Mécanique des Fluides

Universit´e se Caen-Basse Normandie
UFR des Sciences
Master 1
2010 - 2011
M´ecanique des Fluides
TD3 – Analyse dimensionnelle et Similitude
Analyse dimensionnelle
Exercice III.1 : La chute de pression ∆pdans une conduite cylindrique d´epend de
la vitesse moyenne de l’´ecoulement U, du diam`etre D, de langueur Let de la rugosit´e εde
conduite ; elle d´epend aussi des propri´et´es de fluide. ´ Etablir une relation donnant ∆pen
fonction des param`etres de l’´ecoulement.
Exercice III.2 : Quels sont les param`etres sur lesquels la force de frottement Fexerc´ee
par un fluide en mouvement `a la vitesse Usur une plaque plane, de longueur Let de largeur
H? L’´ecoulement est suppos´e parall`ele `a L.´ Etablir une relation donnant Fen fonction
de ces param`etres.
Exercice III.3 : Soit une h´elice de diam`etre Den rotation `a une vitesse angulaire ω
dans un fluide en mouvement `a la vitesse U. D´evelopper une expression adimensionnelle
pour la force de pouss´e engendr´ee par cette h´elice.
Exercice III.4 : Dans un canal `a fond horizontal, on d´esir ´etudier une caract´eristique
g´eom´etrique lin´eaire Xd’un ressaut form´e par l’´ecoulement d’un liquide sous une vanne de
hauteur asoumise `a une charge H, le tirant d’eau `a l’aval ayant pour valeur y.
H
ay
X
´
Etudier dimensionnellement le probl`eme, en n´egligeant les force de viscosit´e et de tension
superficielle.
Exercice III.5 : On admet que la sur´el´evation permanente hd’un lac due au vent
d´epend de la profondeur moyenne Hde ce lac, de sa longueur ℓ, du poids volumique ̟de
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l’eau et la force tangentielle τdue au vent.
Donner une formule g´en´erale exprimant h.
Exercice III.6 : On s’int´eresse aux ondes de gravit´e (respectivement capillaires) qui
se produisent lors d’un ´equilibre entre une force d´estabilisant, l’inertie, et une force de
rappel, la gravit´e (respectivement la force de tension superficielle σ(N/m)). La vitesse de
propagation d’onde (c´el´erit´e d’onde) de gravit´e, not´ee c, d´epend en g´en´eral de l’acc´el´eration
de gravit´e g, de la longueur d’onde λ, de la densit´e du liquide ρet de l’amplitude ad’onde :
c=f(g, λ, ρ, a). La vitesse (ou c´el´erit´e) d’onde de petite amplitude ne d´epend pas de aet
la relation se r´eduit `a : c=f(g, ρ, λ). En utilisant l’analyse dimensionnel d´eterminer cette
relation.
D´eterminer la relation correspondante pour les ondes capillaires.
Similitude
Exercice III.7 : Une maquette de digue, constitu´ee par un empilement de blocs de
b´eton de masse unitaire ´egale `a 1 kg, est soumis la houle produit dans un laboratoire. cette
maquette ne subit pas de dommages tant que la hauteur Hde la houle ne d´epasse pas 0,30
m.
Quel devra ˆetre la masse minimale des bloc de mˆeme b´eton constituant la digue proto-
type pour que celle-ci r´esiste `a une houle g´eom´etriquement et hydrodynamiquement sem-
blable, et pouvant atteindre 6 m de hauteur.
Exercice III.8 : Un mod`ele r´eduit destin´e `a l’´etude des mar´ees a ´et´e construit en
adoptant l’´echelle de 1/500 en plan et 1/80 en hauteur.
Quelle doit ˆetre, sur ce mod`ele, la dur´ee d’une mar´ee dont la p´eriode serait, dans la
nature, ´egale `a 12h25 mn ?
Mˆeme question pour des ´echelles de 1/50000 en plan et 1/500 en hauteur.
Exercice III.9 : En r´egime laminaire, l’´equation r´egissant les ´ecoulements transitoires
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de gaz dans un conduit de faible section peut se metter sous la forme
∂p
∂t =CD2 64µ
∂2p2
∂x2
o`u pest la pression `a l’instant tet au point d’abscisse x,Dle diam`etre du conduit, Cune
constante d´ependant de la forme de la section et µla viscosit´e dynamique du gaz.
1. Trouver la relation qui doit lier les ´echelles de similitude :
λ=x1
x2
, α =p1
p2
, θ =t1
t2
, δ =D1
D2
2. En d´eduire quelle serait l’influence d’une diminution de longueur de moiti´e et d’une
multiplication du diam`etre par 3 sur le temps d’´etablissement d’une mˆeme pression
d’un mˆeme gaz. Que deviendrait ce temps s’il ´etait initialement ´egal `a 6 mois?
Exercice III.10 : ` A fin de d´eterminer la puissance n´ecessaire Pppour motoriser
un dirigeable de longueur Lp`a une vitesse Up= 6 m/s dans l’air (ρair = 1.205 kg/m3,
µair = 1.8×10−5kg/m.s.), on utilise une maquette de longueur Lm=Lp/30, `a mettre en
mouvement dans l’eau, ρeau = 1000 kg/m3,µau = 1.0×10−3kg/m.s.
1. D´eterminer la vitesse de maquette Um.
2. Si la mesure de la force de frottement subie par la maquette donne Fm= 2700 N,
estimer la force de frottement Fp`a laquelle le prototype serait subi.
3. Calculer Pp.
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