TD1

année 2011/2012
Licence de Sciences Physiques et Chimiques
L3
Travaux Dirigés d’électromagnétisme
Texte 1
Exemples de question de cours
1. Définitions de la polarisation volumique, du moment dipolaire électrique.
2. Vecteur D. Théorème de Gauss pour un milieu matériel : formes locale, intégrale et
relation de passage associée.
3. Potentiel créé par la matière : cas général et cas d'un milieu uniformément polarisé.
4. Descriptions « diélectrique » et « charges dans le vide » pour un milieu uniformément
polarisé.
5. Milieu linéaire, homogène et isotrope (LHI). Cas d'une sphère dans un champ appliqué
uniforme.
I. Condensateur à diélectrique.
Une lame d'un milieu diélectrique LHI, caractérisé par une permittivité absolue ε acquiert,
sous l'effet d'un champ E, appliqué perpendiculairement à ses faces (Fig.1), une polarisation
volumique P uniforme.
1. Quelle est la distribution de charges équivalentes à un tel état de polarisation ?
Calculer en fonction de Ea, ε0 et ε, les valeurs du champ électrique E, du déplacement
électrique D et de la polarisation P en tout point intérieur ou extérieur à la lame.
2. Les deux armatures planes rectangulaires d'un condensateur à vide (Fig.2), sont
initialement chargées (Q > 0 et -Q). On introduit entre ces armatures maintenues
isolées, une lame matérielle LHI, de permittivité ε, qui emplit donc totalement le
volume inter-armatures. On néglige tout effet de bord. On choisit la direction Oz
perpendiculaire aux armatures ; on note e la distance inter-armatures, et a et b les côtés
respectivement parallèles à Ox et Oy. Calculer la capacité du condensateur.
3. La lame introduite maintenant est constituée de deux milieux matériels LHI juxtaposés
de largeurs respectives a1 et a2 (Fig.2, cas A) et caractérisés par leur permittivité εl et
ε2. Calculer les valeurs de E et D dans les deux parties de la lame et en déduire la
nouvelle valeur de la capacité du condensateur.
4. La lame est à nouveau remplacée par une autre constituée des deux mêmes milieux
matériels, mais superposés en deux lames d'épaisseurs respectives e1 et e2 (Fig.2, cas
B). Calculer E, D et la nouvelle valeur de la capacité.
II. Cylindre diélectrique polarisé.
Sous l'action d'un champ électrique appliqué Ea uniforme, un barreau cylindrique (rayon a,
longueur l>>a) acquiert une polarisation volumique P uniforme selon Ox, et ceci
perpendiculairement à l'axe Oz du cylindre. On se propose de calculer le champ électrique
Ein,, à 1’intérieur, et Eex à l'extérieur du milieu, par la méthode du champ auxiliaire E*.
1. Calculer E* et en déduire les valeurs de E en fonction de P.
2. Le matériau est un conducteur. Exprimer P en fonction du champ appliqué. Quelle est
la distribution de charge du conducteur ? Que vaut le moment dipolaire électrique du
barreau ?
3. Déterminer les composantes de E à l'extérieur du barreau en fonction de Ea, a et des
coordonnées cylindriques r et φ. Déduire les valeurs des composantes du déplacement
électrique D en tout point.
4. Vérifier les équations de passage auxquelles satisfont les champs E et D à l’interface
vide-milieu.
III. Théorème de Gauss : cylindre conducteur dans une gaine diélectrique.
Considérons un cylindre conducteur de rayon a et de longueur L avec une charge Q répartie
sur sa surface latérale ; il est entouré par une gaine diélectrique de diamètre extérieur b.
1. Enoncez le théorème de Gauss dans un milieu matériel
2. Exprimez le vecteur D dans tout l’espace (ρ<a, a<ρ<b, ρ>b), à l’aide du théorème de
Gauss.
3. Le matériau diélectrique constituant la gaine peut être caractérisé par sa permittivité
absolue ε = εr ε0, le milieu extérieur (ρ>b) pouvant être assimilé au vide (permittivité
ε0), exprimez le champ électrique E ainsi que la polarisation P dans tout l’espace.
4. Sachant qu’en coordonnées cylindriques grad = ∂ /∂z ez+ ∂/∂ρ eρ +1/ρ ∂/∂θ eθ,
exprimez le potentiel dans tout l’espace sachant qu’il est nul à la distance de l’axe
ρ=ρ0. On utilisera notamment la continuité du potentiel pour déterminer les constantes.
5. Quelle est la capacité du cylindre conducteur ?