2(p
ρ=−a2x2 2+b(y))
4. Montrer que l’on peut ramener (E) `a l’´equation (E0) suivante
φ000 +φφ00 −φ02+ 1 = 0
en posant ky =ηet f=mφ,ket m´etant deux constantes `a d´eterminer.
Par ailleurs, lorsqu’on cherche les solutions similaires des ´equations de la
couche limite, on trouve que seuls les ´ecoulements du type u=cxmdon-
nent lieu `a de telles solutions. La fonction de courant non dimensionnelle
ob´eit alors `a l’´equation
f000 +ff00 +2m
m+ 1(1 −f02) = 0
Ceci correspond `a l’´ecoulement autour d’un coin de demi-angle m
m+1 π(cela
s’obtient facilement `a partir de la th´eorie des ´ecoulements potentiels).
Dans le cas qui nous occupe, le demi-angle est ´egal π
2(i.e m= 1) et la fonction
f(fonction de courant non- dimensionnelle) s’identifie `a la fonction φ. On
constate alors que ces deux fonctions satisfont exactement `a la mˆeme ´equation,
c’est `a dire que la solution des ´equations de la couche limite est identique `a la
solution des ´equations compl`etes de Navier-Stokes.
5. On v´erifie ´egalement que dans la solution exacte ∂p
∂y est infiniment petit avec
la viscosit´e cin´ematique.
Exercice 3 : Fluide incompressible
Une plaque plane oscille dans son plan avec une fr´equence f=100
2πHz et une
amplitude u0= 20 ms−1. Elle est en contact avec l’air `a 0◦Cet 760 mm Hg.
1. A quelle distance y1de la plaque les d´eplacements de l’air se font-ils avec une
vitesse ´egale `a 1% de la vitesse maximale de la paroi ?
2. A quelle distance y2de la plaque, l’oscillation du fluide est-elle pour la premi`ere
fois en phase avec le mouvement de la paroi ?
3. Quelle est la force de frottement agissant sur l’unit´e de surface de la plaque
oscillante ?
4. Calculer la valeur moyenne dans le temps de la dissipation d’´energie au cours
du mouvement consid´er´e.
NB : µ= 16.8 10−6Kgm−1s−1ν= 13.0 10−6m2s−1

Exercice 4
Deux disques circulaires plans de rayon Rsont dispos´es parall`element l’un au dessus
de l’autre. L’espace hentre les disques est rempli d’un fluide incompressible.
R
h
U
Z
0
Le disque sup´erieur se rapproche du disque inf´erieur `a la vitesse constante U0en
chassant le fluide. La pression ext´erieure p0est contante.
En supposant hpetit devant R, le mouvement du fluide ´eject´e peut ˆetre consid´er´e
`a sym´etrie axiale; l’´ecoulement est alors pratiquement radial. En cons´equence, on
peut admettre VzVret ∂Vr
∂r ∂Vr ∂z . De plus, on traite le cas o`u hvarie lentement
dans le temps, ce qui permet de n´egliger les termes d’inertie dans les ´equations.
1. Ecrire les ´equations qui r´egissent le mouvement du fluide ainsi que les condi-
tions aux limites.
2. Trouver le profil de la vitesse radiale et le profil de la pression.
3. En d´eduire la force de r´esistance totale agissant sur le disque.
Exercice 5
Consid´erer un ´ecoulement axial laminaire ´etabli
1. Entre deux cylindres de rayon ret R(r < R)
2. A l’int´erieur d’un cylindre de rayon R
•D´eterminer la distribution des vitesses
•Comparer les distributions 2. et 1. pour r
R= 0.001