Licence de Physique - S5

Année universitaire 2010-2011
Licence de Physique - S5 - Électromagnétisme dans la matière
Devoir Surveillé numéro 2, vendredi 14 janvier 2011, durée 2 heures
Documents non autorisés - calculatrices autorisées mais non nécessaires
1. Question de cours
a) Rappeler les quatre équations de Maxwell “dans le vide” permettant de déterminer les champs électrique
~ et magnétique B
~ en fonction des densités de charge ρ et de courant J~ totales.
E
b) Comment s’écrivent les équations de Maxwell “dans la matière” ? Définir soigneusement les nouveaux
~ et H
~ en fonction de E,
~ B,
~ de la polarisation P~ et de l’aimantation M
~ . On précisera bien la
champs D
nature des sources du champ.
c) A l’aide des équations données dans la question précédente, écrire les relations de passage reliant les
~ B,
~ D
~ et H
~ de part et d’autre d’une interface séparant deux milieux matériels.
valeurs des champs E,
d) Dans un milieu diélectrique linéaire homogène isotrope, comment s’écrit généralement la relation entre
~ définissant la susceptibilité électrique χ ? De quoi dépend cette susceptibilité ?
la polarisation P~ et E,
2. Capacité d’un condensateur plan On veut calculer la capacité d’un condensateur constitué de deux
armatures planes parfaitement conductrices, séparées d’une distance e très petite devant leur dimensions
transverses, l’espace entre les deux armatures étant dans un premier temps le vide et dans un deuxième
temps un milieu diélectrique, de permittivités respectives 0 et . On note S la surface de chaque armature.
Les charges électriques totales portées par les deux armatures seront notées +Q et −Q.
L’espace entre les armatures est tout d’abord vide.
a) Que vaut le champ électrique à l’intérieur d’une armature ? Que peut on en déduire pour le potentiel
électrostatique V ? Que représente pour ce dernier la surface d’une armature ? Quelle est la géométrie
des lignes de champ au voisinage des armatures ?
b) En utilisant une des équations de Maxwell “dans le vide”, et par des arguments de symétrie, établir la
direction et l’intensité du champ électrique entre les armatures.
c) En déduire la différence de potentiel ∆V entre les deux armatures et par conséquent la capacité C0 du
condensateur avec vide, définie par Q = C0 ∆V .
L’espace entre les armatures est maintenant rempli par un diélectrique, de permittivité . On considère dans
un premier temps l’ensemble des charges libres et de polarisation.
d) En supposant qu’une polarisation uniforme P~ est établie dans le diélectrique, quelle est la distribution de
charges de polarisation correspondante ? Exprimer le champ E~d créé par cette polarisation en fonction
de P~ ?
e) Quel est le champ E~0 créé par les charges libres portées par les armatures métalliques (cf. b))? En
~ t à l’intérieur du diélectrique.
appliquant le principe de superposition, déduire le champ total E
~ t , où χ = /0 − 1, exprimer le champ électrique à l’intérieur du diélecf) En supposant que P~ = 0 χE
trique.
g) En déduire la capacité C du condensateur. La comparer avec C0 .
On reprend le calcul ci-dessous en utilisant les équations de Maxwell “dans la matière”.
h) Montrer que le résultat ci-dessus est obtenu beaucoup plus simplement en ne considérant que les charges
libres sur les armatures et en utilisant les équations de Maxwell “dans la matière”, ainsi que les relations
de passages associées. Commenter.
1
3. Formule de Clausius Mausotti On veut dans cet exercice relier la susceptibilité χ définie par P~ =
~ (où P~ et E
~ sont la polarisation et le champ macroscopique moyen) à la polarisabilité atomique α
0 χE
~ l où p~ est le moment dipolaire d’un atome et E
~ l est le champ local ressenti par un
définie par p~ = α0 E
atome, qui diffère en général du champ macroscopique moyen, sauf dans un milieu très dilué.
a) En supposant que nombre d’atomes par unité de volume est N , exprimer la polarisation P~ en fonction
du moment dipolaire d’un atome p~.
~ l , on divise le diélectrique en, d’une part une petite sphère Σ centrée sur l’atome,
Pour estimer le champ local E
d’une taille comparable à l’échelle sur laquelle on moyenne le champ électrique, et d’autre part le reste du
~ et une polarisation P~ uniformes.
diélectrique, dans lequel on suppose qu’existent un champ E
b) On calcule tout d’abord le champ créé par le diélectrique d’où la petite sphère a été exclue. On est
donc ramené à calculer le champ dans une cavité sphérique vide à l’intérieur d’un diélectrique massif.
On rappelle que le champ à l’intérieur d’une sphère de polarisation uniforme P~ est donnée par E~d =
−P~ /30 . Expliquer en quoi les deux problèmes sont similaires mais distincts. En raisonnant sur les
densités surfaciques de charges de polarisation dans les deux cas, montrer que le champ créé par les
dipôles du diélectrique en dehors de Σ à l’intérieur de la cavité sphérique est donné par −E~d .
c) On admettra que le champ total créé par les dipôles à l’intérieur de Σ est nul pour des raisons de
~ l ressenti par l’atome est donc donné par la superposition du
symétrie. Montrer que le champ local E
~ et du champ créé par les dipôles extérieurs à la cavité, et déterminé à la question
champ macroscopique E
précédente. Donner son expression. Quel est le moment dipolaire induit au niveau d’un atome ?
