Licence de Physique - S5

Année universitaire 2010-2011
Licence de Physique - S5 - Électromagnétisme dans la matière
Devoir Surveillé numéro 2, vendredi 14 janvier 2011, durée 2 heures
Documents non autorisés - calculatrices autorisées mais non nécessaires
1. Question de cours
a) Rappeler les quatre équations de Maxwell “dans le vide” permettant de déterminer les champs électrique
~
Eet magnétique ~ Ben fonction des densités de charge ρet de courant ~ Jtotales.
b) Comment s’écrivent les équations de Maxwell “dans la matière” ? Définir soigneusement les nouveaux
champs ~ Det ~ Hen fonction de ~ E,~ B, de la polarisation ~ Pet de l’aimantation ~ M. On précisera bien la
nature des sources du champ.
c) A l’aide des équations données dans la question précédente, écrire les relations de passage reliant les
valeurs des champs ~ E,~ B,~ Det ~ Hde part et d’autre d’une interface séparant deux milieux matériels.
d) Dans un milieu diélectrique linéaire homogène isotrope, comment s’écrit généralement la relation entre
la polarisation ~ Pet ~ E, définissant la susceptibilité électrique χ? De quoi dépend cette susceptibilité ?
2. Capacité d’un condensateur plan On veut calculer la capacité d’un condensateur constitué de deux
armatures planes parfaitement conductrices, séparées d’une distance etrès petite devant leur dimensions
transverses, l’espace entre les deux armatures étant dans un premier temps le vide et dans un deuxième
temps un milieu diélectrique, de permittivités respectives 0et . On note Sla surface de chaque armature.
Les charges électriques totales portées par les deux armatures seront notées +Qet −Q.
L’espace entre les armatures est tout d’abord vide.
a) Que vaut le champ électrique à l’intérieur d’une armature ? Que peut on en déduire pour le potentiel
électrostatique V? Que représente pour ce dernier la surface d’une armature ? Quelle est la géométrie
des lignes de champ au voisinage des armatures ?
b) En utilisant une des équations de Maxwell “dans le vide”, et par des arguments de symétrie, établir la
direction et l’intensité du champ électrique entre les armatures.
c) En déduire la différence de potentiel ∆Ventre les deux armatures et par conséquent la capacité C0du
condensateur avec vide, définie par Q=C0∆V.
L’espace entre les armatures est maintenant rempli par un diélectrique, de permittivité . On considère dans
un premier temps l’ensemble des charges libres et de polarisation.
d) En supposant qu’une polarisation uniforme ~ Pest établie dans le diélectrique, quelle est la distribution de
charges de polarisation correspondante ? Exprimer le champ ~ Edcréé par cette polarisation en fonction
de ~ P?
e) Quel est le champ ~ E0créé par les charges libres portées par les armatures métalliques (cf. b))? En
appliquant le principe de superposition, déduire le champ total ~ Età l’intérieur du diélectrique.
f) En supposant que ~ P=0χ~ Et, où χ=/0−1, exprimer le champ électrique à l’intérieur du diélec-
trique.
g) En déduire la capacité Cdu condensateur. La comparer avec C0.
On reprend le calcul ci-dessous en utilisant les équations de Maxwell “dans la matière”.
h) Montrer que le résultat ci-dessus est obtenu beaucoup plus simplement en ne considérant que les charges
libres sur les armatures et en utilisant les équations de Maxwell “dans la matière”, ainsi que les relations
de passages associées. Commenter.
1

