Correction Devoir surveillé N°1

Correction Devoir surveillé N°1
Electromagnétisme 2005/2006
Exercice N°1
1. Déterminons la direction du champ électrique en utilisant les règles de symétrie :
Comme le cylindre est supposé infini ( h>>b) ; les plans
),( eez
et
),( ee
sont deux plans
de symétrie, donc le champ est dirigé suivant l’intersection de ces deux plans soit
eEE 
Déterminons les coordonnées dont dépend le champ électriques :
 Le système est invariant par rotation autour de Oz donc E ne dépend pad de
 Le système est invariant par translation suivant Oz donc E ne dépend pad de z
Donc :
eEE )(
2. On a d’après les relations de continuité :
tt EE 21 
Or au voisinage de la surface de séparation entre le diélectrique est le vide, le champ
électrique se réduit a sa composante tangentielle c-à-d
t
EE 
. Comme cette composante est
continue donc
uediélectriqvide EE 
3. Comme on a un mélange de charge libre et de charge de polarisation, pour
calculer le champ électrique, il est plus simple de déterminer d’abord le champ D qui ne
dépend que des charge s libres :
on a :
libre QdSD
Surface de Gauss est un cylindre de hauteur h et de rayon r ( a < r < b ). On a donc :
    vide uediélectriqvide uediélectriq dSEdSEdSDdSDdSD10
Car E est le même dans les deux milieux. (N.B le calcul de l’intégrale se fait sur la moitié
d’un cylindre)
Donc :
rhErhEdSD
10 
La charge libre intérieur à la surface de Gauss est :
ahahQlibre d
l
v
l
Avec
d
l
est la densité de charge libre la moitié qui contient le diélectrique.
v
l
est la densité de charge libre la moitié qui contient le vide.
Donc :
ra
Ed
l
v
l)( )(
10
Déterminons E en fonction de U, a et b, pour cela calculons la circulation de E entre les deux
conducteurs :
)ln(
)( )(
10 a
b
a
UEdrU b
a
d
l
v
l
D’où
e
a
b
r
U
E)ln(
4. Expression de la polarisation :
 Dans le vide P = 0

 Dans le diélectrique :
e
a
b
r
U
EP )ln( )()( 0101 
Expressions du vecteur déplacement électrique :
 Dans le vide :
e
a
b
r
U
Dv)ln(
0
 Dans le diélectrique :
e
a
b
r
U
Dd)ln(
1
5. Densité de charge de polarisation :
 Surface r = a : dans le vide
0
p
Dans le diélectrique
)ln(
)( 01
a
b
a
U
p
 Surface r = b: dans le vide
0
p
Dans le diélectrique
)ln(
)( 01
a
b
b
U
p
6. La somme des charges de polarisation :
0   br p
ar pdSdSQp
Exercice N°2
1) Calcul du vecteur excitation magnétique :
On a dans ce cas un mélange de courant libre et de courant d’aimantation mais la
circulation de H ne dépend que des courants libres.
Direction de H : On utilise les règles de symétrie : Tout plan
),( eez
est un plan de
symétrie donc
eHH 
02/ 2
2/2/
02/
HaRr
NI
HaRraRIHdr
HaRr
libre
2) En déduire B :
02/ 2
2/2/
02/
BaRr
NI
BaRraRHB
BaRr
En déduire l’aimantation M. Comme le milieu est un ferro doux, on a
HHM r)1( 
02/ 2)1(
2/2/)1(
02/
MaRr
NI
MaRraRHM
MaRr
r
r

3) Soit I’ le courant qui fournit le même champ si le ferro est remplacé par le vide, on
aura donc :
IIIII
NI
NI r3
0
010''
2' 2
4) Calcul de l’énergie magnétique du torre :
On a
)
2/2/
ln(
22
222
aR aRhIN
d
B
Wmag 
5) Déterminons l’expression du champ magnétique dans la coupure
Comme la circulation de H ne dépend que des courants libres et on a dans le ferro
B
H
et dans le vide
0
B
H
Donc :
)2(
)2( 1
0
1
11
0lRl NI
BNIlR
B
l
B
NIHdl 
Exercice 3
1) Densités de charges de polarisation surfacique
On a
PnP
p .
2) a) Expression du potentiel crée par un dipôle élémentaire :
2
0
.
41rupd
dV
b) on a
JPdS
r
u
PdS
ruP
V.
41
.
.
412
0
2
0
avec
dS
r
u
J2
0
41
c) J est un champ électrique fictif crée par un plan charge avec une densité de charge
uniforme
1
d’où le calcul de J se déduit facilement par le th de Gauss :
kJ 021
3) a) En déduire V
On a
00 22
.
npP
JPV 
b) on a
0 VgradE
c) Le plan polarisé est équivalent à un condensateur plan chargé avec une densité
PnP
p .
. Or le champ à l’extérieur d’un condensateur plan infini est nul, ceci
explique la valeur trouvée.