Eléments de mécanique des fluides – Exercices

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El´ements de m´ecanique des fluides –
Exercices
I. Statique des fluides
Profondeur des oc´eans : Calculer en atm la pression qui r`egne au fond de la fosse des Mariannes
(l’endroit le plus profond de l’Oc´ean Pacifique : environ 11 km).
R´eponse : 11.107Pa = 1100 bar
Surface : Quelle surface du coin faut-il poser par terre pour qu’il exerce la pression la plus grande
sur le sol ?
1
2
3
R´eponse :Section la plus petite : cˆot´e 1
Utilisation d’une pompe : On aimerait pomper un liquide depuis une grande cuve vers une autre
cuve situ´ee 30 m plus haut, `a l’aide d’un tuyau et d’une pompe. Laquelle des affirmations
ci-dessous est correcte ?
(a) Si le liquide ´etait du mercure, on pourrait placer la pompe aussi bien en haut qu’en bas.
(b) Si le liquide ´etait de l’alcool, on pourrait placer la pompe aussi bien en haut qu’en bas.
(c) En pla¸cant la pompe tout en haut du tuyau, on pourrait pomper de l’eau.
(d) En pla¸cant la pompe tout en bas du tuyau, on pourrait pomper de l’eau.
(e) Il est impossible de pomper de l’eau o`u qu’on place la pompe.
R´eponse : (d) hne peut d´epasser 10 m, mˆeme avec le vide en haut
Iceberg : Un iceberg de masse volumique ρ1, flotte dans de l’eau ayant une masse volumique ρ2.
Que peut-on dire sur la hauteur immerg´ee h2et sur la hauteur h1de la pointe ´emergeant de
l’eau ?
(a) h1
h2
=ρ1
ρ2
; (b) h1
h2
=ρ2−ρ1
ρ2
; (c) h1
h2
=ρ2−ρ1
ρ1
; (d) h1
h2
=ρ2
ρ1
;
(e) h1
h2
d´epend de la forme de la pointe
R´eponse : (e) La relation concerne les volumes
Gla¸con : Un gla¸con flotte dans un verre d’eau rempli `a ras bord. Que se passe-t-il une fois que le
gla¸con a fondu totalement.
R´eponse : Pas de d´ebordement, ni de baisse du niveau de l’eau

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Facteur d’´echelle : Deux ´el´ephants en pˆate `a modeler exercent des pressions P1respectivement P2
sur le sol, le petit (2) ´etant la r´eplique exacte du grand (1) `a l’´echelle 1/2. Que peut-on dire
sur le rapport P1/P2?
R´eponse : P1= 2P2
´
Equation barom´etrique : Le r´ecipient ferm´e ci-dessous contient de l’eau et de l’air. Dans quelle
partie verticale la pression de l’air est-elle la plus haute et dans quelle partie est- elle la plus
basse ?
1
234
R´eponse : P4< P1< P3< P2
Les gla¸cons ... le retour : Dans les gla¸cons flottant dans les verres ci-dessus on a emprisonn´e une
bulle d’air (1), de l’eau (2) et un clou (3). Que peut-on dire des niveaux d’eau dans chacun des
verres une fois que les gla¸cons auront fondu ?
(a) Seul le verre 3 d´eborde
(b) Le niveau d’eau du verre 3 baisse et les autres ne bougent pas
(c) Le niveau du verre 1 ne bouge pas et les autres d´ebordent
(d) Tous d´ebordent
(e) Tous restent au mˆeme niveau
R´eponse : (b)
Densit´e : Le r´ecipient ci-dessous contient en tout quatre liquides diff´erents. Classer les dans l’ordre
des densit´es croissantes.
1
234h1
h2
R´eponse : ρ1< ρ3< ρ4< ρ2
Presse hydraulique : Deux cylindres verticaux, de section horizontale A1et A2remplis d’huile
sont reli´es par un tuyau horizontal. Les cylindres sont ferm´es par des pistons faits du mˆeme
m´etal. Que peut-on dire des ´epaisseurs h1et h2des cylindres, sachant que le tout est `a
l’´equilibre ?
R´eponse : h1=h2

