Eléments de mécanique des fluides – Exercices
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IPhO – N. Schlosser Éléments de mécanique des fluides – Exercices 1 Éléments de mécanique des fluides – Exercices I. Statique des fluides Profondeur des océans : Calculer en atm la pression qui règne au fond de la fosse des Mariannes (l’endroit le plus profond de l’Océan Pacifique : environ 11 km). Réponse : 11.107 Pa = 1100 bar Surface : Quelle surface du coin faut-il poser par terre pour qu’il exerce la pression la plus grande sur le sol ? 3 2 1 Réponse :Section la plus petite : côté 1 Utilisation d’une pompe : On aimerait pomper un liquide depuis une grande cuve vers une autre cuve située 30 m plus haut, à l’aide d’un tuyau et d’une pompe. Laquelle des affirmations ci-dessous est correcte ? (a) Si le liquide était du mercure, on pourrait placer la pompe aussi bien en haut qu’en bas. (b) Si le liquide était de l’alcool, on pourrait placer la pompe aussi bien en haut qu’en bas. (c) En plaçant la pompe tout en haut du tuyau, on pourrait pomper de l’eau. (d) En plaçant la pompe tout en bas du tuyau, on pourrait pomper de l’eau. (e) Il est impossible de pomper de l’eau où qu’on place la pompe. Réponse : (d) h ne peut dépasser 10 m, même avec le vide en haut Iceberg : Un iceberg de masse volumique ρ1 , flotte dans de l’eau ayant une masse volumique ρ2 . Que peut-on dire sur la hauteur immergée h2 et sur la hauteur h1 de la pointe émergeant de l’eau ? ρ1 h1 ρ2 − ρ1 h1 ρ2 − ρ1 h1 ρ2 h1 = ; (b) = ; (c) = ; (d) = ; (a) h2 ρ2 h2 ρ2 h2 ρ1 h2 ρ1 h1 (e) dépend de la forme de la pointe h2 Réponse : (e) La relation concerne les volumes Glaçon : Un glaçon flotte dans un verre d’eau rempli à ras bord. Que se passe-t-il une fois que le glaçon a fondu totalement. Réponse : Pas de débordement, ni de baisse du niveau de l’eau IPhO – N. Schlosser 2 Éléments de mécanique des fluides – Exercices Facteur d’échelle : Deux éléphants en pâte à modeler exercent des pressions P1 respectivement P2 sur le sol, le petit (2) étant la réplique exacte du grand (1) à l’échelle 1/2. Que peut-on dire sur le rapport P1 /P2 ? Réponse : P1 = 2P2 Équation barométrique : Le récipient fermé ci-dessous contient de l’eau et de l’air. Dans quelle partie verticale la pression de l’air est-elle la plus haute et dans quelle partie est- elle la plus basse ? 4 1 3 2 Réponse : P4 < P1 < P3 < P2 Les glaçons ... le retour : Dans les glaçons flottant dans les verres ci-dessus on a emprisonné une bulle d’air (1), de l’eau (2) et un clou (3). Que peut-on dire des niveaux d’eau dans chacun des verres une fois que les glaçons auront fondu ? (a) Seul le verre 3 déborde (b) Le niveau d’eau du verre 3 baisse et les autres ne bougent pas (c) Le niveau du verre 1 ne bouge pas et les autres débordent (d) Tous débordent (e) Tous restent au même niveau Réponse : (b) Densité : Le récipient ci-dessous contient en tout quatre liquides différents. Classer les dans l’ordre des densités croissantes. 1 3 2 4 h1 h2 Réponse : ρ1 < ρ3 < ρ4 < ρ2 Presse hydraulique : Deux cylindres verticaux, de section horizontale A1 et A2 remplis d’huile sont reliés par un tuyau horizontal. Les cylindres sont fermés par des pistons faits du même métal. Que peut-on dire des épaisseurs h1 et h2 des cylindres, sachant que le tout est à l’équilibre ? Réponse : h1 = h2 IPhO – N. Schlosser II. Éléments de mécanique des fluides – Exercices 3 Dynamique des fluides II.1. Formule de Torricelli Considérons un réservoir cylindrique rempli d’un liquide dans lequel on perce un orifice. La formule de Torricelli relie section S, le débit d’écoulement avec la hauteur de liquide h. On fera les hypothèses suivantes : • La section S du cylindre est très grande devant la section de l’orifice : s ≪ S ; • On considère le liquide incompressible et parfait ; • Enfin, on considère que l’écoulement est en régime stationnaire. 