~ à la valeur qu’on peut obtenir à partir du moment dipolaire atomique
d) En reliant la définition P~ = 0 χE
(cf. questions a) et c)), en déduire une expression de χ en fonction de α, et N .
e) En déduire l’expression de l’indice de réfraction n en fonction des mêmes quantités.
4. Polarisation d’orientation et absorption On considère ici un diélectrique dont la polarisation met
un certain temps à s’établir lors de l’application d’un champ électrique. C’est le cas notamment lorsque les
dipôles sont permanents et nécessitent un délai pour s’orienter dans la direction d’un champ appliqué.
~ en obéissant à :
On suppose que la polarisation P~ répond au champ E
τ
dP~ (t) ~
~
+ P (t) = 0 χ0 E(t)
dt
~ statique. On suppose que P~ et E
~ sont initialement nuls et
a) On s’intéresse d’abord au cas d’un champ E
~
~
~
qu’à l’instant t = 0, le champ E passe de 0 à Estat . Donner l’expression de P~ en fonction du temps.
Quelle est la signification physique de τ ? De χ0 ?
~
~ 0 e−iωt .
b) On considère maintenant la réponse P~ (t) = P~0 e−iωt à un champ électrique oscillant E(t)
=E
~
~
Montrer que l’on peut définir une susceptibilité χ(ω) par P (t) = 0 χ(ω)E(t) et donner son expression.
c) En déduire que la permittivité relative r (ω) = 1 + χ(ω) est complexe est peut s’écrire sous la forme
r (ω) = 0r (ω) + i00r (ω). Donner les expressions de 0r (ω) et 00r (ω).
d) On suppose pour simplifier que χ0 1. Dans ces conditions, donner l’expression approchée de l’indice
√
complexe n(ω) = n0 (ω) + in00 (ω) = r (ω). Donner l’allure des courbes n0 (ω) et n00 (ω) et montrer
que cette dernière passe par un maximum pour une pulsation ωm que l’on calculera.
~ = Ee
~ i(~k.~r−ωt) dans un milieu diélectrique
e) Etablir l’équation de propagation d’une onde plane du type E
d’indice n à partir des équations de Maxwell “dans la matière”, en l’absence de charges et de courants
libres.
f) Montrer que l’existence d’une partie imaginaire n00 (ω) indique que l’onde plane est absorbée au fur et
à mesure de sa progression. Donner l’expression de la distance caractéristique d’absorption. Quelle est
sa valeur minimale, correspondant au maximum de la courbe d’absorption ?
2
5. Réflexion air-verre On étudie ici la réflexion sur la surface d’un morceau de verre d’indice de réfraction n d’une onde électromagnétique plane monochromatique progressive
~ 1 = E0 ~ey ei(k1 x−ωt) ,
E
se propageant initialement dans l’air d’incice de réfraction voisin de 1, suivant la direction de l’axe x, et
polarisée suivant ~ey . On suppose que le verre occupe le demi-espace infini x > 0. Pour simplifier, on se
placera dans le cas de l’incidence normale, et on supposera qu’il n’existe pas de charges et de courants
libres.
~ 1 (t) avec le diélectrique engendre une onde réfléchie
L’interaction de l’onde E
~ 2 = rE0 ~ey ei(k2 x−ωt)
E
et une onde transmise
~ 3 = tE0 ~ey ei(k3 x−ωt) ,
E
toutes les trois de même pulsation ω, et où r et t sont respectivement les coefficients de réflexion et de
transmission en amplitude, qu’on se propose de calculer.
a) Donner les relations de dispersion liant pulsation ω et nombre d’onde k dans l’air et dans le verre.
Donner les expressions de k1 , k2 , et k3 .
b) Rappeler la relation entre champs électrique et magnétique pour une onde plane monochromatique pro~ 1, B
~ 2 et B
~ 3 associés aux trois ondes.
gressive. Exprimer les champs B
c) Comment s’expriment les champs électriques totaux dans l’air et dans le verre ?
d) Donner les relations de passage entre air et verre pour les composantes tangentielles et normales des
champs électrique et magnétique (cf. question de cours).
e) En déduire les expressions des coefficients r et t.
f) Rappeler l’expression du vecteur de Poynting. Que représente le flux de ce vecteur à travers une surface ?
g) Montrer que le rappport des flux d’énergie réfléchie et incidente vaut R = r2 tandis que celui des flux
d’énergie transmise et incidente vaut T = nt2 .
h) Montrer que R + T = 1. Quel principe fondamental cette relation exprime-t-elle ?
Rappels
~ =0
~ V
div rot
4F = ∂ 2 F/∂x2 + ∂ 2 F/∂y 2 + ∂ 2 F/∂z 2
~ div − 4
~ rot
~ = grad
rot
iπ
e = −1
3