PC - TD - Cinématique des fluides

PC - T D - Cinématique des fluides
Exercice 1
1
Tornade
En coordonnées polaires on modélise une tornade comme un écoulement plan avec deux champs de vitesses, l’un
−
→
→
→
v1 = rω −
eθ pour une zone, appelée le coeur de la tornade, comprise entre l’axe de rotation (porté par −
ez ) au centre de
a→
→
eθ pour r > rc .
la tornade et un rayon caractéristique rc , l’autre −
v2 = −
r
→
−
Exprimer a et le vecteur tourbillon Ω au coeur de la tornade en fonction de ω et rc .
Exercice 2
Ecoulement plan
On considère un écoulement plan, permanent, irrotationnel, parfait et incompressible. Le plan est muni d’un repère
→
→
→
→
→
ey .
ex + vy −
cartésien (−
ex , −
ex ). le vecteur vitesse du fluide sera noté −
v = vx −
1. Définir chacun des termes employés pour caractériser l’écoulement.
2. Donner, sans démonstration l’équation de continuité. Indiquer la signification physique de cette équation. Quelles
−−→
→
sont les conditions pour qu’il existe un potentiel de vitesse φ tel que −
v = grad φ ? Ecrire les relations liant les
composantes du vecteur vitesse et le potentiel des vitesses.
3. Quelle est l’équation vérifiée par le potentiel des vitesses ?
4. Définir la notion de
de courant ?
≪
ligne de courant ≫. Quelle relation différentielle permet de déterminer la forme des lignes
Ecoulement autour d’un obstacle cylindrique
Exercice 3
On s’intéresse à l’écoulement plan, parfait et incompressible d’un fluide, autour d’un cylindre solide, de rayon a,
de hauteur infinie et d’axe Oz.
1. Représenter schématiquement l’allure des lignes de courant au voisinage de l’obstacle.
→
2. Préciser les conditions que doit satisfaire la vitesse −
v du fluide au niveau des parois du cylindre.
On admet que cet écoulement est un écoulement potentiel pour lequel le potentiel des vitesse s’exprime en coordonnées polaires :
a 2 cos θ
φ(M ) = v0 r 1 +
r
3. Déterminer les composantes polaires vr et vθ du vecteur vitesse et vérifier qu’il s’agit bien d’un écoulement
potentiel.
4. Préciser les points d’arrêt.
5. On souhaite tracer numériquement les lignes de champ correspondant à cet écoulement. Pour cela on réaliser le
script suivant écrit en langage Python :
(a) Justifier que la fonction courant utilisée dans la fonction odeint permet bien de représenter les lignes de
champ.
(b) Parmi les 3 images ci-dessous, quelle est celle qui correspond au résultat du script ci-dessous ?
Lig n e s d e c o u ra n t
3
Lig n e s d e c o u ra n t
3
Lig n e s d e c o u ra n t
4
3
2
2
1
1
0
0
2
y
y
y
1
0
−1
−1
−1
−2
−2
−2
−3
−3
−6
−4
−2
0
x
2
4
6
−3
−6
−4
−2
0
x
2
4
6
−4
−6
−4
−2
0
x
2
4
6
PC - T D - Cinématique des fluides
2
1 import numpy a s np
2 from s c i p y . i n t e g r a t e import o d e i n t
3 import m a t p l o t l i b . p y p l o t a s p l
4
5 v0=1
6 a=1
7 Gamma=−8
8
9 def c y l i n d r e ( r , n ) :
10
””” t r a c e un c y l i n d r e de rayon r e t de c e n t r e ( 0 , 0 ) avec n p o i n t s ”””
11
””” r e n v o i e une l i s t e de x e t une l i s t e de y ”””
12
t h e t a=np . l i n s p a c e ( 0 , 2 * np . pi , num=n )
13
x,y =[] ,[]
14
for i in t h e t a :
15
x . append ( r * np . c o s ( i ) )
16
y . append ( r * np . s i n ( i ) )
17
return x , y
18
19 def c o u r a n t ( y , x ) :
20
””” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ”””
21
r=np . s q r t ( x **2+y ** 2 )
22
c o s t h e t a=x/ r
23
s i n t h e t a=y/ r
24
vr=v0 * (1 −( a / r ) * * 2 ) * c o s t h e t a
25
v t h e t a=−v0 * (1+( a / r ) * * 2 ) * s i n t h e t a
26
vx=vr * c o s t h e t a −v t h e t a * s i n t h e t a
27
vy=vr * s i n t h e t a+v t h e t a * c o s t h e t a
28
return vy/vx
29
30 x=np . l i n s p a c e ( −5 ,5 ,num=1e5 )
31
32 l i g n e = [ ]
33 for y0 in np . l i n s p a c e ( −2 ,2 ,num= 2 0 ):
34
l i g n e . append ( o d e i n t ( co ur a nt , y0 , x ) )
35
36
37 p l . f i g u r e ( 0 )
38 for i in range ( len ( l i g n e ) ) :
39
pl . plot (x , l i g n e [ i ] , ’b ’ )
40
41 p l . p l o t ( c y l i n d r e ( 1 , len ( x ) ) [ 0 ] , c y l i n d r e ( 1 , len ( x ) ) [ 1 ] , ’ r ’ )
42 p l . x l a b e l ( ’ x ’ )
43 p l . y l a b e l ( ’ y ’ )
44 p l . t i t l e ( ’ L i g n e s de c o u r a n t ’ )
45 p l . show ( )
On met maintenant le cylindre en rotation autour de son axe fixe avec une vitesse angulaire ω uniforme dans le
sens horaire. Pour tenir compte de l’effet de la rotation du cylindre sur l’écoulement on ajoute dans l’expression du
potentiel de vitesse une ≪ singularité tourbillonnaire ≫ de circulation Γ de sorte que le potentiel de vitesse devient :
a 2 Γθ
φ(M ) =
cos θ
+ v0 r 1 +
2π
r
6. Le modèle de l’écoulement parfait permet-il de rendre compte de l’effet de la rotation du cylindre sur l’écoulement
du fluide ?
7. Déterminer les nouvelles expressions des composantes polaires vr et vθ du vecteur vitesse.
8. A quelle condition existe-t-il des points d’arrêt. Préciser alors leur position.
9. Proposer des modifications à apporter script Python précédent pour tracer les lignes de courant dans cette
nouvelle situation.
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3
10. Après modification, on obtient la figure suivante
Lig n e s d e c o u ra n t
4
3
2
1
y
0
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−4
−2
0
x
2
4
6
Figure 1 – Simulation numérique des lignes de champ pour un cylindre en rotation
(a) La figure est-elle en accord avec les résultats précédents ?
(b) On considère un écoulement avec une vitesse loin du cylindre qui vaut v0 = 1 m/s, le cylindre à un rayon a = 1 m.
Estimer la vitesse de rotation du cylindre.