PC - TD - Cinématique des fluides

PC - T D - Cin´ematique des fluides 1
Exercice 1 Tornade
En coordonn´ees polaires on mod´elise une tornade comme un ´ecoulement plan avec deux champs de vitesses, l’un
−→
v1=rω−→ eθpour une zone, appel´ee le coeur de la tornade, comprise entre l’axe de rotation (port´e par −→ ez) au centre de
la tornade et un rayon caract´eristique rc, l’autre −→ v2=a
r
−→
eθpour r > rc.
Exprimer aet le vecteur tourbillon −→ Ω au coeur de la tornade en fonction de ωet rc.
Exercice 2 Ecoulement plan
On consid`ere un ´ecoulement plan, permanent, irrotationnel, parfait et incompressible. Le plan est muni d’un rep`ere
cart´esien (−→ ex,−→ ex). le vecteur vitesse du fluide sera not´e −→ v=vx
−→
ex+vy
−→
ey.
1. D´efinir chacun des termes employ´es pour caract´eriser l’´ecoulement.
2. Donner, sans d´emonstration l’´equation de continuit´e. Indiquer la signification physique de cette ´equation. Quelles
sont les conditions pour qu’il existe un potentiel de vitesse φtel que −→ v=−−→ grad φ? Ecrire les relations liant les
composantes du vecteur vitesse et le potentiel des vitesses.
3. Quelle est l’´equation v´erifi´ee par le potentiel des vitesses ?
4. D´efinir la notion de ≪ligne de courant ≫. Quelle relation diff´erentielle permet de d´eterminer la forme des lignes
de courant ?
Exercice 3 Ecoulement autour d’un obstacle cylindrique
On s’int´eresse `a l’´ecoulement plan, parfait et incompressible d’un fluide, autour d’un cylindre solide, de rayon a,
de hauteur infinie et d’axe Oz.
1. Repr´esenter sch´ematiquement l’allure des lignes de courant au voisinage de l’obstacle.
2. Pr´eciser les conditions que doit satisfaire la vitesse −→ vdu fluide au niveau des parois du cylindre.
On admet que cet ´ecoulement est un ´ecoulement potentiel pour lequel le potentiel des vitesse s’exprime en coor-
donn´ees polaires :
φ(M) = v0r1 + a
r2cos θ
3. D´eterminer les composantes polaires vret vθdu vecteur vitesse et v´erifier qu’il s’agit bien d’un ´ecoulement
potentiel.
4. Pr´eciser les points d’arrˆet.
5. On souhaite tracer num´eriquement les lignes de champ correspondant `a cet ´ecoulement. Pour cela on r´ealiser le
script suivant ´ecrit en langage Python :
(a) Justifier que la fonction courant utilis´ee dans la fonction odeint permet bien de repr´esenter les lignes de
champ.
(b) Parmi les 3 images ci-dessous, quelle est celle qui correspond au r´esultat du script ci-dessous ?
− 6 − 4 − 2 0 2 4 6
x
− 3
− 2
− 1
0
1
2
3
y
Lign e s d e c o u r a nt
− 6 − 4 − 2 0 2 4 6
x
− 3
− 2
− 1
0
1
2
3
y
Lign e s d e c o u r a nt
− 6 − 4 − 2 0 2 4 6
x
− 4
− 3
− 2
− 1
0
1
2
3
4
y
Lign e s d e c o u r a nt

PC - T D - Cin´ematique des fluides 2
1import numpy as np
2from s ci py . i n t e g r a t e import o d e i n t
3import m a t p l o t l i b . pyplot as p l
4
5 v0=1
6 a=1
7 Gamma=−8
8
9def c y l i n d r e ( r , n ) :
10 ””” t r a c e un c y l i n d r e de rayon r e t de c e n t r e ( 0 , 0 ) av ec n p o i n t s ”””
11 ””” r e n v o i e une l i s t e de x e t une l i s t e de y ”””
12 th et a=np . l i n s p a c e ( 0 , 2 np . pi , num=n )
13 x , y = [ ] , [ ]
14 fo r iin th e ta :
15 x . append ( r np . c o s ( i ) )
16 y . append ( r np . s i n ( i ) )
17 return x , y
18
19 def courant ( y , x ) :
20 ”””.............................”””
21 r=np . s q r t ( x 2+y 2)
22 c o s t h e t a=x/ r
23 s i n t h e t a=y/ r
24 vr=v0 (1 −( a/ r ) 2 ) c o s t h e t a
25 vth e ta=−v0 (1+( a/ r ) 2 ) s i n t h e t a
26 vx=vr c o s t h e t a −vth et a s i n t h e t a
27 vy=vr s i n t h e t a+v th e ta c o s t h e t a
28 return vy/vx
29
30 x=np . l i n s p a c e ( −5 ,5 ,num=1e5 )
31
32 l i g n e =[]
33 fo r y0 in np . l i n s p a c e ( −2 ,2 ,num=20):
34 l i g n e . append ( o de i nt ( courant , y0 , x ) )
35
36
37 p l . f i g u r e ( 0 )
38 fo r iin range (len ( l i g n e ) ) :
39 pl . pl o t ( x , l i g n e [ i ] , ’ b ’ )
40
41 p l . p lo t ( c y l i n d r e ( 1 , len ( x ) ) [ 0 ] , c y l i n d r e ( 1 , len ( x ) ) [ 1 ] , ’ r ’ )
42 p l . x l a b e l ( ’ x ’ )
43 p l . y l a b e l ( ’ y ’ )
44 pl . t i t l e ( ’ L ig ne s de co ura nt ’ )
45 p l . show ( )
On met maintenant le cylindre en rotation autour de son axe fixe avec une vitesse angulaire ωuniforme dans le
sens horaire. Pour tenir compte de l’effet de la rotation du cylindre sur l’´ecoulement on ajoute dans l’expression du
potentiel de vitesse une ≪singularit´e tourbillonnaire ≫de circulation Γ de sorte que le potentiel de vitesse devient :
φ(M) = Γθ
2π+v0r1 + a r2cos θ
6. Le mod`ele de l’´ecoulement parfait permet-il de rendre compte de l’effet de la rotation du cylindre sur l’´ecoulement
du fluide ?
7. D´eterminer les nouvelles expressions des composantes polaires vret vθdu vecteur vitesse.
8. A quelle condition existe-t-il des points d’arrˆet. Pr´eciser alors leur position.
9. Proposer des modifications `a apporter script Python pr´ec´edent pour tracer les lignes de courant dans cette
nouvelle situation.

PC - T D - Cin´ematique des fluides 3
10. Apr`es modification, on obtient la figure suivante
− 6 − 4 − 2 0 2 4 6
x
− 5
− 4
− 3
− 2
− 1
0
1
2
3
4
y
Lig n e s d e c o u ra n t
Figure 1 – Simulation num´erique des lignes de champ pour un cylindre en rotation
(a) La figure est-elle en accord avec les r´esultats pr´ec´edents ?
(b) On consid`ere un ´ecoulement avec une vitesse loin du cylindre qui vaut v0= 1 m/s, le cylindre `a un rayon a= 1 m.
Estimer la vitesse de rotation du cylindre.