3. Formule de Clausius Mausotti On veut dans cet exercice relier la susceptibilité χdéfinie par ~ P=
0χ~ E(où ~ Pet ~ Esont la polarisation et le champ macroscopique moyen) à la polarisabilité atomique α
définie par ~p =α0~ Eloù ~p est le moment dipolaire d’un atome et ~ Elest le champ local ressenti par un
atome, qui diffère en général du champ macroscopique moyen, sauf dans un milieu très dilué.
a) En supposant que nombre d’atomes par unité de volume est N, exprimer la polarisation ~ Pen fonction
du moment dipolaire d’un atome ~p.
Pour estimer le champ local ~ El, on divise le diélectrique en, d’une part une petite sphère Σcentrée sur l’atome,
d’une taille comparable à l’échelle sur laquelle on moyenne le champ électrique, et d’autre part le reste du
diélectrique, dans lequel on suppose qu’existent un champ ~ Eet une polarisation ~ Puniformes.
b) On calcule tout d’abord le champ créé par le diélectrique d’où la petite sphère a été exclue. On est
donc ramené à calculer le champ dans une cavité sphérique vide à l’intérieur d’un diélectrique massif.
On rappelle que le champ à l’intérieur d’une sphère de polarisation uniforme ~ Pest donnée par ~ Ed=
−~ P /30. Expliquer en quoi les deux problèmes sont similaires mais distincts. En raisonnant sur les
densités surfaciques de charges de polarisation dans les deux cas, montrer que le champ créé par les
dipôles du diélectrique en dehors de Σà l’intérieur de la cavité sphérique est donné par −~ Ed.
c) On admettra que le champ total créé par les dipôles à l’intérieur de Σest nul pour des raisons de
symétrie. Montrer que le champ local ~ Elressenti par l’atome est donc donné par la superposition du
champ macroscopique ~ Eet du champ créé par les dipôles extérieurs à la cavité, et déterminé à la question
précédente. Donner son expression. Quel est le moment dipolaire induit au niveau d’un atome ?
d) En reliant la définition ~ P=0χ~ Eà la valeur qu’on peut obtenir à partir du moment dipolaire atomique
(cf. questions a) et c)), en déduire une expression de χen fonction de α, et N.
e) En déduire l’expression de l’indice de réfraction nen fonction des mêmes quantités.
4. Polarisation d’orientation et absorption On considère ici un diélectrique dont la polarisation met
un certain temps à s’établir lors de l’application d’un champ électrique. C’est le cas notamment lorsque les
dipôles sont permanents et nécessitent un délai pour s’orienter dans la direction d’un champ appliqué.
On suppose que la polarisation ~ Prépond au champ ~ Een obéissant à :
τd~
P(t)
dt +~
P(t) = 0χ0~ E(t)
a) On s’intéresse d’abord au cas d’un champ ~ Estatique. On suppose que ~ Pet ~ Esont initialement nuls et
qu’à l’instant t= 0, le champ ~ Epasse de ~ 0à~ Estat. Donner l’expression de ~ Pen fonction du temps.
Quelle est la signification physique de τ? De χ0?
b) On considère maintenant la réponse ~ P(t) = ~ P0e−iωt à un champ électrique oscillant ~ E(t) = ~ E0e−iωt.
Montrer que l’on peut définir une susceptibilité χ(ω)par ~ P(t) = 0χ(ω)~ E(t)et donner son expression.
c) En déduire que la permittivité relative r(ω) = 1 + χ(ω)est complexe est peut s’écrire sous la forme
r(ω) = 0
r(ω) + i00 r(ω). Donner les expressions de 0 r(ω)et 00 r(ω).
d) On suppose pour simplifier que χ01. Dans ces conditions, donner l’expression approchée de l’indice
complexe n(ω) = n0(ω) + in00(ω) = √r(ω). Donner l’allure des courbes n0(ω)et n00(ω)et montrer
que cette dernière passe par un maximum pour une pulsation ωmque l’on calculera.
e) Etablir l’équation de propagation d’une onde plane du type ~ E=~ Eei(~
k.~r−ωt)dans un milieu diélectrique
d’indice nà partir des équations de Maxwell “dans la matière”, en l’absence de charges et de courants
libres.
f) Montrer que l’existence d’une partie imaginaire n00(ω)indique que l’onde plane est absorbée au fur et
à mesure de sa progression. Donner l’expression de la distance caractéristique d’absorption. Quelle est
sa valeur minimale, correspondant au maximum de la courbe d’absorption ?
2

5. Réflexion air-verre On étudie ici la réflexion sur la surface d’un morceau de verre d’indice de réfrac-
tion nd’une onde électromagnétique plane monochromatique progressive
~
E1=E0~eyei(k1x−ωt),
se propageant initialement dans l’air d’incice de réfraction voisin de 1, suivant la direction de l’axe x, et
polarisée suivant ~ey. On suppose que le verre occupe le demi-espace infini x > 0. Pour simplifier, on se
placera dans le cas de l’incidence normale, et on supposera qu’il n’existe pas de charges et de courants
libres.
L’interaction de l’onde ~ E1(t)avec le diélectrique engendre une onde réfléchie
~
E2=rE0~eyei(k2x−ωt)
et une onde transmise
~
E3=tE0~eyei(k3x−ωt),
toutes les trois de même pulsation ω, et où ret tsont respectivement les coefficients de réflexion et de
transmission en amplitude, qu’on se propose de calculer.
a) Donner les relations de dispersion liant pulsation ωet nombre d’onde kdans l’air et dans le verre.
Donner les expressions de k1,k2, et k3.
b) Rappeler la relation entre champs électrique et magnétique pour une onde plane monochromatique pro-
gressive. Exprimer les champs ~ B1,~ B2et ~ B3associés aux trois ondes.
c) Comment s’expriment les champs électriques totaux dans l’air et dans le verre ?
d) Donner les relations de passage entre air et verre pour les composantes tangentielles et normales des
champs électrique et magnétique (cf. question de cours).
e) En déduire les expressions des coefficients ret t.
f) Rappeler l’expression du vecteur de Poynting. Que représente le flux de ce vecteur à travers une surface ?
g) Montrer que le rappport des flux d’énergie réfléchie et incidente vaut R=r2tandis que celui des flux
d’énergie transmise et incidente vaut T=nt2.
h) Montrer que R+T= 1. Quel principe fondamental cette relation exprime-t-elle ?
Rappels
div ~ rot ~ V= 0
4F=∂2F/∂x2+∂2F/∂y2+∂2F/∂z2
~
rot ~ rot = ~ grad div − 4
eiπ =−1
3