Chapitre VI: Ecoulements linéarisés, les profils

Chapitre VI: Ecoulements linéarisés, les profils minces
Nous étudions les profils minces en écoulement compressible. La géométrie est identique à celle
étudiée en incompressible 1 .
Sur la figure (1), est un petit paramètre mesurant l’épaisseur du profil. L’extrados (resp.
y
y = f + (x)
A
~n
i = α
y = f − (x)
~∞
U
O
F
x
L
~ ∞.
Figure 1: Profil mince en écoulement uniforme amont U
l’intrados) a pour équation y + = f + (x) (resp. y − = f − (x)). Le bord d’attaque est en A et le
bord de fuite en F de coordonnées (l, 0). On note ~n la normale sortante au profil. Le profil peut être
~ ∞ , de
incliné par rapport à l’horizontale d’un angle i. L’écoulement amont est uniforme de vitesse U
pression p∞ et de masse volumique ρ∞ . L’objectif est de déterminer pour ce profil, les coefficients
de trainée et de portance. Lorsque est petit et tend vers 0, le profil tend vers un segment [0, l].
On dit alors que ce profil est mince. Nous allons utiliser cette propriété pour résoudre ce problème
de façon approchée en le linéarisant .
1
Equation linéarisée
L’écoulement est celui d’un fluide parfait, stationnaire, bidimensionnel, adiabatique de fluide parfait. On néglige les forces massiques. La vitesse est notée U = (u, v). Avec ces hypothèses
l’écoulement est isentropique (cf chapitre I) et l’on peut écrire les équations régissant l’écoulement
sous la forme:
 dρ

 dt + ρ divU = 0


∂U
∂t
∂s
∂t
+ rot(U) ∧ U + grad
+ U grad(s) = 0
U2
2
+
1
ρ
gradp = 0
(a)
(b)
(c)
(1)
On suppose d’autre part que l’écoulement amont est stationnaire et uniforme. L’écoulement est
homoentropique. La loi d’état du fluide est alors p = g(ρ, s0 ) ce qui caractérise un écoulement
barotrope. On a (cf calcul chapitre II équations (12) et (13)):
gradp = c2 gradρ
(2)
L’écoulement étant uniforme à l’infini, le rotationnel de la vitesse est nul, il est en outre barotrope,
parfait et on néglige les forces extérieures, on peut appliquer le théorème de Lagrange. L’écoulement
1
cf cours MF101
47
est alors irrotationnel au cours du mouvement. On remplace alors l’équation (1) (c) par rotU = 0:

U


2 + ρ divU = 0
 c2 grad(p)
grad


 ∂u −
∂y
U
2
∂v
∂x
(a)
(b)
(c)
1
ρ
+ gradp = 0
= 0
(3)
2
En multipliant l’équation (3) (a) par cρ et en la soustrayant à l’équation (3) (b) multipliée par U,
on obtient:
(
∂u
2
2 ∂v
(u2 − c2 ) ∂u
∂x + uv ∂y + (v − c ) ∂y = 0
(4)
∂v
∂u
∂y − ∂x = 0
D’autre part le profil est mince, en première approximation il est assimilable à un segment sur
~ ∞ , une pression p∞ , une
lequel l’écoulement resterait identique avec une vitesse partout égale à U
masse volumique ρ∞ . En présence du profil l’écoulement est perturbé et l’on peut écrire:


u = U∞ + u1



v = v1
(5)

p = p∞ + p1



ρ = ρ∞ + ρ1
La vitesse du son peut également être linéarisée, compte tenu de la loi d’état rappelée avant
l’équation (2):
s s ∂p
∂g
=
(6)
c =
∂ρ s
∂ρ s
avec:
g (ρ, s0 ) = g (ρ∞ + ρ1 , s0 ) = g (ρ∞ , s0 ) + ∂g∂ρ (ρ∞ , s0 )
(7)
Ainsi,
c = c∞ + O()
(8)
La linéarisation de l’équation (4) compte tenu de (5) et (8) en se limitant aux termes d’ordre conduit à:

2
2 ∂u1
2 ∂v1

 (U∞ − c∞ ) ∂x − c∞ ∂y = 0
(9)

