1. Analyse d`une carte météorologique

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M ASTER 1 ET M AGIST ÈRE 2 DE
P HYSIQUE F ONDAMENTALE
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M ÉCANIQUE DES FLUIDES (M1P HYS F-404A- A )
E XAMEN DU MARDI 9 NOVEMBRE 2010
(Durée : 3 heures - sans document)
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1. Analyse d’une carte météorologique
Les grandes circulations atmosphériques sont dominées par l’effet de la rotation de la Terre ainsi
que par la stratification en densité de l’air. Dans ce problème, on considère toutefois l’atmosphère
comme isodensité pour simplifier, et l’on s’intéresse seulement à l’influence de la rotation de la Terre
sur la structure des écoulements.
~ l’équation de
On admet que, dans un référentiel tournant de vecteur instantané de rotation Ω,
Navier-Stokes pour un fluide isodensité, s’écrit :
∂~u
~ u = − 1 ∇p
~ − 2Ω
~ ∧ ~u + ν ∇2~
~ u,
+ (~u · ∇)~
∂t
ρ
(1)
~ ∧ ~u est
où ~u est la vitesse relative du fluide dans le référentiel tournant. Le terme supplémentaire −2Ω
la force de Coriolis (par unité de masse). La force centrifuge et la force de gravité n’apparaissent pas,
car elles sont incluses dans le terme de pression modifiée p : elles n’interviennent donc pas dans la
suite.
On considère un repère local Cartésien, tel que (x, y) est tangeant à la surface de la Terre et
z selon la verticale locale. Pour simplifier, nous allons nous restreindre à l’étude d’écoulements at~ = Ω~ez , avec Ω > 0 et ~ez l’axe de
mosphèriques au voisinage du pôle Nord : on peut alors prendre Ω
rotation de la Terre. On note L la taille caractéristique des structures de l’écoulement, U leur vitesse
caractéristique, et T = L/U le temps caractéristique d’évolution du champ de vitesse.
1. Déterminer les ordres de grandeur des termes inertiels, visqueux et de Coriolis de l’équation
(1). Dans le cadre de l’approximation géostrophique, cette équation devient
~ = −2ρΩ
~ ∧ ~u.
∇p
(2)
Exprimer, en fonction des nombres de Reynolds Re = U L/ν et de Rossby Ro = U/2ΩL, les
conditions sous lesquelles cette approximation est vérifiée. En déduire que le vecteur vitesse est
~
alors dirigé le long des isobares (c’est-à-dire perpendiculaire à ∇p).
2. Calculer la vitesse angulaire Ω de la Terre, et en déduire le nombre de Rossby dans le cas
d’une dépression (10 m/s sur 400 km), d’une tornade (20 m/s sur 20 m) et de la vidange d’une
baignoire. Qu’en déduisez-vous de l’influence de la rotation de la Terre sur ces 3 écoulements ?
2
1100 km
F IGURE 1 – Champ de pression. Les isobares sont espacées de 400 Pa. Les centres de haute et
basse pression sont notés H (high) et L (low). Les lignes marquées de triangles ou de demi-cercles
représentent respectivement les fronts froids et chauds.
3. Ecrire les projections de l’équation (2) selon les 3 axes des coordonnées cartésiennes (on notera
~u = ux~ex + uy ~ey + uz ~ez les composantes de la vitesses). A partir du rotationnel de l’équation
(2), en déduire que :
(i) l’écoulement horizontal (ux , uy ) satisfait une condition d’incompressibilité bi-dimensionnelle.
(ii) le champ de vitesse ~u est invariant par translation selon z (ce résultat porte le nom de
théorème de Taylor-Proudman).
4. En tenant compte des conditions aux limites en z = 0, en déduire que le champ de vitesse est
horizontal (2D2C) en tout point.
5. A partir d’une évaluation du gradient de pression, estimez la vitesse du vent au voisinage de
la grande zone dépressionnaire située sur l’Ecosse sur la carte de la figure 1 (au centre de la
carte). On prendra ρ = 0.6 kg m−3 pour la densité moyenne de l’air en altitude). Commenter
ce résultat. Que pensez-vous du nombre de Rossby dans cette région ?
6. Montrer que le Laplacien de la pression s’écrit
∇2p = 2ρΩωz ,
~ ∧ ~u.
où ωz est la composante selon z de la vorticité ω
~ =∇
(3)
3
7. On considère un grand tourbillon de symétrie circulaire : il s’agit par convention d’un cyclone s’il tourne dans le même sens que la Terre, et d’un anticyclone dans le cas contraire.
En considérant que l’on a ωz = cste près du centre du tourbillon (approximation de rotation solide), en déduire le champ de pression p(r) dans ce grand tourbillon, par intégration
de l’équation (3) en coordonnées cylindriques (r, θ, z). Le Laplacien dans ces coordonnées est
donné par
1 ∂
∂
1 ∂2
∂2
∇2f =
r f +
f+
f.
r ∂r
∂r
r2 ∂θ2
∂z2
8. En déduire l’équivalence suivante :
- cyclone → dépression ;
- anticyclone → surpression.
Peut-on vérifier cette équivalence sur la figure 1 ? Cette équivalence est-elle toujours vraie au
pôle Sud ?