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II. Dynamique des fluides
II.1. Formule de Torricelli
Consid´erons un r´eservoir cylindrique rempli d’un liquide
dans lequel on perce un orifice. La formule de Torricelli
relie section S, le d´ebit d’´ecoulement avec la hauteur de
liquide h. On fera les hypoth`eses suivantes :
•La section Sdu cylindre est tr`es grande devant la
section de l’orifice : s≪S;
•On consid`ere le liquide incompressible et parfait ;
•Enfin, on consid`ere que l’´ecoulement est en r´egime sta-
tionnaire.
1. Montrer que la vitesse en sortie d’orifice est donn´ee par : v(B, t) = p2gh(t) .
2. Si h0est la hauteur initiale de fluide dans le r´eservoir, montrer que la dur´ee de vidange est
donn´ees pas τ=S
ss2h0 g
II.2. Tube de Pitot
Le tube de Pitot permet la mesure de la vitesse d’´ecoulement d’un gaz subsonique (v≪Cson).
On peut en effet le consid´erer incompressible dans ce cas. On pratique dans un tube un orifice de
prise de pression en A et en B. Le point A est un point d’arrˆet car la vitesse est nulle (il n’y a pas
d’´ecoulement dans l’orifice, c’est juste une prise de pression). Loin du tube de Pitot l’´ecoulement
est suppos´e uniforme de vitesse v∞et de pression P0. En B la pression vaut P0car les lois de
l’hydrostatique s’appliquent dans une direction perpendiculaire `a un ´ecoulement parall`ele permanent
incompressible.
1. Montrer que v∞=s2∆P
µo`u µest la masse volumique du fluide et ∆P=PA−PBmesurable
par le manom`etre.
2. Un tube de Pitot dans un ´ecoulement d’air mesure une diff´erence de pression ∆P= 0,6 mbar.
Quelle est la vitesse d’´ecoulement ?

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II.3. Vidange d’un r´eservoir
Un fluide parfait incompressible s’´ecoule d’un orifice circulaire situ´e sur le cot´e d’un r´eservoir avec
un d´ebit volumique qv= 0,4 L/s. Le diam`etre de l’orifice est d= 10 mm.
A quelle distance de la surface libre se trouve l’orifice ?
R´eponse : h= 1,32 m
II.4. Fonctionnement d’un siphon
On consid`ere un siphon de diam`etre d= 10 mm aliment´e par
un r´eservoir d’essence de grandes dimensions par rapport `a
det ouvert `a l’atmosph`ere. On suppose que le fluide est
parfait et que le niveau du fluide dans le r´eservoir varie
lentement. On donne la masse volumique de l’essence µ=
690 kg.m−3et H=zA˘zS= 2,5 m.
1. D´eterminer la valeur du d´ebit volumique qvdans le siphon.
2. Donner l’expression de la pression PBau point B en fonction de h,H,µg et Patm.
Faire une application num´erique pour h= 0.4 m.
3. hpeut elle prendre n’importe quelle valeur ? Justifier votre r´eponse.
R´eponses : qv= 0.55 L/s ; PB=Patm −µg(H+h): Non, il faut h < 12 m
II.5. Fonctionnement d’une seringue
La figure ci-dessous repr´esente un piston qui se d´eplace sans frottement dans un cylindre de section
S1et de diam`etre d1= 4 cm remplit d’un fluide parfait de masse volumique ρ= 1000 kg.m−3. Le
piston est pouss´e par une force F= 63 Newtons `a une vitesse V1constante. Le fluide peut s’´echapper
vers l’ext´erieur par un cylindre de section S2et de diam`etre d2= 1 cm `a une vitesse V2et une pression
P2=Patm = 1 bar.
1. D´eterminer la pression P1du fluide au niveau de la section S1en fonction de F,Patm et d1.
2. D´eterminer la vitesse d’´ecoulement V2. On suppose que les cylindres sont dans une position
horizontale Z1=Z2
3. En d´eduire le d´ebit volumique Qv.
R´eponses : P1=Patm +4F
πd2
1
;V2= 10 m/s : Qv= 0.79 L/s

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II.6. Pompage
Une pompe P alimente un chˆateau d’eau `a partir d’un puits `a travers une conduite de diam`etre
d= 150 mm. On donne les altitudes Z2= 26 m et Z1=−5 m ; les pressions P1=P2= 1 bar ainsi
que la vitesse d’´ecoulement dans la conduite V= 0.4 m/s.
Calculer le d´ebit volumique qvdans la conduite et la puissance fournie par la pompe au fluide.
R´eponse : P=qvρg(Z2−Z1) = 2,1kW