 ∂u1 − ∂v1 = 0
∂y
∂x
Le fluide étant parfait il faut écrire en outre la condition de glissement sur le profil.
u
v
!
.~n± = 0
avec ~n± = gradF ± (x, y)
(10)
où ~n± est la normale sur l’extrados (indice + ) ou sur l’intrados (indice − ) et F + (x, y) = y − f + (x),
F − (x, y) = y − f − (x) les équations de l’extrados et de l’intrados (cf figure (1)). Compte tenu de
(5), la condition de glissement s’écrit en se limitant aux termes dominants:
v1 x, y = f ± (x)
= U∞
df ±
dx
(11)
En faisant un développement de Taylor de v1 (x, y = f ± (x)) autour de y = 0± , on obtient finalement:
df ±
v1 x, y = 0± = U∞
(12)
dx
Soit M∞ le nombre de Mach à l’infini , le système à résoudre est le suivant:

2 − 1) ∂u1 − ∂v1 = 0

(M∞

∂x
∂y





sur le profil







v1 (x, y = 0± ) = U∞
à l’infini amont
u1 → 0, v1 → 0
48
df ±
dx
(13)
2 − 1 devient petit et la linéarisation
Il est évident que lorsque M∞ est proche de 1, le terme M∞
n’est plus possible, ce régime appelé régime transsonique est plus délicat à traiter et ne sera pas
abordé dans ce cours, on pourra se référer par exemple à Modern Compressible Flow de Anderson
pour plus de détails.
2
Classification selon le nombre de Mach
Avant de résoudre le système linéarisé précédent nous allons étudier le système (9) en fonction de
la valeur du nombre de Mach en utilisant la méthode vu en Annexe du chapitre III. Supposons
connues les vitesses u1 et v1 , la classification de cette équation nécessiste la résolution de:





 
2 −1
M∞
0 0 −1
u1 , x

0
−1 1 0 
  v1 , x
 
1
0 λ 0   u1 , y
0
1 0 λ
v1 , y


0
0




 =  du1

 dx C
dv1
dx C





(14)
Le déterminant associé à la matrice dans (14) vaut:
2
(1 − M∞
)λ2 + 1 = 0
(15)
L’application triviale de la méthode des caractéristiques montre que pour un écoulement subsonique
M∞ < 1, l’équation (15) n’a pas de racines réelles le système (9) est elliptique (cf Annexe), si
M∞ > 1 , il existe par contre deux racines rélles et donc le système (9) est hyperbolique. On peut
en outre déterminer deux courbes caractéristiques C ± définies par: :
dy
= λ±
dx
(16)
avec λ± les deux racines de (15) dans le cas hyperbolique. Sur chaque caractéristique il est possible
de mettre en évidence des invariants de Riemann qui résultent d’une relation de compatibilité:
le second membre de (14) doit appartenir à l’image de l’endomorphisme associé à la matrice du
système (14), on a alors:
Sur C +
3
Sur C −
du1 + λ+ dv1 = 0
du1 + λ− dv1 = 0
(17)
Résolution
Pour achever la résolution nous allons exploiter le caractère irrotationnel de l’écoulement qui garantit l’existence d’un potentiel des vitesses Φ:
U = gradΦ
(18)
En linéarisant on obtient:
avec
Φ = U∞ x + φ1
(19)
Le système (13) peut être réécrit à l’aide du potentiel des vitesses:

