TD1

Licence de Sciences Physiques et Chimiques
L3
année 2011/2012
Travaux Dirigés d’électromagnétisme
Texte 1
Exemples de question de cours
1. Définitions de la polarisation volumique, du moment dipolaire électrique.
2. Vecteur D. Théorème de Gauss pour un milieu matériel : formes locale, intégrale et
relation de passage associée.
3. Potentiel créé par la matière : cas général et cas d'un milieu uniformément polarisé.
4. Descriptions « diélectrique » et « charges dans le vide » pour un milieu uniformément
polarisé.
5. Milieu linéaire, homogène et isotrope (LHI). Cas d'une sphère dans un champ appliqué
uniforme.
I. Condensateur à diélectrique.
Une lame d'un milieu diélectrique LHI, caractérisé par une permittivité absolue ε acquiert,
sous l'effet d'un champ E, appliqué perpendiculairement à ses faces (Fig.1), une polarisation
volumique P uniforme.
1. Quelle est la distribution de charges équivalentes à un tel état de polarisation ?
Calculer en fonction de E
a
, ε
0
et ε, les valeurs du champ électrique E, du déplacement
électrique D et de la polarisation P en tout point intérieur ou extérieur à la lame.
2. Les deux armatures planes rectangulaires d'un condensateur à vide (Fig.2), sont
initialement chargées (Q > 0 et -Q). On introduit entre ces armatures maintenues
isolées, une lame matérielle LHI, de permittivité ε , qui emplit donc totalement le
volume inter-armatures. On néglige tout effet de bord. On choisit la direction Oz
perpendiculaire aux armatures ; on note e la distance inter-armatures, et a et b les côtés
respectivement parallèles à Ox et Oy. Calculer la capacité du condensateur.
3. La lame introduite maintenant est constituée de deux milieux matériels LHI juxtaposés
de largeurs respectives a
1
et a
2
(Fig.2, cas A) et caractérisés par leur permittivité ε
l
et
ε
2
. Calculer les valeurs de E et D dans les deux parties de la lame et en déduire la
nouvelle valeur de la capacité du condensateur.
4. La lame est à nouveau remplacée par une autre constituée des deux mêmes milieux
matériels, mais superposés en deux lames d'épaisseurs respectives e
1
et e
2
(Fig.2, cas
B). Calculer E, D et la nouvelle valeur de la capacité.

II. Cylindre diélectrique polarisé.
Sous l'action d'un champ électrique appliqué E
a
uniforme, un barreau cylindrique (rayon a,
longueur l>>a) acquiert une polarisation volumique P uniforme selon Ox, et ceci
perpendiculairement à l'axe Oz du cylindre. On se propose de calculer le champ électrique
E
in
,, à 1’intérieur, et E
ex
à l'extérieur du milieu, par la méthode du champ auxiliaire E
*
.
1. Calculer E
*
et en déduire les valeurs de E en fonction de P.
2. Le matériau est un conducteur. Exprimer P en fonction du champ appliqué. Quelle est
la distribution de charge du conducteur ? Que vaut le moment dipolaire électrique du
barreau ?
3. Déterminer les composantes de E à l'extérieur du barreau en fonction de E
a
, a et des
coordonnées cylindriques r et φ. Déduire les valeurs des composantes du déplacement
électrique D en tout point.
4. Vérifier les équations de passage auxquelles satisfont les champs E et D à l’interface
vide-milieu.
III. Théorème de Gauss : cylindre conducteur dans une gaine diélectrique.
Considérons un cylindre conducteur de rayon a et de longueur L avec une charge Q répartie
sur sa surface latérale ; il est entouré par une gaine diélectrique de diamètre extérieur b.
1. Enoncez le théorème de Gauss dans un milieu matériel
2. Exprimez le vecteur D dans tout l’espace (ρ<a, a<ρ<b, ρ>b), à l’aide du théorème de
Gauss.
3. Le matériau diélectrique constituant la gaine peut être caractérisé par sa permittivité
absolue ε = ε
r
ε
0
, le milieu extérieur (ρ>b) pouvant être assimilé au vide (permittivité
ε
0
), exprimez le champ électrique E ainsi que la polarisation P dans tout l’espace.
4. Sachant qu’en coordonnées cylindriques grad = ∂ /∂z e
z
+ ∂/∂ρ e
ρ
+1/ρ ∂/∂θ e
θ
,
exprimez le potentiel dans tout l’espace sachant qu’il est nul à la distance de l’axe
ρ=ρ
0
. On utilisera notamment la continuité du potentiel pour déterminer les constantes.
5. Quelle est la capacité du cylindre conducteur ?