9. Les frottements avec la surface de la Terre font que l’équilibre géostrophique (2) n’est plus
vérifié à basse altitude. Il existe une couche limite, d’épaisseur notée δ, de plusieurs centaines
de mètres, telle que pour z δ l’équation (2) reste valide, tandis que pour z δ c’est le terme
∂2
ν ∂z2
~u qui équilibre le gradient de pression.
a) Si l’on considère l’écoulement comme strictement horizontal à toute altitude, montrer que
la pression reste partout indépendante de z.
b) On admettra qu’à basse altitude le vecteur vitesse est maintenant aligné avec le gradient
de pression. Dans le cas d’un anticyclone (respectivement une dépression), déduire de la
question 6 qu’il doit exister une vitesse radiale sortante (respectivement rentrante) près de
la surface de la Terre.
c) Montrer qu’il existe également alors une petite vitesse verticale dans le tourbillon, et commenter son signe.
d) Il est bien connu que la présence d’un anticyclone favorise un temps sec, tandis qu’une
dépression est souvent associée à un temps pluvieux. Pouvez-vous interpréter ces phénomènes ?
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2. Effet Marangoni
La tension interfaciale, par exemple entre un liquide et un gaz est généralement une fonction
décroissante de la température γ(T ). Nous allons étudier un système qui permet de mesurer cette
dépendance.
On place une mince couche de liquide d’épaisseur de l’ordre de h0 dans un récipient rectangulaire
dγ
horizontal (voir figure 2). On notera γ la tension de surface et γ 0 = dT
sa dépendance en température
que l’on supposera constante et négative dans la gamme d’étude (γ 0 < 0). On notera η et ρ la viscosité
dynamique et la masse volumique du liquide.
On impose un gradient de température G = dT
dx uniforme et constant (G < 0) entre la gauche et
la droite du récipient. On négligera la variation de la masse volumique du liquide avec la température
(qui conduirait à de la convection thermique classique).
z
Air
Liquide
Chaud
0
h(x)
Froid
x
F IGURE 2 – Fine couche de liquide placée dans un gradient horizontal de température T (x).
1. Ecrire la force de tension interfaciale dF~γ qui s’exerce de chaque côté d’une ligne de longueur
dl de l’interface gaz/liquide en fonction de γ et de dl. Quelle est la dimension de γ ?
2. Ecrire la dépendance T (x) de la température. On notera T0 la température en x = 0. En déduire
la variation spatiale γ(x) de la tension de surface.
3. Montrer qu’une portion de surface comprise entre x et x + dx et de dimension transverse L
selon Oy est soumis à une différence de forces de tension de surface dF~γ , que l’on représentera
et que l’on calculera.
4. A partir du bilan de force précédent, montrer qualitativement que la dépendance en température
de la tension de surface conduit à un mouvement du liquide en surface. Dans quel direction se
fait ce mouvement de surface ? Tracer l’allure de l’écoulement dans l’épaisseur de la couche en
régime permanent.
Dans la suite nous allons quantifier ce phénomène et montrer qu’il conduit en régime permanent
à une inclinaison de la surface du liquide d’un angle θ que l’on va calculer. Nous supposerons
que cet angle reste toujours faible (h(x) ≈ h0 ), et que le récipient est long afin de pouvoir
négliger les effets de bords.
5. En considérant la viscosité du liquide (on négligera la viscosité de l’air) écrire la contrainte vis0 exercée par la surface mobile sur le fluide. A-t-on une surface libre stricto sensu ?
queuse σxz
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En appliquant le principe fondamental de la dynamique à cette surface, en déduire la relation
entre γ 0 et ∂u
∂z h qui existe en régime permanent, où u est la composante horizontale de la
vitesse selon Ox.
6. Ecrire l’équation de Navier-Stokes en régime permanent selon les directions horizontale et verticale. On supposera vérifiées les approximations de la lubrification (écoulement faiblement
2
∂p
non-parallèle). Montrer que dans ce cas, on trouve une relation simple entre ∂x
et ∂∂z2u .
7. Par intégration selon Oz trouver la pression p(x, z) en tout point du fluide. On notera Patm la
∂p
pression dans l’air. En particulier montrer qu’en régime permanent ∂x
est relié à ∂h
∂x = tan θ(x)
(on prendra tan θ ' θ).
8. Par intégration et en appliquant la condition au limite à la surface trouvée en 5, calculer la fonction u(z).
9. Calculer le débit volumique Qv (x) à travers une section verticale d’abscisse x quelconque. Que
vaut ce débit en régime permanent ? En déduire une relation linéaire entre γ 0 et θ si h(x) ≈ h0 .
Le résultat dépend-il de la viscosité du liquide ?
10. Tracer le profil de vitesse u(x, z) à x fixé pour z ∈ [0, h(x)].
11. A.N. : On donne G = −10 K/m, ρ = 860 kg/m3 , h0 = 3 mm et θ = 1◦ . Calculer γ 0 . Si le
liquide est de l’huile, η = 0.1 Pa s, calculer la vitesse du liquide en surface. L’approximation
d’écoulement de lubrification était-elle bien justifiée ?
12. Décrire une ou plusieurs méthodes permettant de mesurer θ avec précision.