∂ 2 φ1
∂ 2 φ1
2


 (M∞ − 1) ∂ 2 x − ∂ 2 y = 0
df ±
±
1
sur le profil ∂φ
∂y (x, y = 0 ) = U∞ dx


 à l’infini amont φ → 0
(20)
1
Nous allons déterminer dans le cas subsonique et dans le cas supersonique les principales propriétés.
Ceci permet dans les diverses applications de calculer les coefficients de pression, de portance et de
49
trainée que nous rappelons. Le coefficient de pression est donné respectivement sur l’extrados et
l’intrados par:
p± − p ∞
Cp± =
(21)
2
1/2ρ∞ U∞
Compte tenu de (5) on a :
2p1
2
1/2ρ∞ U∞
(22)
p1 = −ρ∞ U∞ u1
(23)
Cp± =
L’équation (3)(b) linéarisée donne:
Ainsi (22) devient:
Cp± =
1
−2 ∂φ
−2u1
∂x
=
U∞
U∞
(24)
On rappelle également les définitions des coefficients de portance et de trainée2 :
CP =
Cx =
3.1
P
2 (l)
1/2ρ∞ U∞
Fx
2 (l)
1/2ρ∞ U∞
avec
P =
Z l
0
F x = 2
avec
Z l
0
+
(p−
1 − p1 )dx
(p+
1
df −
df +
− p−
)dx
1
dx
dx
(25)
(26)
Cas subsonique: Affinité de Prandtl-Glauert
L’affinité de Prandtl Glauert est une transformation élémentaire qui permet de passer du cas
2 et posons y = Y /β et φ = φ/β, en reportant
subsonique au cas incompressible. Soit β 2 = 1 − M∞
1
dans l’équation (20) il vient:
∆φ = 0
avec
∂φ
∂Y
x, 0±
= U∞
df ±
dx
(27)
C’est exactement le problème qui avait été posé en incompressible pour l’écoulement autour du
même profil3 .
En utilisant les relations de Prandtl-Glauert. Le coefficient de pression (24) devient:
Cp =
−2 ∂φ
Cp0
∂x
= p
et
2
βU∞
1 − M∞
CP = p
CP 0
2
1 − M∞
(28)
avec Cp0 et CP 0 , les valeurs des coefficients de pression et de portance en incompressible. On
constate que pour M∞ tendant vers 1, ces coefficients deviennent infinis, il en est de même du
coefficient de trainée. Cette étude simplifiée apporte des éléments de réponse aux phénomènes
observés par les pilotes lorqu’ils s’approchaient de M = 1. Les coefficients de trainée augmentaient
tellement que tout se passait comme s’ils avaient un mur à franchir, le mur du son.
3.2
Le cas supersonique
On notera maintenant:
2
β 2 = M∞
−1
(29)
Comme nous l’avons déjà vu, le système (9) est hyperbolique et il existe deux familles de caractéristiques déterminées en (16). Dans le plan (x, y) ces caractéristiques sont des droites d’équations:
C+
2
3
ξ = x − βy,
C − η = x + βy,
cf cours MF101
Mecanique des fluides incompressibles, cours MF101
50
(30)
Il est immédiat de constater que pour M∞ > 1, l’équation (20) n’est rien d’autre que l’équation
des ondes classiques de l’acoustique linéaire. Les invariants de Riemann (17) conduisent sur la C +
Sur une courbe ξ = x − βy,
du1 + λ+ dv1 = 0
(31)
du1 + λ− dv1 = 0
(32)
Sur la C + , u1 + λ+ v1 , ne dépend pas de ξ. De même,
Sur une courbe η = x + βy,
Sur la C − , u1 + λ− v1 , ne dépend pas de η. On peut alors écrire:
u1 = a(ξ) + b(η) v1 = −β(a(ξ) − b(η))
(33)
Sur toute droite déquation ξ = x − βy, a(ξ) se conserve et sur la droite d’équation η = x + βy, b(η)
se conserve.
Dans les écoulements linéarisés, l’information (en provenance des conditions aux limites) se propage
dans le sens de l’écoulement sur les deux familles de caractéristiques.
Ces caractéristiques sont des discontinuités faibles de l’écoulement (cf chapitre III). Les ondes de
Mach de la détente de Prandtl-Meyer correspondent à des caractéristiques de lécoulement dans
un cas plus général non linéarisé. Une méthode optique sensible aux variations des dérivées de
la masse volumique, par exemple la strioscopie, permet expérimentalement de les visualiser. Elles
sont moins visibles que les chocs car les discontinuités y sont plus faibles. Sur le profil de la figure
(2) on peut distinguer une zone claire correspondant à une détente constituée d’un faisceau de
caractéristiques.
Figure 2: Ondes de détente constituée de caractéristiques et Ondes de choc sur un profil.
51