TRAVAUX DIRIGES DE PHYSIQUE Electromagnétisme dans un diélectrique L.H.I. Aspect macroscopique Filière SP Exercice n°1 Une surface plane en sépare deux milieux diélectriques linéaires, homogène et isotrope, de permittivité relative r1 et r2 et de perméabilités relatives r1 et r2 et dépourvus de charges libres. 1°) On considère une ligne de champ électrique. Déterminer la relation entre les angles 1 et 2 que fait la ligne de champ avec la normale à la surface de séparation, respectivement dans le milieu 1 et le milieu 2. 2°) On considère une ligne de champ du champ magnétique. Déterminer la relation entre les angles 1 et 2 que fait la ligne de champ avec la normale à la surface de séparation, respectivement dans le milieu 1 et le milieu 2. En supposant que le milieu 1 est constitué par de l'air r1 1 , on discutera des deux cas particuliers où le milieu 2 est : a) Un milieu diamagnétique ou paramagnétique r2 1 ; b) Un milieu ferromagnétique pour lequel il est possible de déterminer une perméabilité relative r2 qui peut alors prendre des valeurs très importantes (de l'ordre de quelques milliers typiquement 5000) Exercice n°2 Une lame diélectrique L.H.I. plongée dans un champ électrique E0 , indépendant du temps, présente une polarisation induite: P0 0 e E0 et une permittivité relative: r 1 e Lorsque la lame et plongée dans un champ électrique E sinusoïdal de pulsation , la polarisation induite dans la lame ne suit pas instantanément les variations du champ et il existe de ce fait un déphasage entre le champ E et la polarisation P : et P P0 cos(t ) avec P0 0 e E 0 E E 0 cos t 1°) Montrer qu'en notation complexe E et D sont liées par D 0 r E . on pose r 1 j 2 r e j Exprimer 1 et 2 , puis tan g en fonction de e et . 2°) Un condensateur plan contenant la lame diélectrique précédente est alimenté par une différence de potentiel sinusoïdal V V0 cos t . La capacité de ce condensateur est, en notation complexe C r C 0 avec C0 réel a) Calculer la puissance moyenne dissipée Ƥm dans ce condensateur en fonction de V0, C0, r et . b) Montrer que l'impédance complexe du condensateur peut s'interpréter comme l'impédance d'un condensateur de capacité réelle Cr et d'une résistance R en parallèle que l'on déterminera. Retrouver l'expression de la puissance moyenne Ƥm de la question 2°)a). c)Evaluer l’élévation de température du diélectrique après une durée t de fonctionnement, si l'on suppose que toute la puissance électrique est absorbée par celle-ci. On donne :C0=1nF ; r=10 ;tang=1; =107 rad.s-1; V0=50V; t=5min ; capacité thermique du diélectrique =103J.K-1 Exercice n°3 Des électrons de haute énergie bombardent une sphère diélectrique L.H.I. de centre O, de rayon R , de permittivité et entourée par le vide. Les électrons piégés dans le diélectrique constituent une distribution volumique de densité que nous supposons uniformément répartie dans une sphère de centre O et de rayon a<R. 1°) Par des raisons de symétrie donner la direction du vecteur déplacement électrique D . 2°) Calculer D en tout point M de l’espace. 3°) Déduire le champ électrique E et la polarisation P 4°) déterminer les densités de charges de polarisation. Rappeler leur signification physique 5°) vérifier la neutralité globale des charges de polarisation 1 6°) vérifier les relations de continuité relative à D et E sur les deux surfaces (r=a et r=R) Exercice n°4 Un champ uniforme E 0 parallèle à l’axe Oz, règne dans l’espace vide. On suppose dans tout ce qui suit que l plan z=0 coïncide avec le plan à potentiel zéro. 1°) Montrer que le potentiel VM(r,) en tout point M de l’espace s’écrit sous la forme V(r, ) E 0 r cos 2°) On introduit une sphère diélectrique L.H.I. de rayon R , de permittivité .Le centre de cette sphère coïncide avec l’origine des coordonnées. Calculer la charge liée Q’ qui apparaît sur l’un des deux hémisphères en fonction de la polarisation P et du rayon R. 3°) Déterminer le moment dipolaire p de la sphère diélectrique des deux manières différentes. 4°) Définir la position du barycentre des charges positives z+et celui des charge négatives z 5°) Calculer le champ dépolarisant E d crée au centre de la sphère par les charges liées superficielles. En déduire les expressions du champ macroscopique E régnant à l’intérieur de la sphère et de E d sn fonction de E 0 et 0. Exercice n°5 On considère une cavité sphérique de centre 0 et de rayon R située dans un milieu L.H.I. de permittivité Ce diélectrique est soumis à l’action d’un champ électrique uniforme E 0 E 0 e z Le champ crée par les charges de polarisation est le suivant : -Il est uniforme et colinéaire à E 0 à l’intérieur de la cavité soit E' ce champ. -A l’extérieur de la cavité, il s’identifie avec le champ crée par un dipôle de moment dipolaire p ' colinéaire à E 0 et situé en O. 1°) En utilisant les conditions aux limites déterminer p ' et E' ¨ 2°) Calculer la densité surfacique de charge de polarisation à la surface de la sphère. Exercice 6 On considère un fil conducteur non magnétique (=0) ayant la forme d’un cylindre infini de rayon a et d’axe Oz. Ce fil est parcouru par un courant I de densité volumique j1 j1e z 1) Le conducteur est plongé dans le vide .Calculer l’excitation magnétique H en tout point de l’espace. 2) Le conducteur est entouré par un matériau isolant L.H.I. de permittivité de rayon interne a et de rayon externe b. Le tout est plongé dans le vide. a) Déterminer H en tout pont de l’espace. En déduire B b) Déterminer les distributions de courants ja ,S et ja , V équivalentes à l’aimantation. 3) On entoure le fil et l’isolant par un deuxième conducteur (=0) de rayon interne b et de rayon externe c .Ce conducteur est parcouru par le même courant I mais de sens inverse et de densité volumique j2 j2 e z (on obtient ainsi un câble coaxial). a) Déterminer c pour que j1 j 2 On pose pour la suite j1 j 2 j b) Calculer H en tout point de l’espace. En déduire B 4) Calculer l’énergie magnétique Wm pour une longueur unité du câble dans les deux cas suivants : a) L’espace inter-conducteur est un milieu magnétique (paramagnétique ou diamagnétique) de permittivité b) L’espace inter-conducteur est le vide. 2