1. Montrer que la vitesse en sortie d’orifice est donnée par : v(B, t) = p 2gh(t) . 2. Si h0 est la hauteur sinitiale de fluide dans le réservoir, montrer que la durée de vidange est S 2h0 données pas τ = s g II.2. Tube de Pitot Le tube de Pitot permet la mesure de la vitesse d’écoulement d’un gaz subsonique (v ≪ Cson ). On peut en effet le considérer incompressible dans ce cas. On pratique dans un tube un orifice de prise de pression en A et en B. Le point A est un point d’arrêt car la vitesse est nulle (il n’y a pas d’écoulement dans l’orifice, c’est juste une prise de pression). Loin du tube de Pitot l’écoulement est supposé uniforme de vitesse v∞ et de pression P0 . En B la pression vaut P0 car les lois de l’hydrostatique s’appliquent dans une direction perpendiculaire à un écoulement parallèle permanent incompressible. 1. Montrer que v∞ = s 2∆P où µ est la masse volumique du fluide et ∆P = PA − PB mesurable µ par le manomètre. 2. Un tube de Pitot dans un écoulement d’air mesure une différence de pression ∆P = 0, 6 mbar. Quelle est la vitesse d’écoulement ? IPhO – N. Schlosser II.3. Éléments de mécanique des fluides – Exercices 4 Vidange d’un réservoir Un fluide parfait incompressible s’écoule d’un orifice circulaire situé sur le coté d’un réservoir avec un débit volumique qv = 0, 4 L/s. Le diamètre de l’orifice est d = 10 mm. A quelle distance de la surface libre se trouve l’orifice ? Réponse : h = 1, 32 m II.4. Fonctionnement d’un siphon On considère un siphon de diamètre d = 10 mm alimenté par un réservoir d’essence de grandes dimensions par rapport à d et ouvert à l’atmosphère. On suppose que le fluide est parfait et que le niveau du fluide dans le réservoir varie lentement. On donne la masse volumique de l’essence µ = 690 kg.m−3 et H = zA ˘zS = 2, 5 m. 1. Déterminer la valeur du débit volumique qv dans le siphon. 2. Donner l’expression de la pression PB au point B en fonction de h, H, µg et Patm . Faire une application numérique pour h = 0.4 m. 3. h peut elle prendre n’importe quelle valeur ? Justifier votre réponse. Réponses : qv = 0.55 L/s ; PB = Patm − µg(H + h) : Non, il faut h < 12 m II.5. Fonctionnement d’une seringue La figure ci-dessous représente un piston qui se déplace sans frottement dans un cylindre de section S1 et de diamètre d1 = 4 cm remplit d’un fluide parfait de masse volumique ρ = 1000 kg.m−3 . Le piston est poussé par une force F = 63 Newtons à une vitesse V1 constante. Le fluide peut s’échapper vers l’extérieur par un cylindre de section S2 et de diamètre d2 = 1 cm à une vitesse V2 et une pression P2 = Patm = 1 bar. 1. Déterminer la pression P1 du fluide au niveau de la section S1 en fonction de F , Patm et d1 . 2. Déterminer la vitesse d’écoulement V2 . On suppose que les cylindres sont dans une position horizontale Z1 = Z2 3. En déduire le débit volumique Qv . Réponses : P1 = Patm + 4F ; V2 = 10 m/s : Qv = 0.79 L/s πd12 IPhO – N. Schlosser II.6. Éléments de mécanique des fluides – Exercices 5 Pompage Une pompe P alimente un château d’eau à partir d’un puits à travers une conduite de diamètre d = 150 mm. On donne les altitudes Z2 = 26 m et Z1 = −5 m ; les pressions P1 = P2 = 1 bar ainsi que la vitesse d’écoulement dans la conduite V = 0.4 m/s. Calculer le débit volumique qv dans la conduite et la puissance fournie par la pompe au fluide. Réponse : P = qv ρg(Z2 − Z1 ) = 2, 1 kW
