Mécanique des fluides Viscosité des fluides - Plate

Mécanique des fluides
PC* Lycée Hoche
Pascale Piquemal 08/12
Viscosité des fluides
Table 1 – Viscosités dynamique et cinématique
eau
air
huile d’olive
miel
sang
η en Pl
10−3
1, 8 10−5
' 0, 1
' 10
4 10−3
µ en kg.m−3
103
1, 3
9 102
1, 4 103
103
ν en m2 .s−1
10−6
1, 5 10−5
10−4
7 10−3
4 10−6
La viscosité cinématique d’un gaz est du même ordre de grandeur que son coefficient
d’autodiffusion D et que sa diffusivité thermique Dth .
Sujet 1 : Chute d’une bille dans la glycérine
Bille de rayon r = 1 cm, pour la glycérine η = 1, 49 P l et µ = 1, 26 103 kg.m−3 . Evaluer la vitesse
limite de la bille, calculer le nombre de Reynolds et vérifier la validité du calcul.
Sujet 2 : Frottement fluide sur une plaque en mouvement rectiligne uniforme
Un fluide incompressible ( masse volumique µ , viscosité dynamique η , µη = ν = 10−6 m2 s−1 ) est limité
par deux plaques supposées infinies, confondues avec les plans d’équation z = 0 et z = L. Le fluide
et les deux plaques étant au repos à t < 0, on met en mouvement la plaque z = 0 avec une vitesse
−−−→
→ à partir de t = 0. On note P (z, t) le champ de pression et −
→ le champ
constante U −
u
v(M, t) = v(z, t)−
u
x
x
des vitesses dans le fluide.
∂2v
dP
1/ En isolant un pavé de côtés dx, dy et dz, établir les relations : ∂v
∂t = ν ∂z 2 et dz = −µg.
2/ Prévoir sans calcul l’ordre de grandeur de la durée τ d’établissement d’un écoulement stationnaire.
A.N : L = 1 cm et L = 1 m.
3/ On se place en régime stationnaire. Déterminer v(z) et la force subie par un élément de surface de
la plaque mobile. Commenter.
Sujet 3 : Freinage d’une plaque en mouvement sinusoı̈dal. Ondes de cisaillement dans un
fluide
→
Une plaque confondue avec le plan d’équation z=0 est en translation avec une vitesse U cos(ωt)−
u
x
η
−6
2
−1
dans un fluide incompressible ( masse volumique µ , viscosité dynamique η , µ = ν = 10 m s )
−−−−→
→ le champ des
remplissant tout l’espace. On note P (z, t) le champ de pression et v(M, t) = v(z, t)−
u
x
vitesses dans le fluide.
dP
∂2v
1/ En isolant un pavé de côtés dx, dy et dz, établir les relations : ∂v
∂t = ν ∂z 2 et dz = −µg. En déduire
sans calculs l’ordre de grandeur de l’épaisseur δ de la couche limite, domaine hors duquel le fluide reste
quasiment au repos. A.N : f = 100 Hz.
2/ On cherche en régime sinusoı̈dal forcé un champ de vitesses de la forme v(z, t) = <(UM expj(ωt−kz))
. Déterminer k et en déduire les expressions de v(z > 0, t) et v(z < 0, t).
3/ En déduire l’expression de la force subie par l’unité de surface de la plaque et la puissance de cette
force ; commenter.
Sujet 4 : Ecoulement d’un liquide sur un plan incliné
Considérons une couche, d’épaisseur h, d’un liquide incompressible visqueux, de viscosité η et de masse
volumique µ, en écoulement sur un plan incliné faisant avec l’horizontale un angle α et on note la ligne
de plus grande pente Ox dirigée vers le bas . En écoulement stationnaire, celui-ci est unidirectionnel et
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la seule composante non nulle de la vitesse v ne dépend que de z, soit vx (z). La surface libre correspond
à z = 0 et le plan supportant la couche à z = h.
1/ Justifier que ∂P
∂x = 0.
2/ Déterminer les conditions limites en termes de vitesse en négligeant
Oz
la viscosité de l’air.
3/ En déduire le profil de vitesse d’un tel écoulement. Identifier le type
Ox
a
d’écoulement observé en fonction de α.
4/ La couche de liquide est de largeur L dans la direction Oy. Cette lar- Figure 1 – Ecoulement
geur est très grande devant la profondeur h. Calculer le débit volumique d’un liquide sur un plan inet en déduire la vitesse moyenne de l’écoulement. Pourquoi ce débit est-il cliné
constant ?
5/ A.N : calculer la vitesse moyenne de l’écoulement pour une rivière de h = 1 m présentant une
différence d’altitude de 50 m après un parcours de 500 km. Ce résultat est-il réaliste ? puis pour une
couche d’eau de h = 2 mm sur un plan incliné de 1◦ par rapport à l’horizontale.
Réponses partielles : Conditions limites, penser à l’annulation de la contrainte tangentielle en z = 0.
2 −z 2 )
v(z) = µg sin α(h
. C’est irréaliste pour la rivière car écoulement parfait sauf dans la couche limite.
2η
En revanche pour la couche d’eau, tout l’écoulement est visqueux.
Sujet 5 : Ecoulement de Navier-Stokes entre deux cylindres de révolution coaxiaux
On considère deux cylindres de révolution coaxiaux, d’axe Oz, de rayons R1 et R2 avec R1 < R2 .
On étudie un écoulement stationnaire, longitudinal, d’un fluide visqueux de viscosité dynamique η ,
incompressible, de masse volumique µ . La perte de charge sur une longueur L de conduite est notée
∆p = p(z = 0) − p(z = L).
1/ Démontrer que v ne dépend que de r en coordonnées cylindriques d’axe Oz.
2/ Démontrer que p est fonction linéaire de la seule variable z.
3/ En déduire le champ des vitesses v(r) en fonction de la perte de charge par unité de longueur ∆p/L.
4/ Calculer le débit massique le long de la conduite.
5/ Comment peut-on reformuler le problème si l’on néglige la viscosité ? Réponse partielle : v(z) =
r2
0
− ∆P
4Lη + clnr + c .
Sujet 6 : Ecoulement de Poiseuille cylindrique
Un tel écoulement, dit de Poiseuille, correspond à celui d’un liquide visqueux (de viscosité η et de
masse volumique µ) dans une conduite cylindrique de rayon R et d’axe Oz. On néglige les effets de la
pesanteur.
1/ Du fait des symétries du problème, on cherche en coordonnées cylindriques un champ de la forme
→
−
→ et un champ de pression de la forme P (M ) = p(r, z). L’écoulement est stationnaire et
v = v(r, z)−
u
z
incompressible. Exploiter l’incompressiblilité de l’écoulement. Appliquer le théorème de la résultante
cinétique à une particule de fluide.
2/ En déduire le champ des vitesses en tenant compte des conditions aux limites sur la paroi de la
conduite. En déduire l’expression du débit volumique en fonction des pressions à l’entrée et à la sortie
pour une conduite de longueur L. Comparer à la loi d’Ohm pour un conducteur filiforme.
3/ A.N : Calculer la chute de pression dans une artère de longueur L = 1 m, de rayon R = 0, 5 cm et
de débit volumique 80 cm3 s−1 , sachant que la viscosité du sang vaut η = 4 10−3 P l. Comparer avec la
différence de pression que maintient le coeur ? p = (12 − 8) cm = 4 cm de mercure.
2 −r 2 )
πR4
et Dv = ∆P8Lη
.
Réponses : v(z) = ∆P (R
4Lη
2